Многогранник - Википедия - Polyhedron

Примеры многогранников

Правильный тетраэдр Платоново твердое тело	Малый звездчатый додекаэдр Твердое тело Кеплера – Пуансо
Икосододекаэдр Архимедово твердое тело	Большой кубокубооктаэдр Равномерная звезда-многогранник
Ромбический триаконтаэдр Каталонский твердый	А тороидальный многогранник

В геометрия, а многогранник (множественное число многогранники или же многогранники) это трехмерный форма с плоским многоугольный лица, прямой края и острые углы или вершины. Слово многогранник происходит от Классический греческий πολύεδρον, поскольку поли- (основа слова πολύς, «многие») + -эдр (форма ἕδρα, «основание» или «сиденье»).

А выпуклый многогранник это выпуклый корпус конечного числа точек, не все в одной плоскости.Кубики и пирамиды являются примерами выпуклых многогранников.

Многогранник - это трехмерный пример более общего многогранник в любом количестве измерений.

Определение

Скелетный многогранник (в частности, ромбокубооктаэдр ) нарисованный Леонардо да Винчи иллюстрировать книгу Лука Пачоли

Выпуклые многогранники хорошо определены, с несколькими эквивалентными стандартными определениями. Однако формальное математическое определение многогранников, которые не обязательно должны быть выпуклыми, было проблематичным. Многие определения многогранника были даны в определенных контекстах,^[1] некоторые из них более строгие, чем другие, и не существует единого мнения, какой из них выбрать. Некоторые из этих определений исключают формы, которые часто считались многогранниками (например, самопересекающиеся многогранники ) или включает формы, которые часто не считаются действительными многогранниками (например, твердые тела, границы которых коллекторы ). В качестве Бранко Грюнбаум наблюдаемый,

«Первородный грех в теории многогранников восходит к Евклиду, и через Кеплера, Пуансо, Коши и многих других ... на каждом этапе ... авторы не смогли определить, что такое многогранники».^[2]

Тем не менее, существует общее мнение, что многогранник - это твердое тело или поверхность, которые можно описать с помощью вершины (угловые точки), края (отрезки, соединяющие определенные пары вершин),лица (двумерный полигоны ), и что иногда можно сказать, что он имеет особый трехмерный интерьер объем.Можно различать эти различные определения в зависимости от того, описывают ли они многогранник как твердое тело, описывают ли они его как поверхность или описывают ли они его более абстрактно на основе его геометрия падения.^[3]

• Распространенное и несколько наивное определение многогранника состоит в том, что это твердое тело, граница которого может быть покрыта конечным числом плоскостей.^[4][5] или что это твердое тело, образованное как объединение конечного числа выпуклых многогранников.^[6] Естественные уточнения этого определения требуют, чтобы твердое тело было ограниченным, имело связную внутренность и, возможно, также наличие связной границы. Грани такого многогранника можно определить как связанные компоненты частей границы внутри каждой из покрывающих ее плоскостей, а также ребер и вершин как отрезков и точек, где встречаются грани. Однако определенные таким образом многогранники не включают самопересекающиеся звездные многогранники, грани которых могут не образовывать простые многоугольники, и некоторые из ребер могут принадлежать более чем двум граням.^[7]
• Также распространены определения, основанные на идее ограничивающей поверхности, а не твердого тела.^[8] Например, О'Рурк (1993) определяет многогранник как объединение выпуклые многоугольники (его грани), расположенные в пространстве так, что пересечение любых двух многоугольников является общей вершиной или ребром, или пустой набор и чтобы их союз был многообразие.^[9] Если плоская часть такой поверхности сама по себе не является выпуклым многоугольником, О'Рурк требует, чтобы она была разделена на более мелкие выпуклые многоугольники с плоскими двугранные углы между ними. В более общем смысле Грюнбаум определяет акоптический многогранник быть набором простых многоугольников, которые образуют вложенное многообразие, в котором каждая вершина инцидентна по крайней мере трем ребрам, а каждые две грани пересекаются только по общим вершинам и ребрам каждого.^[10] Кромвеля Многогранники дает аналогичное определение, но без ограничения по крайней мере тремя ребрами на вершину. Опять же, этот тип определения не охватывает самопересекающиеся многогранники.^[11] Подобные понятия лежат в основе топологических определений многогранников как подразделений топологического многообразия на топологические диски (грани), попарные пересечения которых должны быть точками (вершинами), топологическими дугами (ребрами) или пустым множеством. Однако существуют топологические многогранники (даже со всеми гранями треугольников), которые не могут быть реализованы как акоптические многогранники.^[12]
• Один современный подход основан на теории абстрактные многогранники. Их можно определить как частично упорядоченные наборы элементами которого являются вершины, ребра и грани многогранника. Элемент вершины или ребра меньше, чем элемент ребра или грани (в этом частичном порядке), когда вершина или ребро является частью ребра или грани. Кроме того, можно включать специальный нижний элемент этого частичного порядка (представляющий пустое множество) и верхний элемент, представляющий весь многогранник. Если секции частичного порядка между элементами на три уровня друг от друга (то есть между каждой гранью и нижним элементом, а также между верхним элементом и каждой вершиной) имеют ту же структуру, что и абстрактное представление многоугольника, то эти частично упорядоченные множества несут ту же информацию, что и топологический многогранник. Однако эти требования часто смягчаются, вместо этого требуется, чтобы только секции между элементами на двух уровнях имели ту же структуру, что и абстрактное представление линейного сегмента.^[13] (Это означает, что каждое ребро содержит две вершины и принадлежит двум граням, и что каждая вершина на грани принадлежит двум ребрам этой грани.) Геометрические многогранники, определенные другими способами, могут быть описаны абстрактно таким образом, но это также возможно использовать абстрактные многогранники как основу определения геометрических многогранников. А реализация абстрактного многогранника обычно считается отображением вершин абстрактного многогранника в геометрические точки, так что точки каждой грани копланарны. Тогда геометрический многогранник можно определить как реализацию абстрактного многогранника.^[14] Также были рассмотрены реализации, которые опускают требование планарности, которые налагают дополнительные требования симметрии или которые отображают вершины в пространства более высокой размерности.^[13] В отличие от определений на основе твердого тела и поверхности, это отлично работает для звездных многогранников. Однако без дополнительных ограничений это определение позволяет выродиться или неверные многогранники (например, отображая все вершины в одну точку), и вопрос о том, как ограничить реализации, чтобы избежать этих вырождений, не решен.

