Полигекс (математика) - Polyhex (mathematics)

В развлекательная математика, а полигекс это полиформ с правильный шестиугольник (или сокращенно «шестигранник») в качестве базовой формы.

Как и с полимино, полигексы могут быть перечислены как свободный полигексы (где повороты и отражения считаются одной и той же формой), фиксированный полигексы (где разные ориентации считаются разными) и односторонний полигексы (где зеркальные изображения считаются отдельными, а повороты считаются идентичными). Их также можно различить по тому, могут ли они содержать отверстия. Количество бесплатных п-гексы для п = 1, 2, 3,… равно 1, 1, 3, 7, 22, 82, 333, 1448,… (последовательность A000228 в OEIS ); количество свободных полигексов с дырками равно OEIS: A038144; количество свободных полигексов без дырок определяется выражением OEIS: A018190; количество фиксированных полигексов равно OEIS: A001207; количество односторонних полигексов равно OEIS: A006535.^[1][2]

п	Свободный	Свободный с дырками	Бесплатно без дырок	Односторонний	Фиксированный
1	1	0	1	1	1
2	1	0	1	1	3
3	3	0	3	3	11
4	7	0	7	10	44
5	22	0	22	33	186
6	82	1	81	147	814
7	333	2	331	620	3652
8	1448	13	1435	2821	16689
9	6572	67	6505	12942	77359
10	30490	404	30086	60639	362671

Свойства тесселяции

Все полигексы, состоящие менее чем из пяти шестиугольников, могут образовывать по крайней мере одну правильную плоскую мозаику. Кроме того, плоские мозаики дигекса и прямых многогексов инвариантны при повороте или отражении на 180 градусов параллельно или перпендикулярно длинной оси дигекса (симметрия вращения 2 порядка и симметрия отражения 4), а также мозаики шестиугольника и некоторых других полигексов ( как гексагекс с одним отверстием ниже) инвариантны относительно поворота на 60, 120 или 180 градусов (симметрия вращения и отражения 6-го порядка).

Кроме того, шестиугольник - это шестиугольник, поэтому все полигексы также являются разными полиалмазами. Кроме того, поскольку равносторонний треугольник представляет собой шестиугольник и три равносторонних треугольника меньшего размера, можно наложить большой полиалмаз на любой полигекс, получив два полиалмаза, соответствующих каждому полигексу. Это используется в качестве основы для бесконечного деления шестиугольника на все меньшие и меньшие шестиугольники (повторная мозаика) или на шестиугольники и треугольники.

Из представленных в таблице полигексов 2 имеют 6-кратную симметрию вращения и отражения (таким образом, также 3-кратную и 2-кратную симметрию), моногекс и гексагекс с отверстием, 3 других имеют 3-кратное вращение (компактный тригекс , тетрагекс вертушки и шестигранник, выглядящие как равносторонний треугольник) и 3-кратная симметрия отражения, 9 других имеют 2-кратное вращение и отражение, 8 имеют только двукратное вращение, 16 просто двукратное отражение, а остальные 78 (большинство тетрагексов, пентагексов или гексагексов) асимметричны. Замощения большинства отражательно-симметричных полигексов также инвариантны относительно скользящих отражений того же порядка по длине полигекса. Ни один полигекс не имеет порядка симметрии выше шести для отражения, вращения или скольжения.

Моногекс:
Дигекс:
Три тригекса:
7 тетрахексов:
22 пентагекса:
82 гексагекса:

Смотрите также

• Мозаика
• Теория перколяции
• Полиалмаз - мозаики с равносторонними треугольниками
• Полёмино - мозаики с квадратами
• Полициклический ароматический углеводород - углеводороды, структура которых основана на полигексах
• Rep-tile - плитки форм, которые сделаны из уменьшенных копий самих себя

Рекомендации