Octomino - Octomino

Не путать с Отомино.
369 бесплатных октимино

An Octomino (или же 8-омино) это полимино порядка 8, то есть многоугольник в самолет состоит из 8 одинаковых по размеру квадраты соединены встык.[1] Когда вращения и размышления не считаются отдельными формами, есть 369 разные свободный октамино. Когда отражения считаются отчетливыми, получается 704 односторонний октамино. Когда вращения также считаются отдельными, имеется 2725 фиксированный октамино.[2][3]

Симметрия

На рисунке показаны все возможные бесплатные октамино, раскрашенные в соответствии с их группы симметрии:

  • 316 октамино (окрашены в серый цвет) не имеют симметрия. Их группа симметрии состоит только из отображение идентичности.
  • 23 октамино (красного цвета) имеют ось симметрия отражения по линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: идентичности и отражения на линии, параллельной сторонам квадратов.
Отражение симметричных октимино 90 град.svg
  • 5 октимино (окрашены в зеленый цвет) имеют ось симметрии отражения под углом 45 ° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и диагонального отражения.
Отражение симметричных октимино 45 град.svg
  • 18 октимино (окрашены в синий цвет) имеют точечную симметрию, также известную как вращательная симметрия порядка 2. Их группа симметрии состоит из двух элементов: идентичности и поворота на 180 °.
Вращение симметричных октимино (C2) .svg
  • 1 октомино (окрашенный в желтый цвет) имеет вращательную симметрию четвертого порядка. Его группа симметрии состоит из четырех элементов, идентичности и вращения на 90 °, 180 ° и 270 °.
Вращение симметричного октомино (C4) .svg
  • У 4 октимино (окрашенных в фиолетовый цвет) есть две оси симметрии отражения, обе выровнены с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из четырех элементов: идентичности, двух отражений и поворота на 180 °. Это группа диэдра порядка 2, также известный как Кляйн четыре группы.
  • 1 октомино (оранжевого цвета) имеет две оси симметрии отражения, обе совмещенные с диагоналями. Его группа симметрии также является группой диэдра порядка 2 с четырьмя элементами.
  • 1 октомино (окрашено сине-зеленым цветом) имеет четыре оси симметрии отражения, выровненные с линиями сетки и диагоналями, и вращательную симметрию четвертого порядка. Его группа симметрии, двугранная группа порядка 4, состоит из восьми элементов.
Симметричные октамино вращения и отражения h.svg

Набор октимино - это самый низкий набор полимино, в котором реализованы все восемь возможных симметрий. Следующим более высоким набором с этим свойством является набор додекомино (12-омино).[3]

Если отражения октамино считаются отдельными, как это происходит с односторонними октамино, то первая, четвертая и пятая категории выше удваиваются по размеру, что приводит к дополнительным 335 октимино, всего 704. Если вращения также считаются отдельными, тогда октамино из первой категории засчитываются восьмикратно, из следующих трех категорий засчитываются четырехкратно, из категорий от пяти до семи учитываются дважды, а последнее октомино засчитывается только один раз. В результате получается 316 × 8 + (23 + 5 + 18) × 4 + (1 + 4 + 1) × 2 + 1 = 2725 фиксированных октимино.

Упаковка и укладка

Из 369 бесплатных октимино 320 удовлетворяют требованиям Критерий Конвея и еще 23 могут образовать заплатку, удовлетворяющую критерию.[4] Остальные 26 октимино (включая 6 с дырками) не могут составить мозаику на плоскости.[5]

Поскольку 6 бесплатных октимино имеют дырку, легко доказать, что полный набор октимино не может быть упакованный в прямоугольник, и что не все октимино могут быть выложенный плиткой.

Октомино с дырами.svg

Рекомендации

  1. ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-02444-8.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Октомино». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Получено 2008-07-22.
  3. ^ а б Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака». Дискретная математика. 36 (2): 191–203. Дои:10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5.
  4. ^ Роадс, Гленн С. (2005). «Плоские мозаики из полимино, полигексов и полиалмазов». Журнал вычислительной и прикладной математики. 174 (2): 329–353. Дои:10.1016 / j.cam.2004.05.002.
  5. ^ Гарднер, Мартин (август 1975). «Еще о мозаике плоскости: возможности полимино, полиалмазов и полигексов». Scientific American. 233 (2): 112–115.