Во всех этих определениях многогранник обычно понимается как трехмерный пример более общего многогранник в любом количестве измерений. Например, многоугольник имеет двумерное тело и не имеет граней, а многоугольник 4-многогранник имеет четырехмерное тело и дополнительный набор трехмерных «ячеек». Однако в некоторой литературе по многомерной геометрии термин «многогранник» используется для обозначения чего-то другого: не трехмерного многогранника, а формы который чем-то отличается от многогранника. Например, некоторые источники определяют выпуклый многогранник как пересечение конечного числа полупространства, а многогранник - ограниченный многогранник.^[15][16] В оставшейся части статьи рассматриваются только трехмерные многогранники.

Характеристики

Количество лиц

Многогранники можно классифицировать и часто называют по количеству граней. Система именования основана на классическом греческом языке, например тетраэдр (многогранник с четырьмя гранями), пентаэдр (пять лиц), шестигранник (шесть лиц), триаконтаэдр (30 лиц) и так далее.

Полный список префиксов греческих цифр см. Цифровой префикс § Таблица цифровых префиксов на английском языке в столбце греческих количественных чисел.

Топологическая классификация

Самопересекающийся многогранник Бутылка Клейна с четырехугольными гранями

У некоторых многогранников есть две разные стороны на поверхности. Например, внутри и снаружи выпуклый многогранник Каждой бумажной модели можно придать свой цвет (хотя внутренний цвет будет скрыт от глаз). Эти многогранники ориентируемый. То же верно и для невыпуклых многогранников без самопересечений. Некоторые невыпуклые самопересекающиеся многогранники можно раскрасить таким же образом, но с областями, вывернутыми «наизнанку», так что оба цвета появляются снаружи в разных местах; они все еще считаются ориентируемыми. Однако для некоторых других самопересекающихся многогранников с гранями простого многоугольника, таких как тетрагемигексаэдр, невозможно окрасить две стороны каждой грани в два разных цвета, чтобы смежные грани имели одинаковый цвет. В этом случае многогранник называется неориентируемым. Для многогранников с самопересекающимися гранями может быть неясно, что означает последовательная окраска смежных граней, но для этих многогранников все еще можно определить, ориентируем ли они или неориентируемы, рассматривая топологический клеточный комплекс с одинаковыми инцидентностями между его вершинами, ребрами и гранями.

Более тонкое различие между поверхностями многогранников дается их Эйлерова характеристика, который объединяет количество вершин ${ displaystyle V}$, края ${ displaystyle E}$, и лица ${ displaystyle F}$ многогранника в одно число ${ displaystyle chi}$ определяется формулой

${ Displaystyle чи = В-Е + F. }$

Та же формула используется для эйлеровой характеристики других видов топологических поверхностей. Это инвариант поверхности, означающий, что когда одна поверхность разбивается на вершины, ребра и грани более чем одним способом, эйлерова характеристика будет одинаковой для этих подразделений. Для выпуклого многогранника или, в более общем смысле, любого односвязного многогранника с поверхностью в виде топологической сферы он всегда равен 2.^[17] Для более сложных форм характеристика Эйлера связана с количеством тороидальный отверстия, ручки или кросс-кепки на поверхности и будет меньше 2.^[18] Все многогранники с нечетной эйлеровой характеристикой неориентируемы. Данная фигура даже с эйлеровой характеристикой может быть ориентируемой, а может и нет. Например, одностворчатый тороид и Бутылка Клейна как есть ${ displaystyle chi = 0}$, причем первый ориентируется, а другой нет.

