Апериодическая мозаика - Aperiodic tiling

В Плитка Пенроуза является примером апериодической мозаики; каждая плитка, которую он может произвести, не хватает поступательная симметрия.

An апериодическая мозаика непериодический черепица с дополнительным свойством, что он не содержит сколь угодно больших периодических пятен. Набор типов плитки (или прототипы ) является апериодический если копии этих плиток могут образовывать только не-периодический мозаики. В Мозаики Пенроуза[1][2] являются наиболее известными примерами апериодических мозаик.

Апериодические мозаики служат математическими моделями дляквазикристаллы, физические твердые тела, открытые в 1982 г. Дэн Шехтман[3] который впоследствии получил Нобелевскую премию в 2011 году.[4] Однако конкретная локальная структура этих материалов до сих пор плохо изучена.

Известно несколько методов построения апериодических мозаик.

Определение и иллюстрация

Рассмотрим периодическую мозаику единичными квадратами (выглядит как бесконечная миллиметровая бумага ). Теперь разрежьте один квадрат на два прямоугольника. Полученный таким образом тайлинг непериодичен: нет ненулевого сдвига, который оставил бы тайлинг фиксированным. Но очевидно, что этот пример гораздо менее интересен, чем мозаика Пенроуза. Чтобы исключить такие скучные примеры, можно определить апериодический разбиение, которое не содержит сколь угодно больших периодических частей.

Тайлинг называется апериодическим, если его оболочка содержит только непериодические мозаики. В корпус плитки содержит все переводы Т + х из Твместе со всеми мозаиками, которые можно аппроксимировать сдвигами Т. Формально это закрытие множества в локальной топологии.[5] В локальной топологии (соответственно в соответствующей метрике) два тайлинга -закрыть, если они согласятся в шар радиусом вокруг начала координат (возможно, после сдвига одного из плиток на величину меньше, чем ).

Чтобы дать еще более простой пример, чем приведенный выше, рассмотрим одномерный тайлинг Т строки, которая выглядит как ...аааааабааааа... куда а представляет собой интервал длиной один, б представляет собой интервал длиной два. Таким образом, мозаика Т состоит из бесконечного множества копий а и одна копия б (скажем, с центром 0). Теперь все переводы Т мозаики с одним б где-то и аеще. Последовательность мозаик, где б сосредоточен в сходится - в локальной топологии - к периодическому замощению, состоящему из атолько. Таким образом Т не является апериодическим замощением, поскольку его оболочка содержит периодический тайлинг ...аааааа....

Для хороших мозаик (например, мозаики подстановки с конечным числом локальных шаблонов) выполняется: если мозаика непериодична и повторяющийся (т.е. каждый патч происходит в равномерно плотный пути на всем протяжении мозаики), то она апериодическая.[5]

История

Первое конкретное появление апериодических мозаик произошло в 1961 г., когда логики Хао Ван пытался определить, Проблема домино разрешима - то есть существует ли алгоритм для определения того, допускает ли данный конечный набор прототипов замощение плоскости. Ван нашел алгоритмы для перечисления наборов тайлов, которые не могут покрывать плоскость мозаикой, и наборов тайлов, которые периодически покрывают ее; тем самым он показал, что такой алгоритм решения существует, если каждый конечный набор прототипов, допускающий замощение плоскости, также допускает периодическое разбиение. Роберт Бергер нашел апериодический набор прототипов, из которых он продемонстрировал, что проблема мозаики на самом деле не разрешима.[6][7] Этот первый такой набор, использованный Бергером в его доказательстве неразрешимости, потребовал 20 426 плиток Ванга. Позже Бергер сократил свой сет до 104, и Ханс Лаухли впоследствии был обнаружен апериодический набор, требующий всего 40 плиток Ванга.[8] Еще меньший набор из шести апериодических плиток (основанный на плитках Ванга) был обнаружен Рафаэль М. Робинсон в 1971 г.[9] Роджер Пенроуз обнаружил еще три набора в 1973 и 1974 годах, сократив количество необходимых плиток до двух, и Роберт Амманн открыл несколько новых наборов в 1977 году.[8]

Апериодические мозаики Пенроуза могут быть порождены не только апериодическим набором прототипов, но и замена и по проектный метод. После открытия квазикристаллов апериодические мозаики стали интенсивно изучаться физиками и математиками. Проектный метод Н.Г. де Брюйн поскольку мозаики Пенроуза в конечном итоге оказались примером теории Наборы Мейера.[10][11] Сегодня существует большое количество литературы по апериодическим мозаикам.[5]

Конструкции

Известно несколько конструкций апериодических мозаик. Некоторые конструкции основаны на бесконечных наборах апериодических наборов плиток.[12][13] Те конструкции, которые были обнаружены, в основном построены несколькими способами, в первую очередь, путем создания некой непериодической иерархической структуры. Несмотря на это, неразрешимость из Проблема домино гарантирует, что должно быть бесконечно много различных принципов построения, и что на самом деле существуют апериодические наборы плиток, для которых не может быть доказательств их апериодичности.

