Поликуб - Polycube

"Tetracube" перенаправляется сюда. Для четырехмерного объекта см. тессеракт.
Все 8 односторонних тетракубов - если игнорировать хиральность, два нижних серых цвета считаются одинаковыми, что дает всего 7 свободных тетракубов.
Головоломка с расстановкой пентакубов

А поликуб представляет собой сплошную фигуру, образованную соединением одного или нескольких равных кубики лицом к лицу. Поликубы - трехмерные аналоги плоского полимино. В Куб Сомы, то Куб бедлама, то Дьявольский куб, то Пазл Ленивец – Граацма, а Загадка Конвея являются примерами проблемы с упаковкой на основе поликубов.[1]

Перечисление поликубов

А хиральный пентакуб

Нравиться полимино, поликубы можно перечислить двумя способами, в зависимости от того, хиральный пары поликубов считаются как один или два поликуба. Например, 6 тетракубов имеют зеркальная симметрия и один хиральный, что дает соответственно 7 или 8 тетракубов.[2] В отличие от полимино, поликубы обычно считаются с выделенными парами зеркал, потому что нельзя перевернуть поликуб, чтобы отразить его, как можно полимино в трех измерениях. В частности, Куб Сомы использует обе формы хирального тетракуба.

Поликубы классифицируются по количеству кубических ячеек:[3]

пИмя п-поликубКоличество односторонних п-поликубы
(отражения считаются отдельными)
(последовательность A000162 в OEIS )		Количество бесплатных п-поликубы
(отражения считаются вместе)
(последовательность A038119 в OEIS )
1монокуб11
2dicube11
3трикуб22
4тетракуб87
5пентакуб2923
6шестигранник166112
7гептакуб1023607
8октакуб69223811

Поликубы были пронумерованы до п=16.[4] Совсем недавно были исследованы определенные семейства поликубов.[5][6]

Симметрии поликубов

Как и в случае с полиимино, поликубы можно классифицировать по тому, сколько у них симметрий. Симметрии поликуба (классы сопряженности подгрупп ахиральной октаэдрическая группа ) были впервые перечислены У. Ф. Ланноном в 1972 году. Большинство поликубов асимметричны, но многие имеют более сложные группы симметрии, вплоть до полной группы симметрии куба с 48 элементами. Возможны многие другие симметрии; например, существует семь возможных форм 8-кратной симметрии [2]

Свойства пентакубов

12 пентакубов плоские и соответствуют пентамино. 5 из остальных 17 имеют зеркальную симметрию, а остальные 12 образуют 6 хиральных пар.

Ограничивающие прямоугольники пентакубов имеют размеры 5 × 1 × 1, 4 × 2 × 1, 3 × 3 × 1, 3 × 2 × 1, 4 × 2 × 2, 3 × 2 × 2 и 2 × 2 × 2. .[7]

Поликуб может иметь до 24 ориентаций в кубической решетке или до 48, если допускается отражение. Из пентакубов 2 плоскости (5-1-1 и крест) имеют зеркальную симметрию по всем трем осям; у них всего три ориентации. 10 имеют одну зеркальную симметрию; у них есть 12 ориентаций. Каждый из оставшихся 17 пентакубов имеет 24 ориентации.

Октакубы и развертывание гиперкуба

Крест Дали

В тессеракт (четырехмерный гиперкуб ) имеет восемь кубиков в качестве грани, и точно так же, как куб может быть развернутый в гексомино, тессеракт можно развернуть в октакуб. Одно развертывание, в частности, имитирует хорошо известное развертывание куба в Латинский крест: он состоит из четырех кубиков, уложенных друг на друга, а еще четыре куба прикреплены к открытым квадратным граням второго сверху куба стопки, образуя трехмерный двойной крест форма. Сальвадор Дали использовал эту форму в своей картине 1954 года Распятие (Corpus Hypercubus)[8] и это описано в Роберт А. Хайнлайн рассказ 1940 г. "И он построил кривой дом ".[9] В честь Дали этот октакуб был назван Дали крест.[10][11] Может пространство плитки.[10]

В более общем плане (отвечая на вопрос, заданный Мартин Гарднер в 1966 г.), из всех 3811 различных свободных октакубов 261 являются развёртыванием тессеракта.[10][12]

Граничная связность

Хотя кубы поликуба должны быть соединены квадрат с квадратом, квадраты его границы не обязательно должны быть соединены ребром к ребру. Например, 26-куб, образованный путем создания куба 3 × 3 × 3 сетка кубов с последующим удалением центрального куба - это действительный поликуб, в котором граница внутренней пустоты не соединена с внешней границей. Также не требуется, чтобы граница поликуба образовывала многообразие Например, у одного из пентакубов есть два куба, которые пересекаются друг с другом, так что ребро между ними является стороной четырех граничных квадратов.