Для многих (но не для всех) способов определения многогранников поверхность многогранника должна быть многообразие. Это означает, что каждое ребро является частью границы ровно двух граней (запрещая такие формы, как объединение двух кубов, которые встречаются только вдоль общего ребра), и что каждая вершина инцидентна одному чередующемуся циклу ребер и граней (запрещая формы вроде объединение двух кубов, разделяющих только одну вершину). Для определенных таким образом многогранников классификация многообразий означает, что топологический тип поверхности полностью определяется сочетанием ее эйлеровой характеристики и ориентируемости. Например, каждый многогранник, поверхность которого является ориентируемым многообразием и эйлерова характеристика равна 2, должен быть топологической сферой.

А тороидальный многогранник многогранник, Эйлерова характеристика меньше или равно 0, или что то же самое, чье род 1 или больше. Топологически поверхности таких многогранников являются тор поверхности, имеющие одно или несколько отверстий в середине.

Двойственность

Октаэдр двойственен кубу

Для каждого выпуклого многогранника существует двойственный многогранник, имеющий

• грани вместо вершин оригинала и наоборот, и
• такое же количество граней.

Двойственный к выпуклому многограннику получается процессом полярное возвратно-поступательное движение.^[19] Двойственные многогранники существуют попарно, и двойственный многогранник снова является исходным многогранником. Некоторые многогранники самодвойственны, что означает, что двойственный многогранник конгруэнтен исходному многограннику.^[20]

Абстрактные многогранники также имеют двойственные, для которых, кроме того, удовлетворяют те же эйлеровы характеристики и ориентируемость, что и у исходного многогранника. Однако эта форма двойственности описывает не форму двойственного многогранника, а только его комбинаторную структуру. Для некоторых определений невыпуклых геометрических многогранников существуют многогранники, абстрактные двойники которых не могут быть реализованы как геометрические многогранники при том же определении.

Фигуры вершин

Для каждой вершины можно определить вершина фигуры, описывающий локальную структуру многогранника вокруг вершины. Точные определения различаются, но фигуру вершины можно рассматривать как многоугольник, открытый там, где разрез многогранника отсекает угол.^[8] Если фигура вершины правильный многоугольник, то сама вершина называется правильной.

Объем

Многогранные твердые тела имеют связанную величину, называемую объем это измеряет, сколько места они занимают. Простые семейства твердых тел могут иметь простые формулы для своих объемов; например, объемы пирамид, призм и параллелепипеды могут быть легко выражены через длину их ребер или другие координаты. (Видеть Объем § Формулы объема для списка, который включает многие из этих формул.)

Объемы более сложных многогранников могут не иметь простых формул. Объемы таких многогранников можно вычислить, разделив многогранник на более мелкие части (например, триангуляция ). Например, объем правильного многогранника можно вычислить, разделив его на конгруэнтные пирамиды, причем каждая пирамида имеет грань многогранника в качестве основания и центр многогранника в качестве вершины.

В общем, это можно вывести из теорема расходимости что объем многогранного твердого тела определяется выражением${ displaystyle { frac {1} {3}} left | sum _ {F} (Q_ {F} cdot N_ {F}) operatorname {area} (F) right |,}$где сумма по граням F многогранника, Q_F произвольная точка на грани F, N_F это единичный вектор перпендикулярно F указывает за пределы твердого тела, а точка умножения - это скалярное произведение.^[21] В более высоких измерениях вычисление объема может быть затруднительным, отчасти из-за сложности перечисления граней выпуклого многогранника, определяемого только его вершинами, и существуют специальные алгоритмы для определения объема в этих случаях.^[22]

Инвариант Дена

В двух измерениях Теорема Больяи – Гервиена утверждает, что любой многоугольник может быть преобразован в любой другой многоугольник той же площади с помощью разрезать его на конечное количество многоугольных частей и переставить их. Аналогичный вопрос для многогранников был предметом исследования. Третья проблема Гильберта. Макс Ден решил эту проблему, показав, что, в отличие от двумерного случая, существуют многогранники одного и того же объема, которые нельзя разрезать на более мелкие многогранники и снова собрать друг в друга. Чтобы доказать это, Ден открыл еще одно значение, связанное с многогранником: Инвариант Дена, такие, что два многогранника можно разрезать друг на друга, только если они имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена. Позже Сидлер доказал, что это единственное препятствие для разрезания: каждые два евклидовых многогранника с одинаковыми объемами и инвариантами Дена можно разрезать и снова собрать друг в друга.^[23] Инвариант Дена - это не число, а вектор в бесконечномерном векторном пространстве.^[24]

Еще одна проблема Гильберта, 18-я проблема Гильберта, касается (среди прочего) многогранников, которые пространство плитки. Каждый такой многогранник должен иметь нулевой инвариант Дена.^[25] Инвариант Дена также был связан с изгибаемые многогранники по теореме о сильных мехах, которая утверждает, что инвариант Дена любого изгибаемого многогранника остается неизменным при его изгибе.^[26]

Выпуклые многогранники

Блоки выпуклых многогранников на выставке Музей Универсума в Мехико

Трехмерное твердое тело - это выпуклый набор если он содержит каждый отрезок линии, соединяющий две его точки. А выпуклый многогранник представляет собой многогранник, который как твердое тело образует выпуклое множество. Выпуклый многогранник также можно определить как ограниченный пересечение конечного числа полупространства, или как выпуклый корпус конечного числа точек.