Апериодические иерархические мозаики

На сегодняшний день нет формального определения, описывающего, когда мозаика имеет иерархическую структуру; тем не менее ясно, что они есть у подстановочных мозаик, как и у мозаик Бергера, Knuth, Läuchli и Робинсон. Как и сам термин «апериодический тайлинг», термин «апериодический иерархический tiling "- удобное сокращение, означающее что-то вроде" набора плиток, допускающих только непериодические мозаики с иерархической структурой ".

Каждый из этих наборов плиток, в любом допускаемом им мозаичном покрытии, требует определенной иерархической структуры. (Во многих более поздних примерах эта структура может быть описана как система листов подстановки; это описано ниже). Никакая мозаика, допускаемая таким набором плиток, не может быть периодической просто потому, что ни один перенос не может оставить неизменной всю иерархическую структуру. Рассмотрим плитки Робинсона 1971 года:

Плитка Робинзона

Любая мозаика с помощью этих плиток может отображать только иерархию квадратных решеток: каждый оранжевый квадрат находится в углу большего оранжевого квадрата до бесконечности. Любое преобразование должно быть меньше некоторого размера квадрата, и поэтому не может оставаться неизменным такой тайлинг.

Фрагмент плитки Робинзона

Робинсон доказывает, что эти плитки должны формировать эту структуру индуктивно; в действительности плитки должны образовывать блоки, которые сами подходят друг к другу как более крупные версии исходных плиток и т. д. Эта идея - нахождение наборов плиток, которые могут допускать только иерархические структуры, - использовалась при построении большинства известных апериодических наборов плитки на сегодняшний день.

Замены

Основные статьи: Замещающая плитка и L-система

Замещающие мозаичные системы предоставляют богатый источник апериодических мозаик. Набор плиток, который заставляет возникать заменяющую структуру, называется принуждать структура замещения. Например, плитки стульев, показанные ниже, допускают замену, а часть плитки замены показана справа внизу. Эти мозаики подстановки обязательно непериодичны, точно так же, как описано выше, но сама плитка кресла не является апериодической - периодические мозаики легко найти по неотмеченным плиткам стульев.

Система подстановки стульев.

Однако плитки, показанные ниже, вызывают возникновение структуры замещения кресел, и поэтому сами по себе апериодичны.[14]

В Плитка трилобита и креста обеспечивают соблюдение структуры замещения стула - они могут допускать только плитки, в которых замещение стула можно различить, и поэтому они являются апериодическими.

Плитки Пенроуза и вскоре после этого несколько различных наборов плиток Аммана,[15] были первым примером, основанным на явном принуждении к появлению структуры листов подстановки. Джошуа Соколар,[16][17] Роджер Пенроуз,[18] Людвиг Данцер,[19] и Хаим Гудман-Штраус [14] нашли несколько последующих наборов. Шахар Мозес дал первую общую конструкцию, показывающую, что каждый продукт одномерных систем подстановки может быть реализован с помощью правил сопоставления.[13] Чарльз Радин нашел правила, обеспечивающие соблюдение Замещающая плитка Конвея система.[20] В 1998 г. Гудман-Штраус показали, что можно найти локальные правила сопоставления для принудительного использования любой структуры листов подстановки при соблюдении некоторых мягких условий.[12]

Проектный метод

Непериодические мозаики также могут быть получены путем проецирования многомерных структур в пространства с более низкой размерностью, и при некоторых обстоятельствах могут быть плитки, которые усиливают эту непериодическую структуру и поэтому являются апериодическими. Плитки Пенроуза - первый и самый известный пример этого, как впервые было отмечено в новаторской работе де Брюйн.[21] Пока не существует полной (алгебраической) характеризации разрезанных и проектных мозаик, которая может быть реализована с помощью правил сопоставления, хотя известны многочисленные необходимые или достаточные условия.[22]

Некоторые мозаики, полученные методом разреза и проецирования. Все плоскости сечения параллельны той, которая определяет мозаику Пенроуза (четвертая мозаика на третьей линии). Все эти мозаики принадлежат к разным классам локального изоморфизма, то есть они локально различимы.

