Бипирамида - Википедия - Bipyramid

«Обычное» правое (симметричное) п-гональные бипирамиды
Пример "правильной" правой (симметричной) гексагональной бипирамиды
Диаграмма Кокстера
Символ Шлефли	{ } + {п}[1]
Лица	2п конгруэнтный равнобедренный треугольники
Края	3п
Вершины	2 + п
Конфигурация лица	V4.4.п
Группа симметрии	Dпчас, [п,2], (*п22), порядок 4п
Группа вращения	Dп, [п,2]+, (п22), порядок 2п
Двойной многогранник	(выпуклый) униформа ("обычное" право) п-угольная призма
Характеристики	выпуклый, лицо переходный, правильные вершины[2]
Сеть

Бипирамида, сделанная с соломинка и резинки. Добавляется дополнительная осевая соломка, которой нет в простом многограннике.

А (симметричный) п-гональный бипирамида или же дипирамида это многогранник сформированный путем присоединения к п-гональный пирамида и это зеркальное изображение от базы к базе.^[3][4] An п-гональная бипирамида имеет 2п треугольник лица, 3п ребра и 2+п вершины.

Упомянутый п-угольник в названии бипирамиды - это не грань, а внутреннее основание многоугольника, лежащее в плоскости зеркала, соединяющей две половины пирамиды. (Если бы это была грань, то каждое ее ребро соединяло бы три грани вместо двух.)

«Обычные», правые бипирамиды

А "обычный" бипирамида имеет обычный основание многоугольника. Обычно подразумевается, что это также верно бипирамида.

А верно бипирамида имеет две вершины верно выше и верно ниже центра или центроид основания его многоугольника.

«Правильное» право (симметричное) п-гональная бипирамида имеет символ Шлефли { } + {п}.

Правая (симметричная) бипирамида имеет символ Шлефли {} + P, для основания многоугольника P.

«Обычное» право (таким образом лицо переходный ) п-угольная бипирамида с правильными вершинами^[2] это двойной из п-гональная форма (значит правая) призма, и имеет конгруэнтный равнобедренный треугольник лица.

«Правильное» право (симметричное) п-гональная бипирамида может быть прогнозируемый на сфере или глобус как "правильное" право (симметричное) п-гональный сферическая бипирамида: п равномерно расположенные линии долгота идущий от столб к полюсу, и экватор линия деление пополам их.

«Обычное» правое (симметричное) п-гональный бипирамиды:

Имя	Дигональная бипирамида	Треугольная бипирамида (J12)	Квадратная бипирамида (O)	Пятиугольная бипирамида (J13)	Гексагональная бипирамида	Гептагональная бипирамида	Восьмиугольная бипирамида	Эннеагональная бипирамида	Десятиугольная бипирамида	...	Апейрогональная бипирамида
Многогранник изображение										...
Сферическая черепица изображение										Плоская черепица изображение
Конфигурация лица	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Диаграмма Кокстера										...

Бипирамиды равностороннего треугольника

Только три вида бипирамид могут иметь все ребра одинаковой длины (что означает, что все грани имеют одинаковую длину). равносторонние треугольники, а значит, бипирамида является дельтаэдр ): «правильная» правая (симметричная) треугольный, четырехугольный, и пятиугольник бипирамиды. Тетрагональная или квадратная бипирамида с ребрами одинаковой длины, или правильный октаэдр, входит в число Платоновы тела; треугольные и пятиугольные бипирамиды с ребрами одинаковой длины считаются Твердые тела Джонсона (J₁₂ и J₁₃).

Бипирамиды равностороннего треугольника:

«Обычное» правое (симметричное) название бипирамиды	Треугольная бипирамида (J12)	Тетрагональная бипирамида (Правильный октаэдр)	Пятиугольная бипирамида (J13)
Изображение бипирамиды

Калейдоскопическая симметрия

А "обычное" право (симметричный) п-гональная бипирамида имеет двугранная симметрия группа D_пчас, порядка 4п, кроме случая правильный октаэдр, у которого больше октаэдрическая симметрия группа O_час, порядка 48, который имеет три версии D_4ч как подгруппы. В группа ротации это D_п, порядка 2п, за исключением случая правильного октаэдра, который имеет большую группу вращения O порядка 24, который имеет три версии D₄ как подгруппы.

