Ромбильная плитка - Rhombille tiling

Сюда перенаправляются «акробатические блоки». Для использования в других целях см. Лестница Иакова (игрушка).
Ромбильная плитка
1-униформа 7 dual.svg
ТипПлитка Laves
ЛицаРомб 60 ° –120 °
Диаграмма КокстераCDel node.pngCDel 3.pngУзел CDel f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel узел h1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngУзел CDel f1.png
Группа симметрииp6m, [6,3], * 632
p3m1, [3[3]], *333
Группа вращенияp6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Двойной многогранникТрехгранная черепица
Конфигурация лицаV3.6.3.6
Поверхность плитки 3-6-3-6.svg
Характеристикиреберно-транзитивный лицо переходный

В геометрия, то ромбовидная плитка,[1] также известный как акробатические блоки,[2] обратимые кубики, или решетка в кости, это мозаика одинаковых 60 ° ромбовидные на Евклидова плоскость. Каждый ромб имеет два 60 ° и два 120 ° углы; ромбы такой формы иногда также называют бриллианты. Наборы из трех ромбов встречаются под своими углами 120 °, а наборы из шести ромбов встречаются под своими углами 60 °.

Характеристики

Два шестиугольные мозаики с красными и синими краями внутри ромбической плитки
Четыре шестиугольных плитки с красными, зелеными, синими и пурпурными краями внутри ромбической плитки[3]

Ромбированную плитку можно рассматривать как подразделение шестиугольная черепица с каждым шестиугольник разделен на три ромбовидные встреча в центре шестиугольника. Это подразделение представляет собой обычная составная черепица. Его также можно рассматривать как подразделение четырех шестиугольных плиток, каждый из которых разделен на 12 ромбов.

Диагонали каждого ромба находятся в соотношении 1:√3.Это двойная черепица из трехгексагональная черепица или же решетка кагоме. Как двойник к равномерная черепица, это один из одиннадцати возможных Лавес плитки, а в конфигурация лица за моноэдральные мозаики он обозначается [3.6.3.6].[4]

Это также один из 56 возможных равногранные мозаики четырехугольниками,[5] и одна из восьми мозаик плоскости, в которой каждое ребро лежит на линии симметрии мозаики.[6]

Ромбовидная плитка, наложенная на двойную, трехгексагональная черепица

Можно встроить мозаику ромбиков в подмножество трехмерного целочисленная решетка, состоящий из точек (Икс,у,z) с |Икс + у + z| ≤ 1 таким образом, что две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие точки решетки находятся на единичном расстоянии друг от друга, и более сильно так, что количество ребер на кратчайшем пути между любыми двумя вершинами мозаики равно так же, как Манхэттенское расстояние между соответствующими точками решетки. Таким образом, ромбовидную мозаику можно рассматривать как пример бесконечного график единичного расстояния и частичный куб.[7]

Художественные и декоративные аппликации

Ромбированную плитку можно интерпретировать как изометрическая проекция вид набора кубиков двумя разными способами, образуя обратимая фигура связанный с Куб Неккера. В этом контексте это известно как иллюзия «обратимых кубиков».[8]

в М. К. Эшер произведения искусства Метаморфоза I, Метаморфоза II, и Метаморфоза III Эшер использует эту интерпретацию мозаики как способ трансформации двух- и трехмерных форм.[9] В другой его работе Цикл (1938), Эшер играл с напряжением между двухмерностью и трехмерностью этой плитки: в ней он рисует здание, в котором есть как большие кубические блоки в качестве архитектурных элементов (нарисованные изометрически), так и патио наверху, выложенное ромбической плиткой. . Человеческая фигура спускается из внутреннего дворика мимо кубов, становясь при этом более стилизованной и двухмерной.[10] Эти работы включают только единственную трехмерную интерпретацию мозаики, но в Выпуклые и вогнутые Эшер экспериментирует с обратимыми фигурами в более общем плане и включает в себя изображение иллюзии обратимых кубов на флаге внутри сцены.[11]

Ромбильная плитка напольная мозаика в Делос
Ромбовидный узор на полу Сиенский собор

Ромбовидная плитка также используется в качестве дизайна для паркет[12] и для облицовки полов или стен, иногда с вариациями формы ромбов.[13] Он появляется в древнегреческом полу мозаика из Делос[14] и итальянские напольные покрытия XI века,[15] хотя плитки с этим рисунком в Сиенский собор имеют более свежий урожай.[16] В квилтинг, он известен с 1850-х годов как паттерн «падающих блоков», имея в виду визуальный диссонанс, вызванный его двойной трехмерной интерпретацией.[2][15][17] Как узор для квилтинга, он также имеет много других названий, включая кубическую кладку, небесную лестницу и ящик Пандоры.[17] Было высказано предположение, что образец лоскутного шитья блоков акробатики использовался как сигнал в Подземная железная дорога: когда рабы увидели, что он висит на заборе, они должны были запаковать свои вещи и сбежать. Видеть Одеяла подземной железной дороги.[18] В этих декоративных приложениях ромбы могут отображаться в нескольких цветах, но обычно им дают три уровня затенения, самый яркий для ромбов с горизонтальными длинными диагоналями и более темный для ромбов с двумя другими ориентациями, чтобы улучшить их вид трехмерности. Существует единственный известный пример неявного ромбика и трехгексагональная черепица в Английская геральдика - в оружии Geal / e.[19]

Другие приложения

Ромбиллическую мозаику можно рассматривать как результат наложения двух разных шестиугольных мозаик, перемещенных так, что некоторые из вершин одного мозаичного покрытия попадают в центры шестиугольников другого мозаичного покрытия. Таким образом, его можно использовать для определения блокировать клеточные автоматы в котором клетки автомата представляют собой ромбы ромбильной мозаики, а блоки в чередующихся шагах автомата представляют собой шестиугольники двух наложенных друг на друга шестиугольных мозаик. В этом контексте он называется «квартал Q * bert», в честь видеоигры. Q * bert на котором изображена изометрическая проекция пирамиды из кубов в качестве игрового поля. Окрестности Q * bert могут использоваться для поддержки универсальное вычисление посредством моделирования бильярдные компьютеры.[20]

В физика конденсированного состояния ромбовидная плитка известна как решетка в кости, нарезанная кубиками решетка, или же двойная решетка кагоме. Это одна из нескольких повторяющихся структур, используемых для исследования Модели Изинга и связанные системы вращение взаимодействия в двухатомный кристаллы,[21] и это также было изучено в теория перколяции.[22]

Связанные многогранники и мозаики

Комбинаторно эквивалентные мозаики параллелограммами

Ромбовидная плитка - двойная трехгексагональная черепица.Это один из множества способов разбить плоскость конгруэнтными ромбами. диагонально сплющенный вариант квадратной плитки (с трансляционной симметрией на всех четырех сторонах ромбов), мозаика, используемая Миура-ори шаблон складывания (чередование трансляционной и отражательной симметрии) и Плитка Пенроуза в котором используются два вида ромбов с острыми углами 36 ° и 72 ° апериодически.Если разрешено более одного типа ромбов, возможны дополнительные мозаики, в том числе те, которые топологически эквивалентны мозаике ромбов, но с более низкой симметрией.

Замощения, комбинаторно эквивалентные разбиению ромбов, также могут быть реализованы параллелограммами и интерпретированы как аксонометрические проекции трехмерных кубических ступеней.