Важные классы выпуклых многогранников включают высокосимметричные Платоновы тела, то Архимедовы тела и их двойники Каталонские твердые вещества, а с правильным лицом Твердые тела Джонсона.

Симметрии

Воспроизвести медиа

Некоторые многогранники, вращающиеся вокруг оси симметрии (при Математека IME-USP )

Многие из наиболее изученных многогранников высоко оценены. симметричный, то есть их внешний вид не меняется при отражении или вращении пространства. Каждая такая симметрия может изменить положение данной вершины, грани или ребра, но набор всех вершин (а также граней, ребер) не изменяется. Совокупность симметрий многогранника называется его группа симметрии.

Говорят, что все элементы, которые могут быть наложены друг на друга симметриями, образуют орбита симметрии. Например, все грани куба лежат на одной орбите, а все ребра - на другой. Если все элементы данного измерения, скажем, все грани, лежат на одной орбите, фигура называется транзитивной на этой орбите. Например, куб является гранно-транзитивным, а усеченный куб имеет две орбиты симметрии граней.

Одна и та же абстрактная структура может поддерживать более или менее симметричные геометрические многогранники. Но если дано многогранное имя, например икосододекаэдр, почти всегда подразумевается наиболее симметричная геометрия, если не указано иное.^{[нужна цитата ]}

Существует несколько типов высокосимметричных многогранников, классифицируемых по типу элементов - граням, ребрам или вершинам - принадлежащим одной орбите симметрии:

• Обычный: вершинно-транзитивный, реберный и гранный. (Это означает, что все лица одинаковы правильный многоугольник; это также означает, что каждая вершина регулярна.)
• Квазирегулярный: вершинно-транзитивный и реберно-транзитивный (и, следовательно, имеет правильные грани), но не гранный транзитивный. Квазирегулярный двойник является гранно-транзитивным и реберно-транзитивным (и, следовательно, каждая вершина регулярна), но не вершинно-транзитивным.
• Полурегулярный: вершинно-транзитивный, но не реберный, и каждая грань является правильным многоугольником. (Это одно из нескольких определений термина, в зависимости от автора. Некоторые определения перекрываются с квазирегулярным классом.) Эти многогранники включают полуправильные призмы и антипризмы. Полурегулярный двойник является гранно-транзитивным, но не вершинно-транзитивным, и каждая вершина регулярна.
• Униформа: вершинно-транзитивный, и каждая грань является правильным многоугольником, то есть правильным, квазирегулярным или полурегулярным. Равномерный двойственный элемент является гранно-транзитивным и имеет правильные вершины, но не обязательно является вершинно-транзитивным.
• Изогональный: вершинно-транзитивный.
• Изотоксал: edge-transitive.
• Изоэдральный: face-transitive.
• благородный: грань-транзитивная и вершинно-транзитивная (но не обязательно реберно-транзитивная). Правильные многогранники также благородны; они единственные благородные однородные многогранники. Двойники благородных многогранников сами по себе благородны.

Некоторые классы многогранников имеют только одну главную ось симметрии. К ним относятся пирамиды, бипирамиды, трапецоэдры, купола, а также полуправильные призмы и антипризмы.

Правильные многогранники

Правильные многогранники наиболее симметричны. Всего правильных многогранников девять: пять выпуклых и четыре звездчатых.

Пять выпуклых примеров известны с древности и называются Платоновы тела. Это треугольная пирамида или тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр:

Есть также четыре правильных звездных многогранника, известных как Многогранники Кеплера – Пуансо после их первооткрывателей.

Двойственный к правильному многограннику также правильный.

Равномерные многогранники и их двойники

Равномерные многогранники вершинно-транзитивный и каждое лицо - это правильный многоугольник.Они могут быть подразделены на обычный, квазирегулярный, или же полурегулярный, и может быть выпуклым или звездчатым.

Двойники однородных многогранников имеют неправильные грани, но являются лицо переходный, и каждый вершина фигура - правильный многоугольник. Однородный многогранник имеет те же орбиты симметрии, что и его двойственный, с просто переставленными поверхностями граней и вершин. Двойники выпуклых архимедовых многогранников иногда называют Каталонские твердые вещества.

Однородные многогранники и двойственные к ним традиционно классифицируются в зависимости от их степени симметрии и того, являются ли они выпуклый или нет.

Изоэдра

An изоэдр является многогранником, на гранях которого транзитивно действуют симметрии. Их топологию можно представить в виде конфигурация лица. Все 5 Платоновы тела и 13 Каталонские твердые вещества изоэдры, а также бесконечные семейства трапецоэдры и бипирамиды. Некоторые изоэдры допускают геометрические вариации, включая вогнутые и самопересекающиеся формы.

Группы симметрии

Полный икосаэдрическая симметрия делит сферу на 120 треугольных областей.

