Тромино - Tromino

Эта статья про геометрическую форму. Для игры похожей на домино, видеть Триомино.
Все возможные бесплатные тромино

А Тромино это полимино порядка 3, то есть многоугольник в самолет из трех одинаковых размеров квадраты соединены встык.[1]

Симметрия и перечисление

Когда вращения и размышления не считаются отдельными формами, есть только два разных свободный тримино: «I» и «L» (форма «L» также называется «V»).

Поскольку оба бесплатных тримино имеют симметрия отражения, они же единственные двое односторонний тромино (тромино с отчетливыми отражениями). Когда повороты также считаются отдельными, существует шесть фиксированный тримино: два I и четыре L. Их можно получить, повернув указанные выше формы на 90 °, 180 ° и 270 °.[2][3]

Rep-tiling и теорема тромино Голомба

Геометрическое рассечение L-образного гребня (реп-4)

Оба типа тромино можно разделить на п2 меньшие тромино того же типа, для любого целого числа п > 1. То есть они реп-плитки.[4] Продолжение этого разреза рекурсивно приводит к мозаике плоскости, которая во многих случаях является апериодическая мозаика. В этом контексте L-tromino называется стул, а его мозаика путем рекурсивного деления на четыре меньших L-тромино называется плитка для стула.[5]

По мотивам изуродованная проблема шахматной доски, Соломон В. Голомб использовал эту мозаику в качестве основы для того, что стало известно как теорема Тромино Голомба: если какой-либо квадрат удален из 2п × 2п шахматная доска, оставшаяся доска может быть полностью покрыта L-образным триомино. Чтобы доказать это математическая индукция, разделите доску на четвертную доску размера 2п-1 × 2п-1 который содержит удаленный квадрат и большой тромино, образованный тремя другими щитами. Тромино может быть рекурсивно разделено на единичные тромино, и разрез квартала с удалением одного квадрата следует по гипотезе индукции. Напротив, когда на шахматной доске такого размера удален один квадрат, не всегда возможно покрыть оставшиеся квадраты I-trominoes.[6]

Рекомендации

  1. ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-02444-8.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Триомино». MathWorld.
  3. ^ Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака». Дискретная математика. 36: 191–203. Дои:10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5.
  4. ^ Nițică, Виорел (2003), «Повторный визит Rep-tile», МАССА selecta, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 205–217, МИСТЕР  2027179.
  5. ^ Робинсон, Э. Артур-младший (1999). «На столе и на стуле». Indagationes Mathematicae. 10 (4): 581–599. Дои:10.1016 / S0019-3577 (00) 87911-2. МИСТЕР  1820555..
  6. ^ Голомб, С.В. (1954). «Шашечные доски и полимино». Американский математический ежемесячный журнал. 61: 675–682. Дои:10.2307/2307321. МИСТЕР  0067055..

внешняя ссылка