В 4п треугольник лица "правильной" правой (симметричной) 2п-гональная бипирамида, проектируемая как 4п сферический треугольник грани "правильной" правой (симметричной) 2п-гональный сферический бипирамиды, представляют собой фундаментальные области двугранная симметрия в трех измерениях: D_пчас, [п,2], (*п22), порядок 4п. Эти области можно отобразить в виде сферических треугольников с чередованием цветов:

• в плоскости отражения через кокциклический края, области зеркального отображения разного цвета (непрямая изометрия);
• о пось поворота через противоположный вершины, домен и его изображение одного цвета (прямая изометрия).

An п-гональную (симметричную) бипирамиду можно рассматривать как Kleetope «соответствующих» п-гональный диэдр.

Основные области двугранной симметрии в трех измерениях:

Dпчас	D1 час	D2ч	D3ч	D4ч	D5ч	D6ч	...
Изображение фундаментальных доменов							...

Объем

Объем (симметричной) бипирамиды:

${ displaystyle V = {2 over 3} Bh ~,}$

куда B площадь основания и час высота от базовой плоскости до вершины.

Это работает для любой формы основания и для любого местоположения вершины при условии, что час измеряется как перпендикуляр расстояние от самолет который содержит внутреннюю основу многоугольника. Следовательно:

Объем (симметричной) бипирамиды, основанием которой является обычный п-сторонний многоугольник с длиной стороны s и чей рост час:

${ displaystyle V = {n over 6} hs ^ {2} cot { pi over n} ~.}$

Косые бипирамиды

Неправые бипирамиды называются косые бипирамиды.

Вогнутые бипирамиды

А вогнутый бипирамида имеет вогнутый основание многоугольника.

Пример вогнутой (симметричной) тетрагональной бипирамиды (*)

(*) В его базе нет очевидных центроид; если его вершины не верно выше / ниже центра тяжести его основания, это не верно бипирамида. Во всяком случае, это вогнутый октаэдр.

Асимметричные / перевернутые правые бипирамиды

An асимметричный верно бипирамида присоединяется к двум верно пирамиды с конгруэнтными основаниями, но неравной высотой от основания к основанию.

An перевернутый верно бипирамида присоединяется к двум верно пирамиды с конгруэнтными основаниями, но разной высоты, от основания к основанию, но на одной стороне от их общего основания.

В двойной асимметричной или перевернутой правой бипирамиды является усеченный.

"Правильная" асимметричная / перевернутая правая п-гональная бипирамида имеет группу симметрии C_пv, порядка 2п.

Пример "правильной" асимметричной / перевернутой правой шестиугольной бипирамиды:

Асимметричный	Перевернутый

Бипирамиды скален-треугольник

An "изотоксальный" верно (симметричный) ди-п-гональная бипирамида - это верно (симметричный) 2п-гональная бипирамида с изотоксальный плоское основание многоугольника: его 2п вершины вокруг сторон копланарны, но чередуются на двух радиусах.

Пример дитетрагональной бипирамиды

"Изотоксальный" правый (симметричный) ди-п-гональная бипирамида имеет п оси двукратного вращения через вершины по сторонам, п плоскости отражения через вершины и вершины, п-сложная ось вращения через вершины, плоскость отражения через основание и п-складывать вращение-отражение ось через вершины,^[4] представляющая группу симметрий D_пчас, [п,2], (*22п) порядка 4п. (Отражение в базовой плоскости соответствует вращению-отражению 0 °. Если п четное, имеется симметрия относительно центра, соответствующая повороту-отражению на 180 °.)

Все его лица конгруэнтный разносторонние треугольники, и это равногранный. Его можно рассматривать как еще один тип правильных «симметричных» ди-п-гональный скаленоэдр.

Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными.

Пример:

• «Изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» (*) бипирамида с базовыми вершинами:

U (1; 0; 0), U '(- 1; 0; 0), V (0; 2; 0), V' (0; -2; 0),

и с вершинами:

А (0; 0; 1), А '(0; 0; -1),

имеет две разные длины кромки:

${ displaystyle UV = VU '= U'V' = V'U = { sqrt {5}}}$,

${ Displaystyle AU = AU '= A'U = A'U' = { sqrt {2}}}$,

${ Displaystyle AV = AV '= A'V = A'V' = { sqrt {5}}}$;

таким образом, все его треугольные грани равнобедренные.