Многие из симметрий или группы точек в трех измерениях названы в честь многогранников, обладающих соответствующей симметрией. К ним относятся:

• Т – хиральный тетраэдрическая симметрия; группа вращения для регулярного тетраэдр; заказ 12.
• Т_d – полный тетраэдрическая симметрия; группа симметрии для регулярного тетраэдр; заказ 24.
• Т_час – пиритоэдрическая симметрия; симметрия пиритоэдр; заказ 24.
• О – хиральный октаэдрическая симметрия; группа вращения куб и октаэдр; заказ 24.
• О_час – полный октаэдрическая симметрия; группа симметрии куб и октаэдр; заказ 48.
• я – хиральный икосаэдрическая симметрия; группа вращения икосаэдр и додекаэдр; заказ 60.
• я_час – полный икосаэдрическая симметрия; группа симметрии икосаэдр и додекаэдр; заказ 120.
• C_NV – п-кратная пирамидальная симметрия
• D_н – п-кратная призматическая симметрия
• D_NV – п-кратная антипризматическая симметрия.

Те, у кого хиральный симметрии нет симметрия отражения и, следовательно, имеют две энантиоморфные формы, которые являются отражением друг друга. Примеры включают курносый кубооктаэдр и курносый икосододекаэдр.

Другие важные семейства многогранников

Многогранники с правильными гранями

Помимо правильных и однородных многогранников, есть некоторые другие классы, которые имеют правильные грани, но более низкую общую симметрию.

Равные правильные лица

Выпуклые многогранники, каждая грань которых представляет собой один и тот же тип правильного многоугольника, можно найти среди трех семейств:

• Треугольники: эти многогранники называются дельтаэдры. Есть восемь выпуклых дельтаэдров: три платоновых тела и пять неоднородных примеров.
• Квадраты: куб - единственный выпуклый пример. Другие примеры ( поликубы ) можно получить, соединив кубики вместе, хотя следует соблюдать осторожность, если копланарный лиц следует избегать.
• Пентагоны: правильный додекаэдр - единственный выпуклый пример.

Все многогранники с равными правильными гранями шести или более сторон невыпуклы.

Таким образом, общее количество выпуклых многогранников с равными правильными гранями равно десяти: пять Платоновых тел и пять неоднородных дельтаэдров.^[27] Невыпуклых примеров бесконечно много. Бесконечные губчатые примеры, называемые бесконечные косые многогранники существуют в некоторых из этих семей.

Твердые тела Джонсона

Норман Джонсон искал, какие выпуклые неоднородные многогранники имеют правильные грани, хотя не обязательно все одинаковые. В 1966 году он опубликовал список из 92 таких твердых тел, дал им имена и номера и предположил, что других не существует. Виктор Залгаллер в 1969 г. доказал, что список этих Твердые тела Джонсона был полным.

Пирамиды

Пирамиды включают в себя одни из самых освященных веками и известных многогранников, например, четырехгранник. Египетские пирамиды.

Звездчатые и фасеточные

Звездчатость многогранника - это процесс расширения граней (в их плоскостях) так, чтобы они встречались, чтобы сформировать новый многогранник.

Это точная обратная^{[требуется разъяснение ]} к процессу огранки, который представляет собой процесс удаления частей многогранника без создания новых вершин.

На рисунках ниже показаны некоторые звездчатые формы правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.

Зоноэдры

Зоноэдр - это выпуклый многогранник, в котором каждая грань является многоугольник что симметрично относительно вращения через 180 °. Зоноэдры также можно охарактеризовать как Суммы Минковского отрезков и включают несколько важных многогранников, заполняющих пространство.^[28]

Многогранники, заполняющие пространство

Многогранник, заполняющий пространство, заполняется копиями самого себя, заполняя пространство. Такую плотную упаковку или заполнение пространства часто называют мозаикой пространства или сотами. Многогранники, заполняющие пространство, должны иметь Инвариант Дена равно нулю. Некоторые соты содержат более одного вида многогранников.

Решетчатые многогранники

Выпуклый многогранник, все вершины которого имеют целочисленные координаты, называется решетчатый многогранник или же цельный многогранник. Многочлен Эрхарта решетчатого многогранника подсчитывает, сколько точек с целое число координаты лежат в масштабированной копии многогранника как функция масштабного коэффициента. Изучение этих многочленов лежит на пересечении комбинаторика и коммутативная алгебра.^[29]

Гибкие многогранники

Некоторые многогранники могут изменять свою общую форму, сохраняя при этом формы их граней, изменяя углы их ребер. Многогранник, который может это сделать, называется изгибаемым многогранником. К Теорема Коши о жесткости, изгибаемые многогранники должны быть невыпуклыми. Объем гибкого многогранника должен оставаться постоянным при изгибе; этот результат известен как теорема сильфона.^[30]

Соединения

Многогранник состоит из двух или более многогранников, имеющих общий центр. Симметричные соединения часто имеют те же самые вершины, что и другие хорошо известные многогранники, и часто также могут быть образованы звездообразной формой. Некоторые из них перечислены в список моделей многогранников Веннингера.