Другие техники

Было найдено всего несколько различных конструкций. В частности, Яркко Кари дал апериодический набор плиток Ванга, основанный на умножении на 2 или 2/3 действительных чисел, закодированных строками плиток (кодирование связано с Штурмовские последовательности как разности последовательных элементов Битти последовательности ), причем апериодичность в основном опирается на то, что 2п/3м никогда не равно 1 для любых натуральных чисел n и m.[23] Позже этот метод был адаптирован Гудман-Штраус чтобы дать сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости.[24] Шахар Мозес нашел много альтернативных конструкций апериодических наборов плиток, некоторые в более экзотических условиях; например в полупростом Группы Ли.[25] Блок и Вайнбергер использовали гомологические методы для построения апериодических наборов плиток для всех не-аменабельные коллекторы.[26] Джошуа Соколар также дал другой способ навязать апериодичность с точки зрения переменное состояние.[27] Обычно это приводит к гораздо меньшим наборам плиток, чем полученный из замен.

Физика

Основная статья: Квазикристалл

Апериодические мозаики считались математическими артефактами до 1984 года, когда физики Дэн Шехтман объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава, дающей резкую дифрактограмму с однозначной пятикратной симметрией[3] - значит, это должно было быть кристаллическое вещество с симметрией икосаэдра. В 1975 г. Роберт Амманн уже расширил конструкцию Пенроуза до трехмерного эквивалента икосаэдра. В таких случаях термин «мозаика» означает «заполнение пространства». Фотонные устройства в настоящее время строятся как апериодические последовательности разных слоев, поэтому они апериодичны в одном направлении и периодичны в двух других. Квазикристаллические структуры Cd-Te, по-видимому, состоят из атомных слоев, в которых атомы расположены в плоской апериодической структуре. Иногда для таких апериодических структур имеет место энергетический минимум или максимум энтропии. Стейнхардт показал, что перекрывающиеся декагоны Гуммельта допускают применение экстремального принципа и, таким образом, обеспечивают связь между математикой апериодической мозаики и структурой квазикристаллов.[28] Волны Фарадея наблюдалось формирование больших пятен апериодических паттернов.[29] Физика этого открытия возродила интерес к несоизмеримым структурам и частотам, предлагая связать апериодические мозаики с вмешательство явления.[30]

Путаница в терминологии

Период, термин апериодический широко используется в математической литературе по мозаикам (а также в других математических областях, таких как динамические системы или теория графов, с совершенно разными значениями). В отношении мозаик термин «апериодический» иногда использовался как синоним термина «непериодический». А непериодический тайлинг - это просто тот, который не фиксируется никаким нетривиальным переводом. Иногда термин описывает - неявно или явно - мозаику, генерируемую апериодическим набором прототипов. Часто термин «апериодический» использовался нечетко для описания рассматриваемых структур, относясь к физическим апериодическим твердым телам, а именно квазикристаллам, или к чему-то непериодическому с неким глобальным порядком.