• «Изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» (*) бипирамида с такими же базовыми вершинами, но с высотой вершины: 2, также имеет две разные длины ребер: ${ displaystyle { sqrt {5}}}$, ${ displaystyle 2 { sqrt {2}}}$.

В кристаллография существуют «изотоксальные» правые (симметричные) «дидигональные» (*) (8-гранные), дитригональные (12-гранные), дитетрагональные (16-гранные) и бигексагональные (24-гранные) бипирамиды.^[4][3]

(*) Наименьший геометрический диаметрп-гональные бипирамиды имеют восемь граней и топологически идентичны правильный октаэдр. В этом случае (2п = 2×2):
«изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» бипирамида называется ромбическая бипирамида,^[4][3] хотя все его грани представляют собой разносторонние треугольники, потому что его плоское основание многоугольника представляет собой ромб.

Пример ромбической бипирамиды

Скаленоэдры

А «правильная» правая «симметричная» ди-п-гональный скаленоэдр можно сделать с обычный зигзагообразный перекос 2п-гонная основа, два симметричный вершины верно выше и верно ниже центра основания и треугольные грани, соединяющие каждый край основания с каждой вершиной.

Имеет две вершины и 2п вершины по сторонам, 4п лица и 6п края; он топологически идентичен 2п-гональная бипирамида, но ее 2п вершины по сторонам чередуются в два кольца выше и ниже центра.^[3]

«Правильная» правая «симметричная» ди-п-гональный скаленоэдр имеет п оси двукратного вращения через средние кромки по бокам, п плоскости отражения через вершины и вершины, п-сложная ось вращения через вершины, а п-складывать вращение-отражение ось через вершины,^[4] представляющая группу симметрии D_пv = D_пd, [2⁺,2п], (2*п) порядка 4п. (Если n нечетное, существует симметрия относительно центра, соответствующая повороту-отражению на 180 °.)

Все его лица конгруэнтный разносторонние треугольники, и это равногранный. Это можно рассматривать как еще один тип правильных «симметричных» 2п-гональная бипирамида, с обычный зигзагообразный перекос основание многоугольника.

Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренный.

Пример дитригонального скаленоэдра

В кристаллография существуют «правильные» правые «симметричные» «дидигональные» (8-гранные) и дитригональные (12-гранные) скаленоэдры.^[4][3]

Наименьшие геометрические скаленоэдры имеют восемь граней и топологически идентичны правильный октаэдр. В этом случае (2п = 2×2):
«правильный» правый «симметричный» «дидигональный» скаленоэдр называется тетрагональный скаленоэдр;^[4][3] его шесть вершин можно представить как (0,0, ± 1), (± 1,0,z), (0,±1,−z), куда z - параметр от 0 до 1;
в z = 0, это правильный октаэдр; в z = 1, это дисфеноид со всеми объединенными копланарными гранями (четыре равнобедренных равнобедренных треугольника); за z > 1, он становится вогнутым.

Вариации геометрической формы "правильного" правильного "симметричного" восьмигранного скаленоэдра:

z = 0.1	z = 0.25	z = 0.5	z = 0.95	z = 1.5

Примеры дифеноидов и 8-гранного скаленоэдра

Примечание: если 2поснование -угольник одновременно является изотоксальным внутрь-наружу и зигзагообразно перекосом, тогда нет все треугольные грани "изотоксального" правого "симметричного" тела конгруэнтны.

Пример: твердое тело с изотоксальным зигзагом внутрь-наружу перекосит базовые вершины 2 × 2-угольника:
U (1; 0; 1), U '(- 1; 0; 1), V (0; 2; -1), V' (0; -2; -1),
и с «правильными» симметричными вершинами:
А (0; 0; 3), А '(0; 0; -3),
имеет пять различных длин кромок:

${ displaystyle UV = VU '= U'V' = V'U = 3}$,

${ displaystyle AU = AU '= { sqrt {5}}}$,

${ displaystyle AV = AV '= 2 { sqrt {5}}}$,

${ displaystyle A'U = A'U '= { sqrt {17}}}$,

${ displaystyle A'V = A'V '= 2 { sqrt {2}}}$;

таким образом нет все его треугольные грани конгруэнтны.