Ортогональные многогранники

Ортогональный многогранник - это такой многогранник, все грани которого пересекаются в точках прямые углы, и все ребра которого параллельны осям декартовой системы координат. (Икосаэдр Джессена представляет собой пример многогранника, удовлетворяющего одному, но не обоим из этих двух условий.) Помимо прямоугольные коробки ортогональные многогранники невыпуклые. Они являются трехмерными аналогами двумерных ортогональных многоугольников, также известных как прямолинейные многоугольники. Ортогональные многогранники используются в вычислительная геометрия, где их ограниченная структура позволила решить проблемы, нерешенные для произвольных многогранников, например, развернуть поверхность многогранника в полигональная сетка.^[31]

Обобщения многогранников

Название «многогранник» стало использоваться для обозначения множества объектов, имеющих структурные свойства, аналогичные традиционным многогранникам.

Апейроэдра

Классическая многогранная поверхность имеет конечное число граней, попарно соединенных по ребрам. В апейроэдры образуют связанный класс объектов с бесконечным количеством граней. Примеры апейроэдров включают:

• мозаики или мозаика самолета, и
• губчатые структуры, называемые бесконечные косые многогранники.

Комплексные многогранники

Есть объекты, называемые сложными многогранниками, для которых основное пространство является сложный Гильбертово пространство а не реальное евклидово пространство. Точные определения существуют только для правильных комплексных многогранников, группы симметрии которых сложные группы отражений. Сложные многогранники математически более тесно связаны с конфигурации чем настоящие многогранники.^[32]

Изогнутые многогранники

Некоторые области исследований позволяют многогранникам иметь искривленные грани и ребра. Изогнутые грани могут позволить двуугольный лица существуют с положительной областью.

Сферические многогранники

Когда поверхность сферы делится на конечное число большие дуги (эквивалентно плоскостям, проходящим через центр сферы), результат называется сферическим многогранником. Многие выпуклые многогранники, обладающие некоторой степенью симметрии (например, все Платоновы тела), можно спроецировать на поверхность концентрической сферы, чтобы получить сферический многогранник. Однако обратный процесс не всегда возможен; некоторые сферические многогранники (например, Hosohedra ) не имеют аналога с плоским лицом.^[33]

Изогнутые многогранники, заполняющие пространство

Если поверхности могут быть как вогнутыми, так и выпуклыми, соседние грани могут быть выполнены так, чтобы они встречались вместе без зазора. Некоторые из этих изогнутых многогранников могут складываться вместе, заполняя пространство. Два важных типа:

• Пузырьки в пене и пенах, например Пузырьки Вира-Фелана.^[34]
• Формы, используемые в архитектуре.^[35]

Идеальные многогранники

Выпуклые многогранники можно определить в трехмерном пространстве. гиперболическое пространство так же, как в евклидовом пространстве, как выпуклые оболочки конечных множеств точек, однако в гиперболическом пространстве также можно рассматривать идеальные точки а также точки, лежащие в пространстве. An идеальный многогранник - выпуклая оболочка конечного множества идеальных точек. Его грани представляют собой идеальные многоугольники, но его ребра определяются целыми гиперболическими линиями, а не отрезками прямых, а его вершины (идеальные точки которых это выпуклая оболочка) не лежат в гиперболическом пространстве.

Скелеты и многогранники как графы

Забывая о структуре лица, любой многогранник порождает график, назвал его скелет, с соответствующими вершинами и ребрами. Такие фигуры имеют давнюю историю: Леонардо да Винчи разработал каркасные модели правильных тел, которые он нарисовал для Пачоли книга Divina Proportione, и подобные каркасный многогранники появляются в M.C. Эшер печать Звезды.^[36] Одним из основных моментов этого подхода является Теорема Стейница, который дает чисто теоретико-графическую характеристику скелетов выпуклых многогранников: он утверждает, что скелет каждого выпуклого многогранника является 3-связный планарный граф, а всякий 3-связный плоский граф является остовом некоторого выпуклого многогранника.

Ранняя идея абстрактные многогранники был разработан в Бранко Грюнбаум изучение «многогранников с полыми гранями». Грюнбаум определил грани как циклически упорядоченные множества вершин и позволил им быть перекос а также планарный.^[37]

Перспектива графа позволяет применять терминология графа и свойства многогранников. Например, тетраэдр и Многогранник Часара являются единственными известными многогранниками, скелеты которых полные графики (K₄), а различные ограничения симметрии многогранников приводят к появлению скелетов, симметричные графы.

Альтернативные способы использования

Со второй половины двадцатого века было обнаружено, что различные математические конструкции обладают свойствами, также присутствующими в традиционных многогранниках. Вместо того чтобы ограничивать термин «многогранник» для описания трехмерного многогранника, он был принят для описания различных родственных, но различных видов структур.