Использование слова «черепица» также проблематично, несмотря на его прямое определение. Нет ни одного Плитка Пенроуза, например: ромбы Пенроуза допускают бесконечно много мозаик (которые нельзя выделить локально). Распространенное решение - попытаться осторожно использовать термины в техническом письме, но признать широкое использование неофициальных терминов.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Гарднер, Мартин (Январь 1977 г.). «Математические игры». Scientific American. 236 (1): 111–119. Bibcode:1977SciAm.236a.110G. Дои:10.1038 / scientificamerican0177-110.
  2. ^ Гарднер, Мартин (1988). Плитки Пенроуза для тайных шифров. W H Freeman & Co. ISBN  978-0-7167-1987-8.
  3. ^ а б Schechtman, D .; Blech, I .; Gratias, D .; Кан, Дж. (1984). «Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и без трансляционной симметрии». Письма с физическими проверками. 53 (20): 1951–1953. Bibcode:1984ПхРвЛ..53.1951С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.53.1951.
  4. ^ «Нобелевская премия по химии 2011 г.». Nobelprize.org. Получено 2011-10-06.
  5. ^ а б c Baake, M .; Гримм, Уве (2013). Апериодический порядок. Том 1: Математическое приглашение. Издательство Кембриджского университета.
  6. ^ Роберт Бергер на Проект "Математическая генеалогия".
  7. ^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества (66): 1–72.
  8. ^ а б Грюнбаум и Шепард, раздел 11.1.
  9. ^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность мозаик на плоскости». Inventiones Mathematicae. 12 (3): 177–209. Bibcode:1971InMat..12..177R. Дои:10.1007 / BF01418780. S2CID  14259496.
  10. ^ Лагариас, Дж. К. (1996). «Концепция Мейера квазикристаллических и квазирегулярных множеств». Commun. Математика. Phys. 179 (2): 356–376. Bibcode:1996CMaPh.179..365L. Дои:10.1007 / BF02102593. S2CID  122753893.
  11. ^ Муди, Р.В. (1997). «Наборы Мейера и их двойники». Математика дальнего апериодического порядка. Математика дальнего апериодического порядка, НАТО ASI, серия C. С. 403–441. Дои:10.1007/978-94-015-8784-6_16. ISBN  978-90-481-4832-5.
  12. ^ а б Гудман-Штраус, Хаим (1998). «Правила совпадения и подстановочные тилинги». Анналы математики. 147 (1): 181–223. CiteSeerX  10.1.1.173.8436. Дои:10.2307/120988. JSTOR  120988.
  13. ^ а б Мозес, С. (1989). «Тайлинги, системы замещения и порождаемые ими динамические системы». Журнал д'анализа математика. 53 (1): 139–186. Дои:10.1007 / BF02793412. S2CID  121775031.
  14. ^ а б Гудман-Штраус, Хаим (1999). «Небольшой апериодический набор плоских плиток». Европейский журнал комбинаторики. 20 (5): 375–384. Дои:10.1006 / eujc.1998.0281.
  15. ^ Грюнбаум, Бранко; Джеффри С. Шепард (1986). Плитки и узоры. W.H. Фриман и компания. ISBN  978-0-7167-1194-0.
  16. ^ Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57541-6.
  17. ^ Socolar, J.E.S. (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Phys. Ред. B. 39 (15): 10519–51. Bibcode:1989PhRvB..3910519S. Дои:10.1103 / PhysRevB.39.10519. PMID  9947860.
  18. ^ Пенроуз Р. (1997). "Замечания по тайлингу: детали 1 +ε + ε2-периодический набор ». Долгосрочный апериодический порядок математики, НАТО Adv. Sci. Inst. Сер. C. Математика. Phys. Наука. 489: 467–497.
  19. ^ Nischke, K.-P .; Данзер, Л. (1996). "Построение правил инфляции на основе п-кратная симметрия ». Диск. И комп. Geom. 15 (2): 221–236. Дои:10.1007 / BF02717732.
  20. ^ Радин, Чарльз (1994). "Вертушка самолета". Анналы математики. 139 (3): 661–702. Дои:10.2307/2118575. JSTOR  2118575.
  21. ^ N. G. de Bruijn, Nederl. Акад. Wetensch. Indag. Математика. 43, 39–52, 53–66 (1981). Алгебраическая теория непериодических мозаик Пенроуза на плоскости, I, II
  22. ^ См., Например, обзор T. T. Q. Le в Ле, T.T.Q. (1997). «Локальные правила для квазипериодических мозаик». Математика дальнего апериодического порядка. Долгосрочный апериодический порядок математики, НАТО Adv. Sci. Inst. Сер. C. Математика. Phys. Наука. 489. С. 331–366. Дои:10.1007/978-94-015-8784-6_13. ISBN  978-90-481-4832-5.
  23. ^ Кари, Джаркко (1996). «Небольшой апериодический набор плиток Ванга». Дискретная математика. 160 (1–3): 259–264. Дои:10.1016 / 0012-365X (95) 00120-L.
  24. ^ Гудман-Штраус, Хаим (2005). «Сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости». Inventiones Mathematicae. 159 (1): 119–132. Bibcode:2004InMat.159..119G. CiteSeerX  10.1.1.477.1974. Дои:10.1007 / s00222-004-0384-1. S2CID  5348203.
  25. ^ Мозес, Шахар (1997). «Апериодические мозаики». Inventiones Mathematicae. 128 (3): 603–611. Bibcode:1997InMat.128..603M. Дои:10.1007 / s002220050153. S2CID  189819776.
  26. ^ Block, J .; Вайнбергер, С. (1992). «Апериодические мозаики, положительная скалярная кривизна и аменабельность пространств». Журнал AMS. 5 (4): 907–918. Дои:10.1090 / s0894-0347-1992-1145337-x.
  27. ^ Socolar, Джошуа (1990). «Правила слабого согласования для квазикристаллов». Comm. Математика. Phys. 129 (3): 599–619. Bibcode:1990CMaPh.129..599S. Дои:10.1007 / BF02097107. S2CID  123629334.
  28. ^ Стейнхардт, Пол Дж. «Новая парадигма структуры квазикристаллов». В архиве из оригинала 23 февраля 2007 г.. Получено 2007-03-26.
  29. ^ Эдвардс, В .; Фов, С. (1993). «Параметрически возбужденные квазикристаллические поверхностные волны». Физический обзор E. 47 (2): R788 – R791. Bibcode:1993PhRvE..47..788E. Дои:10.1103 / PhysRevE.47.R788. PMID  9960162.
  30. ^ Леви, Дж.С. S .; Мерсье, Д. (2006). «Стабильные квазикристаллы». Acta Phys. Superficierum. 8: 115.

внешняя ссылка