Если поликуб имеет дополнительное свойство, заключающееся в том, что его дополнение (набор целочисленных кубов, не принадлежащих поликубу) соединяется путями из кубов, пересекающихся квадратом, то граничные квадраты поликуба обязательно также соединяются путями. квадратов, пересекающихся от края до края.[13] То есть в этом случае граница образует полиоминоид.

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Может ли каждый поликуб со связной границей быть развернутый полимино? Если да, то можно ли развернуть каждый такой поликуб в полимино, покрывающее плоскость?
(больше нерешенных задач по математике)

Каждый k-куб с k < 7 а также крест Дали (с k = 8) возможно развернутый полимино, которое покрывает плоскость. открытая проблема можно ли каждый поликуб со связной границей развернуть в полимино, или это всегда можно сделать с дополнительным условием, что полимино разбивает плоскость.[11]

Двойной график

Структуру поликуба можно визуализировать с помощью «двойного графа», который имеет вершину для каждого куба и ребро для каждых двух кубов, которые имеют общий квадрат.[14] Это отличается от одноименных понятий двойственный многогранник, и из двойственный граф графа, вложенного в поверхность.

Двойственные графы также использовались для определения и изучения специальных подклассов поликубов, таких как те, чей двойственный граф является деревом.[15]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Поликуб». Из MathWorld
  2. ^ а б Ланнон, У. Ф. (1972). «Симметрия кубического и общего полиимино». В Риде, Рональд С. (ред.). Теория графов и вычисления. Нью-Йорк: Academic Press. С. 101–108. ISBN  978-1-48325-512-5.
  3. ^ Поликубы, на Poly Pages
  4. ^ Перечень поликубов Кевина Гонга
  5. ^ «Перечень конкретных классов поликубов», Жан-Марк Шампарно и др., Руанский университет, Франция PDF
  6. ^ «Свертка Дирихле и перечисление поликубов пирамид», К. Карре, Н. Дебру, М. Денефшатель, Ж. Дюбернар, К. Хиллерэ, Ж. Люк, О. Малле; 19 ноября 2013 г. PDF
  7. ^ Аартс, Рональд М. "Пентакуб". Из MathWorld.
  8. ^ Кемп, Мартин (1 января 1998 г.), "Размеры Дали", Природа, 391 (27), Bibcode:1998Натура.391 ... 27К, Дои:10.1038/34063
  9. ^ Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», Мировая литература сегодня, 84 (3): 48–52, JSTOR  27871086, Книга Роберта Хайнлайна «И он построил кривый дом», опубликованная в 1940 году, и книга Мартина Гарднера «Беспристрастный профессор», опубликованная в 1946 году, являются одними из первых произведений научной фантастики, знакомящих читателей с лентой Мебиуса, бутылкой Клейна и гиперкуб (тессеракт)..
  10. ^ а б c Диас, Джованна; О'Рурк, Джозеф, Гиперкуб разворачивает плитку и , arXiv:1512.02086, Bibcode:2015arXiv151202086D.
  11. ^ а б Лангерман, Стефан; Уинслоу, Эндрю (2016), «Поликуб разворачивается, удовлетворяя критерию Конвея» (PDF), 19-я японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии, графам и играм (JCDCG ^ 3 2016).
  12. ^ Терни, Питер (1984), «Разворачивание тессеракта», Журнал развлекательной математики, 17 (1): 1–16, МИСТЕР  0765344.
  13. ^ Багчи, Амитабха; Бхаргава, Анкур; Чаудхари, Амитабх; Эппштейн, Дэвид; Шайделер, Кристиан (2006), «Влияние сбоев на расширение сети», Теория вычислительных систем, 39 (6): 903–928, arXiv:cs / 0404029, Дои:10.1007 / s00224-006-1349-0, МИСТЕР  2279081. См., В частности, лемму 3.9, с. 924, в котором говорится об обобщении этого свойства граничной связности на многомерные поликубы.
  14. ^ Барекет, Ронни; Барекет, Гилл; Роте, Гюнтер (2010), "Формулы и темпы роста многомерных поликубов", Комбинаторика, 30 (3): 257–275, Дои:10.1007 / s00493-010-2448-8, МИСТЕР  2728490.
  15. ^ Алупис, Грег; Бозе, Просенджит К.; Коллетт, Себастьян; Демейн, Эрик Д.; Демейн, Мартин Л.; Дуэб, Карим; Дуймович, Вида; Яконо, Джон; Лангерман, Стефан; Морен, Пат (2011), «Распространенные развертывания полимино и поликубов», Вычислительная геометрия, графики и приложения (PDF), Конспект лекций по вычисл. Наук, 7033, Springer, Heidelberg, стр. 44–54, Дои:10.1007/978-3-642-24983-9_5, МИСТЕР  2927309.

внешняя ссылка