Многомерные многогранники

Многогранник был определен как набор точек в настоящий аффинный (или же Евклидово ) пространство любой размерности п с плоскими сторонами. В качестве альтернативы его можно определить как пересечение конечного числа полупространства. В отличие от обычного многогранника, он может быть ограниченным или неограниченным. В этом смысле многогранник - ограниченный многогранник.^[15][16]

Аналитически такой выпуклый многогранник выражается как множество решений системы линейных неравенств. Такое определение многогранников дает геометрическую перспективу для задач в линейное программирование. Многие традиционные многогранные формы являются многогранниками в этом смысле. Другие примеры включают:

• Квадрант в плоскости. Например, область декартовой плоскости, состоящая из всех точек над горизонтальной осью и правее вертикальной оси: { ( Икс, y ) : Икс ≥ 0, y ≥ 0 } . Its sides are the two positive axes, and it is otherwise unbounded.
• An octant in Euclidean 3-space, { ( Икс, y, z ) : Икс ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 } .
• A prism of infinite extent. For instance a doubly infinite square prism in 3-space, consisting of a square in the xy-plane swept along the z-axis: { ( Икс, y, z ) : 0 ≤ Икс ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 } .
• Each клетка в Voronoi tessellation is a convex polyhedron. In the Voronoi tessellation of a set S, the cell А corresponding to a point c ∈ S is bounded (hence a traditional polyhedron) when c lies in the interior из выпуклый корпус из S, and otherwise (when c lies on the граница of the convex hull of S) А is unbounded.

Topological polyhedra

A topological polytope is a topological space given along with a specific decomposition into shapes that are topologically equivalent to convex polytopes and that are attached to each other in a regular way.

Such a figure is called simplicial if each of its regions is a симплекс, i.e. in an п-dimensional space each region has п+1 vertices. The dual of a simplicial polytope is called simple. Similarly, a widely studied class of polytopes (polyhedra) is that of cubical polyhedra, when the basic building block is an п-dimensional cube.

Abstract polyhedra

An abstract polytope это partially ordered set (poset) of elements whose partial ordering obeys certain rules of incidence (connectivity) and ranking. The elements of the set correspond to the vertices, edges, faces and so on of the polytope: vertices have rank 0, edges rank 1, etc. with the partially ordered ranking corresponding to the dimensionality of the geometric elements. The empty set, required by set theory, has a rank of −1 and is sometimes said to correspond to the null polytope. An abstract polyhedron is an abstract polytope having the following ranking:

• rank 3: The maximal element, sometimes identified with the body.
• rank 2: The polygonal faces.
• rank 1: The edges.
• rank 0: the vertices.
• rank −1: The empty set, sometimes identified with the null polytope или же nullitope.^[38]

Any geometric polyhedron is then said to be a "realization" in real space of the abstract poset as described above.

История

Древний

Предыстория

Polyhedra appeared in early architectural forms such as cubes and cuboids, with the earliest four-sided pyramids of ancient Египет also dating from the Stone Age.

В Etruscans preceded the Greeks in their awareness of at least some of the regular polyhedra, as evidenced by the discovery of an Etruscan dodecahedron сделано из soapstone на Monte Loffa. Its faces were marked with different designs, suggesting to some scholars that it may have been used as a gaming die.^[39]

Greek civilisation

The earliest known написано records of these shapes come from Classical Греческий authors, who also gave the first known mathematical description of them. The earlier Greeks were interested primarily in the convex regular polyhedra, which came to be known as the Platonic solids. Пифагор knew at least three of them, and Theaetetus (circa 417 B. C.) described all five. В итоге, Euclid described their construction in his Элементы. Потом, Archimedes expanded his study to the convex uniform polyhedra which now bear his name. His original work is lost and his solids come down to us through Pappus.

Китай

Cubical gaming dice in China have been dated back as early as 600 B.C.^{[нужна цитата ]}

By 236 AD, Liu Hui was describing the dissection of the cube into its characteristic tetrahedron (orthoscheme) and related solids, using assemblages of these solids as the basis for calculating volumes of earth to be moved during engineering excavations.

Islamic civilisation

After the end of the Classical era, scholars in the Islamic civilisation continued to take the Greek knowledge forward (see Математика в средневековом исламе ).

The 9th century scholar Thabit ibn Qurra gave formulae for calculating the volumes of polyhedra such as truncated pyramids.

Then in the 10th century Abu'l Wafa described the convex regular and quasiregular spherical polyhedra.

эпоха Возрождения

As with other areas of Greek thought maintained and enhanced by Islamic scholars, Western interest in polyhedra revived during the Italian эпоха Возрождения. Artists constructed skeletal polyhedra, depicting them from life as a part of their investigations into перспектива. Several appear in marquetry panels of the period. Piero della Francesca gave the first written description of direct geometrical construction of such perspective views of polyhedra. Леонардо да Винчи made skeletal models of several polyhedra and drew illustrations of them for a book by Pacioli. A painting by an anonymous artist of Pacioli and a pupil depicts a glass rhombicuboctahedron half-filled with water.

As the Renaissance spread beyond Italy, later artists such as Wenzel Jamnitzer, Dürer and others also depicted polyhedra of various kinds, many of them novel, in imaginative etchings.

Star polyhedra

For almost 2,000 years, the concept of a polyhedron as a convex solid had remained as developed by the ancient Greek mathematicians.

Вовремя эпоха Возрождения star forms were discovered. A marble tarsia in the floor of St. Mark's Basilica, Venice, depicts a stellated dodecahedron. Artists such as Wenzel Jamnitzer delighted in depicting novel star-like forms of increasing complexity.

