Замещающая плитка - Substitution tiling

В геометрии замена плитки метод построения высоко упорядоченных мозаики. Что наиболее важно, некоторые замены плитки создают апериодические мозаики, которые являются мозаиками, прототипы не допускайте облицовки поступательная симметрия. Самыми известными из них являются Мозаики Пенроуза. Замещающие мозаики - это частные случаи правила конечного подразделения, которые не требуют геометрической жесткости плитки.

Вступление

Замена плитки описывается набор из прототипы (формы плитки) ${displaystyle T_ {1}, T_ {2}, точки, T_ {m}}$ , расширяющаяся карта ${displaystyle Q}$ и правило рассечения показывает, как анализировать расширенные прототипы ${displaystyle QT_ {i}}$ формировать копии некоторых прототипов ${displaystyle T_ {j}}$ . Интуитивно понятно, что все более и более высокие итерации замены тайлов создают мозаику плоскости, называемую мозаика замещения. Некоторые плитки подстановки периодический, определяемый как имеющий поступательная симметрия. Каждый тайлинг подстановки (вплоть до мягких условий) может быть «принудительно применен с помощью правил сопоставления», то есть существует набор отмеченных тайлов, которые могут образовывать только те тайлы подстановки, которые генерируются системой. Фрагменты этих отмеченных плиток обязательно апериодический.^[1]^[2]

Простой пример, который создает периодическую мозаику, имеет только один прототип, а именно квадрат:

Повторяя эту замену плитки, все большие и большие области плоскости покрываются квадратной сеткой. Более сложный пример с двумя прототипами показан ниже, где два шага взрыва и рассечения объединены в один шаг.

Можно интуитивно понять, как эта процедура дает подстановочную мозаику всего самолет. Ниже приводится математически строгое определение. Замещающие мозаики особенно полезны как способ определения апериодические мозаики, которые представляют интерес во многих областях математика, включая теория автоматов, комбинаторика, дискретная геометрия, динамические системы, теория групп, гармонический анализ и теория чисел, а также кристаллография и химия. В частности, знаменитые Плитка Пенроуза является примером мозаики с апериодической заменой.

История

В 1973 и 1974 гг. Роджер Пенроуз открыл семейство апериодических мозаик, теперь называемых Мозаики Пенроуза. Первое описание было дано в терминах «правил соответствия», когда прототипы рассматривались как пазл шт. Доказательство того, что копии этих прототипов могут быть собраны вместе, чтобы сформировать черепица плоскости, но не может делать это периодически, использует конструкцию, которая может быть отлита в качестве замещающей мозаики прототипов. В 1977 г. Роберт Амманн обнаружил ряд наборов апериодических прототипов, то есть прототипов с правилами сопоставления, вынуждающими непериодические мозаики; в частности, он заново открыл первый пример Пенроуза. Эта работа оказала влияние на ученых, работающих в кристаллография, что в конечном итоге привело к открытию квазикристаллы. В свою очередь, интерес к квазикристаллам привел к открытию нескольких хорошо упорядоченных апериодических мозаик. Многие из них можно легко описать как подстановочные плитки.

Математическое определение

Мы рассмотрим регионы в ${displaystyle {mathbb {R}} ^ {d}}$ которые хорошо воспитанный, в том смысле, что область - это непустое компактное подмножество, которое закрытие своего интерьер.

Берем набор регионов ${displaystyle mathbf {P} = {T_ {1}, T_ {2}, точки, T_ {m}}}$ как прототипы. А размещение прототипа ${displaystyle T_ {i}}$ пара ${displaystyle (T_ {i}, varphi)}$ куда ${displaystyle varphi}$ является изометрия из ${displaystyle {mathbb {R}} ^ {d}}$ . Изображение ${displaystyle varphi (T_ {i})}$ называется регионом размещения. А мозаика T представляет собой набор прототипов размещения, регионы которых имеют попарно непересекающиеся внутренние части. Мы говорим, что черепица Т это мозаика W куда W это объединение регионов размещения в Т.

В литературе под заменой плитки часто дается неточное определение. Ниже приводится точное определение.^[3]

А замена плитки по отношению к прототипам п пара ${displaystyle (Q, sigma)}$ , куда ${displaystyle Q: {mathbb {R}} ^ {d} o {mathbb {R}} ^ {d}}$ это линейная карта, все чьи собственные значения по модулю больше единицы вместе с правило замены ${displaystyle sigma}$ что отображает каждый ${displaystyle T_ {i}}$ к плитке ${displaystyle QT_ {i}}$ . Правило подстановки ${displaystyle sigma}$ индуцирует отображение из любого тайлинга Т региона W к плитке ${displaystyle sigma (mathbf {T})}$ из ${displaystyle Q_ {sigma} (mathbf {W})}$ , определяется

{displaystyle sigma (mathbf {T}) = igcup _ {(T_ {i}, varphi) в mathbf {T}} {(T_ {j}, Qcirc varphi circ Q ^ {- 1} circ ho) :( T_ { j}, ho) в сигме (T_ {i})}.}

Обратите внимание, что прототипы могут быть выведены из замены плитки. Поэтому нет необходимости включать их в замену плитки. ${displaystyle (Q, sigma)}$ .^[4]

Каждая плитка ${displaystyle {mathbb {R}} ^ {d}}$ , где любая его конечная часть конгруэнтна подмножеству некоторого ${displaystyle sigma ^ {k} (T_ {i})}$ называется замощением подстановки (для подстановки плитки ${displaystyle (Q, sigma)}$ ).

Смотрите также

дальнейшее чтение

Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Сигель, А. (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике. Конспект лекций по математике. 1794. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015.

внешняя ссылка

Дирк Фреттлё и Эдмунд Харрисс Энциклопедия подстановочных мозаик

[1] К. Гудман-Штраус, Правила сопоставления и подстановочные плитки, Annals Math., 147 (1998), 181-223.

[2] Чт. Фернике и Н. Оллингер, Комбинаторные подстановки и софические мозаики, Journees Automates Cellulaires 2010, изд. Дж. Кари, Примечания к лекциям TUCS 13 (2010), 100-110.

[3] Д. Фреттлё, Двойственность модельных множеств, порожденных подстановками, Румынский журнал чистой и прикладной математики. 50, 2005

[4] А. Винс, Разбиение цифрами евклидова пространства, в: Направления в математических квазикристаллах, ред .: М. Бааке, Р.В. Moody, AMS, 2000 г.

[1]

[2]

[3]

[4]