Икосаэдр Джессена - Википедия - Jessens icosahedron

Икосаэдр Джессена

Икосаэдр Джессенаиногда называют Ортогональный икосаэдр Джессена, это невыпуклый многогранник с тем же количеством вершин, ребер и граней, что и обычный икосаэдр. Его лица встречаются только в прямые углы, хотя все они не могут быть сделаны параллельными координатным плоскостям. Он назван в честь Бёрге Йессен кто исследовал это в 1967.[1]

Строительство

Вершины икосаэдра Джессена могут быть выбраны в качестве своих координаты 12 баллов, присвоенных циклические перестановки координат .[1] При таком координатном представлении короткие ребра икосаэдра (с выпуклыми углами) имеют длину , а длинные (рефлекторные) ребра имеют длину . Грани икосаэдра равносторонние треугольники с короткой стороной, и равнобедренные треугольники с одним длинным краем и двумя короткими краями.

Правильный икосаэдр и его невыпуклый вариант, который отличается от икосаэдра Джессена тупыми двугранными углами вместо прямых.

Подобную форму можно сформировать, сохранив вершины правильного икосаэдра в их исходных положениях и заменив определенные пары граней равностороннего треугольника парами равнобедренных треугольников, и эту форму также иногда неправильно называли икосаэдром Джессена.[2][3][4]Однако полученный многогранник не имеет прямоугольных двугранцев. Вершины икосаэдра Джессена возмущены из этих положений, чтобы все двугранные углы были прямыми.

Характеристики

Икосаэдр Джессена вершинно-транзитивный (или же изогональный), что означает, что он имеет симметрии, переводящие любую вершину в любую другую вершину.[5] Его двугранные углы все прямые углы. Его можно использовать как основу для построения большого семейства многогранников с прямыми двугранными углами, образованных склейкой копий икосаэдра Джессена на их равносторонних треугольных гранях.[1]

А сеть для икосаэдра Джессена, подходит для создания (шаткой) физической модели

Хотя это не гибкий многогранник, Икосаэдр Джессена также не бесконечно жесткий; то есть это «шаткий многогранник».[6] Поскольку очень небольшие изменения длины его ребер могут вызвать гораздо большие изменения его углов, физические модели многогранника кажутся гибкими.[7]

Как и в случае с более простым Многогранник Шёнхардта, внутренность икосаэдра Джессена не может быть триангулированный в тетраэдры без добавления новых вершины.[8] Однако, поскольку в нем Инвариант Дена равно нулю, это ножницы-конгруэнтные в куб, что означает, что его можно разрезать на более мелкие многогранные части, которые можно переставить, чтобы сформировать твердый куб.[1]

Преобразование Jitterbug

Непрерывное преобразование с остановкой в ​​вершине икосаэдра Джессена

Икосаэдр Джессена - один из непрерывных серий икосаэдров с 8 правильными гранями и 12 равнобедренными гранями, описанных Х. С. М. Коксетер в 1948.Формы в этом семействе варьируются от кубооктаэдра до правильного октаэдра (как предельные случаи), который может быть вписан в правильный октаэдр.[9]Закручивающие, расширяюще-сжимающие преобразования между членами этого семейства были названы Преобразования Jitterbug к Бакминстер Фуллер.[10]

Рекомендации

  1. ^ а б c d Йессен, Бёрге (1967). «Ортогональные икосаэдры». Нордиск Математиск Тидскрифт. 15 (2): 90–96. JSTOR  24524998. МИСТЕР  0226494.CS1 maint: ref = harv (связь)
  2. ^ Уэллс, Д. Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin, Лондон: Пингвин, (1991). п. 161.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Ортогональный икосаэдр Джессена". MathWorld.
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Шаткий многогранник". MathWorld.
  5. ^ Грюнбаум, Бранко (1999). «Акоптические многогранники» (PDF). Достижения в дискретной и вычислительной геометрии (South Hadley, MA, 1996). Современная математика. 223. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 163–199. Дои:10.1090 / conm / 223/03137. МИСТЕР  1661382.
  6. ^ Гольдберг, Майкл (1978). «Неустойчивые многогранные конструкции». Математический журнал. 51 (3): 165–170. Дои:10.2307/2689996. JSTOR  2689996. МИСТЕР  0498579.
  7. ^ Горкавый, В .; Калинин, Д. (2016). «О модельной гибкости ортогонального икосаэдра Джессена». Beiträge zur Algebra und Geometrie. 57 (3): 607–622. Дои:10.1007 / s13366-016-0287-5. МИСТЕР  3535071.
  8. ^ Бездек, Андраш; Карриган, Брэкстон (2016). «О нетриангулируемых многогранниках». Beiträge zur Algebra und Geometrie. 57 (1): 51–66. Дои:10.1007 / s13366-015-0248-4. МИСТЕР  3457762.
  9. ^ Кокстер, H.S.M. (1973) [1948]. «§3.7. Координаты вершин правильных и квазирегулярных тел». Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. С. 50–52.CS1 maint: ref = harv (связь)
  10. ^ Верхейен, Х. Ф. (1989). «Полный комплект трансформаторов Jitterbug и анализ их движения». Компьютеры и математика с приложениями. 17 (1–3): 203–250. Дои:10.1016/0898-1221(89)90160-0. МИСТЕР  0994201.CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка