Сферический многогранник - Spherical polyhedron
В математика, а сферический многогранник или же сферическая черепица это черепица из сфера в котором поверхность разделена или разделена большие дуги в ограниченные области, называемые сферические многоугольники. Большая часть теории симметричного многогранники наиболее удобно выводить таким образом.
Самый известный сферический многогранник - это футбольный мяч, задуманный как сферический усеченный икосаэдр. Следующим по популярности сферическим многогранником является пляжный мяч, задуманный как осоэдр.
Немного "неподходящий" многогранники, такие как Hosohedra и их двойники, дигедра, существуют как сферические многогранники, но не имеют плоского аналога. Пример шестиугольного пляжного мяча, {2, 6}, является осоэдром, а {6, 2} - его двойным диэдром.
История
Первые известные рукотворные многогранники - это сферические многогранники. вырезанный в камне. Многие были найдены в Шотландия, и появляются на сегодняшний день с неолит период (новый каменный век).
В 10 веке исламский ученый Абу аль-Вафа 'Бузджани (Абу'л Вафа) написал первое серьезное исследование сферических многогранников.
Двести лет назад, в начале 19 века, Пуансо использовал сферические многогранники, чтобы обнаружить четыре правильные звездные многогранники.
В середине 20 века Coxeter использовал их для перечисления всех, кроме одного равномерные многогранники, за счет построения калейдоскопов (Строительство Wythoff ).
Примеры
Все правильные многогранники, полуправильные многогранники, а их двойники проецируются на сферу как мозаики:
| Schläfli символ | {p, q} | т {р, д} | г {р, д} | т {д, р} | {q, p} | рр {р, q} | tr {p, q} | sr {p, q} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вершина конфигурация | пq | q.2p.2p | p.q.p.q | p.2q.2q | qп | q.4.p.4 | 4.2q. 2p | 3.3.q.3.p |
| Тетраэдр симметрия (3 3 2) |  33 |  3.6.6 |  3.3.3.3 |  3.6.6 |  33 |  3.4.3.4 |  4.6.6 |  3.3.3.3.3 |
 V3.6.6 |  V3.3.3.3 | V3.6.6 |  V3.4.3.4 |  V4.6.6 |  V3.3.3.3.3 | |||
| Восьмигранный симметрия (4 3 2) |  43 |  3.8.8 |  3.4.3.4 |  4.6.6 |  34 |  3.4.4.4 |  4.6.8 |  3.3.3.3.4 |
 V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 |  V3.4.4.4 |  V4.6.8 |  V3.3.3.3.4 | |||
| Икосаэдр симметрия (5 3 2) | 53 |  3.10.10 |  3.5.3.5 |  5.6.6 |  35 |  3.4.5.4 |  4.6.10 |  3.3.3.3.5 |
 V3.10.10 |  V3.5.3.5 |  V5.6.6 |  V3.4.5.4 |  V4.6.10 |  V3.3.3.3.5 | |||
| Двугранный пример p = 6 (2 2 6) |  62 |  2.12.12 | 2.6.2.6 |  6.4.4 |  26 |  4.6.4 |  4.4.12 |  3.3.3.6 |
| п | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| п-Призма (2 2 п.) |  |  |  |  |  |  |  |  | ... |
| п-Бипирамида (2 2 п.) |  |  |  |  |  |  |  |  | ... |
| п-Антипризма |  |  |  |  |  |  |  | ... | |
| п-Трапецоэдр | |  |  |  |  |  |  |  | ... |
Неправильные случаи
Сферические мозаики допускают случаи, которые не допускают многогранники, а именно Hosohedra: обычные цифры как {2, n} и дигедра: обычные цифры как {n, 2}.
| Изображение |  |  |  |  |  |  |  |  | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Символ Шлефли | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | ... |
| Диаграмма Кокстера |    | |  |  |  |  |  |  | ... |
| Грани и края | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... |
| Вершины | 2 | ... | |||||||
| Изображение |  |  |  |  |  |  | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Символ Шлефли | ч {2,2} = {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2} | ... |
| Диаграмма Кокстера |  | | | | | | ... |
| Лица | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} | ... |
| Ребра и вершины | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
Связь с мозаиками проективной плоскости
Сферические многогранники, имеющие хотя бы один инверсивная симметрия связаны с проективные многогранники[1] (мозаика реальная проективная плоскость ) - точно так же, как сфера имеет соотношение 2 к 1 карта покрытия проективной плоскости проективные многогранники при двумерном накрытии соответствуют сферическим многогранникам, симметричным относительно отражение через начало координат.
Наиболее известными примерами проективных многогранников являются правильные проективные многогранники, частные центрально-симметричный Платоновы тела, а также два бесконечных класса четных дигедра и Hosohedra:[2]
- Hemi-cube, {4,3}/2
- Полуоктаэдр, {3,4}/2
- Полудодекаэдр, {5,3}/2
- Полуикосаэдр, {3,5}/2
- Полудигедр, {2p, 2} / 2, p> = 1
- Полусоэдр, {2,2p} / 2, p> = 1
Смотрите также
- Сферическая геометрия
- Сферическая тригонометрия
- Многогранник
- Проективный многогранник
- Тороидальный многогранник
- Обозначения многогранника Конвея
Рекомендации
- ^ Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002). «6C. Проективные регулярные многогранники». Абстрактные правильные многогранники. Издательство Кембриджского университета. стр.162–5. ISBN 0-521-81496-0.
- ^ Кокстер, H.S.M. (1969). "§21.3 Регулярные отображения'". Введение в геометрию (2-е изд.). Вайли. стр.386 –8. ISBN 978-0-471-50458-0. МИСТЕР 0123930.
дальнейшее чтение
- Пуансо, Л. (1810 г.). "Memoire sur les polygones et polyèdres". J. De l'École Polytechnique. 9: 16–48.
- Кокстер, H.S.M.; Лонге-Хиггинс, М.; Миллер, J.C.P. (1954). «Равномерные многогранники». Фил. Транс. 246 А (916): 401–50. JSTOR 91532.
- Кокстер, H.S.M. (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-61480-8.