Всего восемь тесселяция краев, мозаики плоскости со свойством, что отражение любой плитки через любой из ее краев создает другую плитку; один из них - ромбовидная плитка.[23]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Конвей, Джон; Берджел, Хайди; Гудман-Штрасс, Хаим (2008), "Глава 21: Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик", Симметрии вещей, А.К. Петерс, с. 288, г. ISBN  978-1-56881-220-5.
  2. ^ а б Смит, Барбара (2002), Блоки для акробатики: новые лоскутные одеяла от старых любимцев, Коллекционные книги, ISBN  9781574327892.
  3. ^ Ричард К. Гай и Роберт Э. Вудроу, Светлая сторона математики: материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории, 1996, стр.79, рисунок 10
  4. ^ Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г.С. (1987), Плитки и узоры, Нью-Йорк: В. Х. Фриман, ISBN  0-7167-1193-1. Раздел 2.7, Замощения с правильными вершинами, стр. 95–98.
  5. ^ Грюнбаум и Шепард (1987), Рисунок 9.1.2, Мозаика п4-42, с. 477.
  6. ^ Кирби, Мэтью; Умбле, Рональд (2011), «Тесселяция краев и головоломки со складыванием штампов», Математический журнал, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257, Дои:10.4169 / math.mag.84.4.283, МИСТЕР  2843659.
  7. ^ Деза, Мишель; Гришухин, Вячеслав; Штогрин, Михаил (2004), Масштабно-изометрические многогранники в гиперкубах и кубических решетках: многогранники в гиперкубах и , Лондон: Imperial College Press, стр. 150, Дои:10.1142/9781860945489, ISBN  1-86094-421-3, МИСТЕР  2051396.
  8. ^ Уоррен, Говард Кросби (1919), Психология человека, Houghton Mifflin, стр. 262.
  9. ^ Каплан, Крейг С. (2008), «Метаморфозы в искусстве Эшера», Мосты 2008: математические связи в искусстве, музыке и науке (PDF), стр. 39–46.
  10. ^ Эшер, Мауриц Корнелис (2001), M.C. Эшер, графическая работа, Taschen, стр. 29–30, ISBN  9783822858646.
  11. ^ Де Мэй, Джос (2003), «Картина по мотивам М. К. Эшера», в Шатчнайдер, Д.; Эммер, М. (ред.), Наследие М. К. Эшера: празднование столетия, Springer, стр. 130–141..
  12. ^ Шлейнинг, Лон; О'Рурк, Рэнди (2003), «Обманывая глаза камнями», Сундуки с сокровищами: наследие необычных сундуков, Тонтон Пресс, стр. 58, ISBN  9781561586516.
  13. ^ Тесселяционное танго, The Mathematical Tourist, Drexel University, получено 23 мая 2012 г.
  14. ^ Дунбабин, Кэтрин М. Д. (1999), Мозаики греческого и римского мира, Cambridge University Press, стр. 32, ISBN  9780521002301.
  15. ^ а б Татем, Мэри (2010), «Кувыркающиеся блоки», Одеяло радости: истории надежды из пэчворк жизни, Ревелл, стр. 115, ISBN  9780800733643.
  16. ^ Уоллис, Генри (1902), Итальянское керамическое искусство, Бернард Куорич, стр. xxv.
  17. ^ а б Фаулер, Эрлин (2008), Кувыркающиеся блоки, Бенни Харпер Тайны, Пингвин, ISBN  9780425221235. Это детективный роман, но в нем также есть краткое описание выкройки лоскутного одеяла в его главном вопросе.
  18. ^ Тобин, Жаклин Л .; Добард, Раймонд Г. (2000), Скрытые на простом виде: секретная история лоскутных одеял и подземной железной дороги, Random House Digital, Inc., стр.81, ISBN  9780385497671.
  19. ^ Aux armes: символика, Символизм в оружии, Плеяд, получено 17 апреля 2013 г.
  20. ^ Район Q * Bert, Тим Тайлер, дата обращения 23 мая 2012 г.
  21. ^ Фишер, Майкл Э. (1959), «Преобразования моделей Изинга», Физический обзор, 113 (4): 969–981, Bibcode:1959ПхРв..113..969Ф, Дои:10.1103 / PhysRev.113.969.
  22. ^ Ёнэдзава, Фумико; Сакамото, Шоичи; Хори, Мотоо (1989), "Просачивание в двумерных решетках. I. Методика оценки пороговых значений", Phys. Ред. B, 40 (1): 636–649, Bibcode:1989PhRvB..40..636Y, Дои:10.1103 / PhysRevB.40.636.
  23. ^ Кирби, Мэтью; Умбле, Рональд (2011), «Тесселяция краев и головоломки со складыванием штампов», Математический журнал, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257, Дои:10.4169 / math.mag.84.4.283, МИСТЕР  2843659.

дальнейшее чтение

  • Кит Кричлоу, Заказ в космосе: справочник по дизайну, 1970, с.77–76, паттерн 1