«Обычные» звездные бипирамиды

Самопересекающийся или звезда бипирамида имеет звезда многоугольник основание.

А "регулярный" правосимметричный звездную бипирамиду можно сделать с помощью обычный основание звездообразного многоугольника, два симметричный вершины верно выше и верно ниже центра основания, и, следовательно, один к одному симметричный треугольные грани, соединяющие каждую кромку основания с каждой вершиной.

"Правильная" правосимметричная звездная бипирамида имеет конгруэнтный равнобедренный треугольные грани, и равногранный.

Примечание: не более одной конкретной высоты вершины треугольные грани могут быть равносторонними.

A {п/q} -бипирамида имеет Диаграмма Кокстера .

Пример "правильной" правосимметричной звездной бипирамиды:

Основание звездообразного многоугольника	5/2 -угольник	7/2-угольник	7/3-угольник	8/3-угольник	9/2-угольник	9/4-угольник
Изображение звезды бипирамиды
Диаграмма Кокстера

Пример "правильной" правосимметричной звездной бипирамиды:

Основание звездообразного многоугольника	10/3-угольник	11/2-угольник	11/3-угольник	11/4-угольник	11/5-угольник	12/5-угольник
Изображение звезды бипирамиды
Диаграмма Кокстера

Бипирамиды звезды треугольника скален

An "изотоксальный" правосимметричный 2п/q-гональная звездная бипирамида может быть изготовлена ​​с помощью изотоксальный вход-выход звезда 2п/q-гонная основа, два симметричный вершины верно выше и верно ниже центра основания, и, следовательно, один к одному симметричный треугольные грани, соединяющие каждую кромку основания с каждой вершиной.

"Изотоксальный" правосимметричный 2п/q-гональная звездная бипирамида имеет конгруэнтный неравносторонний треугольные грани, и равногранный. Это можно рассматривать как еще один тип 2п/q-гональная правая «симметричная» звездный скаленоэдр.

Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными.

Пример "изотоксальной" правосимметричной звездной бипирамиды:

Основание звездообразного многоугольника	Изотоксальный вход-выход 8/3-угольный
Изображение бипирамиды звезды треугольника скален

Звездные скаленоэдры

А «правильная» правая «симметричная» 2п/q-гональный звездчатый скаленоэдр можно составить из обычный зигзагообразный перекос звезда 2п/q-гонная основа, два симметричный вершины верно выше и верно ниже центра основания и треугольные грани, соединяющие каждый край основания с каждой вершиной.

«Правильная» правая «симметричная» 2п/q-угольная звезда скаленоэдр имеет конгруэнтный неравносторонний треугольные грани, и равногранный. Это можно рассматривать как еще один тип правильных «симметричных» 2п/q-угольная звезда-бипирамида с правильным зигзагообразным основанием из косого многоугольника.

Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренный.

Пример "правильного" правого "симметричного" звездчатого скаленоэдра:

Основание звездообразного многоугольника	Обычный зигзагообразный перекос 8/3-угольник
Изображение звездного масштабноэдра

Примечание: если звезда 2п/qоснование -угольник одновременно является изотоксальным внутрь-наружу и зигзагообразно перекосом, тогда нет все треугольные грани "изотоксального" правильного "симметричного" звездного многогранника конгруэнтны.

Пример "изотоксального" правого "симметричного" звездчатого многогранника:

Основание звездообразного многоугольника	Изотоксальный вход-выход зигзагообразный перекос 8/3-угольник
Изображение звездного многогранника

С базовыми вершинами:
U₀(1; 0; 1), U₁(0; 1; 1), U₂(-1; 0; 1), U₃(0;-1;1),
V₀(2; 2; -1), В₁(-2; 2; -1), В₂(-2; -2; -1), В₃(2;-2;-1),
и с вершинами:
А (0; 0; 3), А '(0; 0; -3),
у него четыре разных длины кромки:

${ displaystyle U_ {0} V_ {1} = V_ {1} U_ {3} = U_ {3} V_ {0} = V_ {0} U_ {2} = U_ {2} V_ {3} = V_ { 3} U_ {1} = U_ {1} V_ {2} = V_ {2} U_ {0} = { sqrt {17}}}$,