Иоганн Кеплер (1571–1630) used star polygons обычно pentagrams, to build star polyhedra. Some of these figures may have been discovered before Kepler's time, but he was the first to recognize that they could be considered "regular" if one removed the restriction that regular polyhedra must be convex. Потом, Louis Poinsot realised that star vertex figures (circuits around each corner) can also be used, and discovered the remaining two regular star polyhedra. Cauchy proved Poinsot's list complete, and Cayley gave them their accepted English names: (Kepler's) the small stellated dodecahedron и great stellated dodecahedron, and (Poinsot's) the great icosahedron и great dodecahedron. Collectively they are called the Kepler–Poinsot polyhedra.

The Kepler–Poinsot polyhedra may be constructed from the Platonic solids by a process called stellation. Most stellations are not regular. The study of stellations of the Platonic solids was given a big push by H.S.M. Coxeter and others in 1938, with the now famous paper The 59 icosahedra.^[40]

The reciprocal process to stellation is called facetting (or faceting). Every stellation of one polytope is dual, or reciprocal, to some facetting of the dual polytope. The regular star polyhedra can also be obtained by facetting the Platonic solids. Bridge (1974) listed the simpler facettings of the dodecahedron, and reciprocated them to discover a stellation of the icosahedron that was missing from the set of "59".^[41] More have been discovered since, and the story is not yet ended.^{[нужна цитата ]}

Euler's formula and topology

Two other modern mathematical developments had a profound effect on polyhedron theory.

In 1750 Леонард Эйлер for the first time considered the edges of a polyhedron, allowing him to discover his polyhedron formula relating the number of vertices, edges and faces. This signalled the birth of topology, sometimes referred to as "rubber sheet geometry", and Анри Пуанкаре developed its core ideas around the end of the nineteenth century. This allowed many longstanding issues over what was or was not a polyhedron to be resolved.

Max Brückner summarised work on polyhedra to date, including many findings of his own, in his book "Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte" (Polygons and polyhedra: Theory and History). Published in German in 1900, it remained little known.

Meanwhile, the discovery of higher dimensions led to the idea of a polyhedron as a three-dimensional example of the more general polytope.

Twentieth-century revival

By the early years of the twentieth century, mathematicians had moved on and geometry was little studied. Coxeter's analysis in The Fifty-Nine Icosahedra introduced modern ideas from теория графов и combinatorics into the study of polyhedra, signalling a rebirth of interest in geometry.

Coxeter himself went on to enumerate the star uniform polyhedra for the first time, to treat tilings of the plane as polyhedra, to discover the regular skew polyhedra and to develop the theory of complex polyhedra first discovered by Shephard in 1952, as well as making fundamental contributions to many other areas of geometry.

In the second part of the twentieth century, Grünbaum published important works in two areas. One was in convex polytopes, where he noted a tendency among mathematicians to define a "polyhedron" in different and sometimes incompatible ways to suit the needs of the moment. The other was a series of papers broadening the accepted definition of a polyhedron, for example discovering many new regular polyhedra. At the close of the 20th century these latter ideas merged with other work on incidence complexes to create the modern idea of an abstract polyhedron (as an abstract 3-polytope), notably presented by McMullen and Schulte.

In nature

For natural occurrences of regular polyhedra, see Regular polyhedron § Regular polyhedra in nature.

Irregular polyhedra appear in nature as crystals.

Смотрите также

Рекомендации

Примечания

Источники

внешняя ссылка

General theory

• Вайсштейн, Эрик В., "Polyhedron", MathWorld
• Polyhedra Pages
• Uniform Solution for Uniform Polyhedra by Dr. Zvi Har'El
• Symmetry, Crystals and Polyhedra

Lists and databases of polyhedra

• Virtual Reality Polyhedra – The Encyclopedia of Polyhedra
• Electronic Geometry Models – Contains a peer reviewed selection of polyhedra with unusual properties.
• Polyhedron Models – Virtual polyhedra
• Paper Models of Uniform (and other) Polyhedra

Бесплатно программное обеспечение

• A Plethora of Polyhedra – An interactive and free collection of polyhedra in Java. Features includes nets, planar sections, duals, truncations and stellations of more than 300 polyhedra.
• Hyperspace Star Polytope Slicer – Explorer java applet, includes a variety of 3d viewer options.
• openSCAD – Free cross-platform software for programmers. Polyhedra are just one of the things you can model. В openSCAD User Manual также доступен.
• OpenVolumeMesh – An open source cross-platform C++ library for handling polyhedral meshes. Developed by the Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
• Polyhedronisme – Web-based tool for generating polyhedra models using Conway Polyhedron Notation. Models can be exported as 2D PNG images, or as 3D OBJ or VRML2 files. The 3D files can be opened in CAD software, or uploaded for 3D printing at services such as Shapeways.

Resources for making physical models

• Paper Models of Polyhedra Free nets of polyhedra
• Simple instructions for building over 30 paper polyhedra
• Polyhedra plaited with paper strips – Polyhedra models constructed without use of glue.
• Adopt a Polyhedron - Interactive display, nets and 3D printer data for all combinatorial types of polyhedra with up to nine vertices.