${ displaystyle AU_ {0} = AU_ {1} = AU_ {2} = AU_ {3} = { sqrt {5}}}$,

${ displaystyle AV_ {0} = AV_ {1} = AV_ {2} = AV_ {3} = 2 { sqrt {6}}}$,

${ displaystyle A'U_ {0} = A'U_ {1} = A'U_ {2} = A'U_ {3} = { sqrt {17}}}$,

${ displaystyle A'V_ {0} = A'V_ {1} = A'V_ {2} = A'V_ {3} = 2 { sqrt {3}}}$;

таким образом нет все его треугольные грани конгруэнтны.

4-многогранники с бипирамидными ячейками

В двойной из исправление каждого выпуклые правильные 4-многогранники это клеточно-транзитивный 4-многогранник с бипирамидными клетками. В дальнейшем вершина бипирамиды - A, а вершина экватора - E. Расстояние между соседними вершинами на экваторе EE = 1, от вершины до края экватора - AE, а расстояние между вершинами - AA. 4-многогранник бипирамиды будет иметь V_А вершины, где вершины N_А встречаются бипирамиды. Это будет иметь V_E вершины, где вершины типа E N_E встречаются бипирамиды. N_AE бипирамиды встречаются вдоль каждого типа А-края. N_EE бипирамиды встречаются вдоль каждого типа EE ребра. C_AE - косинус двугранного угла вдоль ребра АЭ. C_EE это косинус двугранный угол по краю ВЭ. Поскольку клетки должны располагаться по краю, N_AA потому что⁻¹(C_AA) ≤ 2π, N_AE потому что⁻¹(C_AE) ≤ 2π.

Свойства 4-многогранника									Свойства бипирамиды
Двойной из	Coxeter диаграмма	Клетки	VА	VE	NА	NE	NAE	NEE	Клетка	Coxeter диаграмма	AA	AE **	CAE	CEE
Выпрямленный 5-элементный		10	5	5	4	6	3	3	Треугольная бипирамида		2/3	0.667	−1/7	−1/7
Исправленный тессеракт		32	16	8	4	12	3	4	Треугольная бипирамида		√2/3	0.624	−2/5	−1/5
Ректифицированный 24-элементный		96	24	24	8	12	4	3	Треугольная бипирамида		2√2/3	0.745	1/11	−5/11
Выпрямленный 120-элементный		1200	600	120	4	30	3	5	Треугольная бипирамида		√5 − 1/3	0.613	−10 + 9√5/61	12√5 − 7/61
Выпрямленный 16-элементный		24*	8	16	6	6	3	3	Квадратная бипирамида		√2	1	−1/3	−1/3
Ректифицированные соты кубической формы		∞	∞	∞	6	12	3	4	Квадратная бипирамида		1	0.866	−1/2	0
Выпрямленный 600-элементный		720	120	600	12	6	3	3	Пятиугольная бипирамида		5 + 3√5/5	1.447	−11 + 4√5/41	−11 + 4√5/41

* Выпрямленные 16 ячеек являются правильными 24 ячейками, и все вершины эквивалентны - октаэдры являются правильными бипирамидами.

** Дано численно в связи с более сложной формой.

Высшие измерения

В целом бипирамида можно рассматривать как п-многогранник построенный с (п - 1) -политоп в гиперплоскость с двумя точками в противоположных направлениях на равном расстоянии перпендикулярно гиперплоскости. Если (п - 1) -многогранник - правильный многогранник, он будет иметь одинаковые пирамидальный грани. Примером может служить 16 ячеек, который представляет собой октаэдрическую бипирамиду, и в более общем плане п-ортоплекс является (п - 1) -ортоплексная бипирамида.

Двумерная бипирамида - это квадрат.

Смотрите также

• Трапецоэдр

Рекомендации

Цитаты

Общие ссылки

• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход. Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN  0-520-03056-7. Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Дипирамида». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Изогедр". MathWorld.
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • VRML модели (Джордж Харт) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
    • Обозначение Конвея для многогранников Попробуйте: "dPп", куда п = 3, 4, 5, 6, ... пример "dP4" - октаэдр.