Усеченный тетраэдр - Truncated tetrahedron

Усеченный тетраэдр
Truncatedtetrahedron.jpg
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
ТипАрхимедово твердое тело
Равномерный многогранник
ЭлементыF = 8, E = 18, V = 12 (χ = 2)
Лица по сторонам4{3}+4{6}
Обозначение КонвеяtT
Символы Шлефлит {3,3} = ч2{4,3}
т0,1{3,3}
Символ Wythoff2 3 | 3
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel узел h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Группа симметрииТd, А3, [3,3], (* 332), порядок 24
Группа вращенияТ, [3,3]+, (332), порядок 12
Двугранный угол3-6: 109°28′16′
6-6: 70°31′44″
РекомендацииU02, C16, W6
ХарактеристикиПолурегулярный выпуклый
Усеченный многогранник 4a max.png
Цветные лица		Усеченный тетраэдр vertfig.png
3.6.6
(Фигура вершины )
Многогранник усеченный 4a dual max.png
Тетраэдр Триаки
(двойственный многогранник )		Многогранник усеченный 4a net.svg
Сеть
3D модель усеченного тетраэдра

В геометрия, то усеченный тетраэдр является Архимедово твердое тело. Имеет 4 обычных шестиугольник лица, 4 равносторонний треугольник граней, 12 вершин и 18 ребер (двух типов). Его можно построить усечение все 4 вершины регулярного тетраэдр на одну треть исходной длины края.

Более глубокое усечение, удаляющее из каждой вершины тетраэдр с половиной исходной длины ребра, называется исправление. Выпрямление тетраэдра дает октаэдр.[1]

А усеченный тетраэдр это Многогранник Гольдберга граммIII(1,1), содержащие треугольные и шестиугольные грани.

А усеченный тетраэдр можно назвать кантик куб, с Диаграмма Кокстера, CDel узел h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png, имеющий половину вершин скошенного куба (ромбокубооктаэдр ), CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png. У этой конструкции есть два двойных положения, и их объединение создает униформу. соединение двух усеченных тетраэдров.

Площадь и объем

Площадь А и объем V усеченного тетраэдра реберной длины а находятся:

Самая плотная упаковка

Считается, что наиболее плотной упаковкой архимедова усеченного тетраэдра является Φ =207/208, как сообщили две независимые группы, использующие Методы Монте-Карло.[2][3] Хотя не существует математических доказательств того, что это наилучшая возможная упаковка для усеченного тетраэдра, высокая близость к единству и независимость результатов делают маловероятным обнаружение еще более плотной упаковки. Фактически, если усечение углов немного меньше, чем у усеченного архимедова тетраэдра, эту новую форму можно использовать для полного заполнения пространства.[2]

Декартовы координаты

Декартовы координаты для 12 вершин усеченный тетраэдр с центром в начале координат, с длиной ребра √8, все перестановки (± 1, ± 1, ± 3) с четным числом знаков минус:

  • (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
  • (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
  • (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
  • (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)
Усеченный тетраэдр in unit cube.pngTriangled truncated tetrahedron.pngUC54-2 truncated tetrahedra.png
Ортогональная проекция показывая внутри него декартовы координаты Ограничительная рамка: (±3,±3,±3).Гексагональные грани усеченных тетраэдров можно разделить на 6 компланарных равносторонних треугольников. 4 новые вершины имеют декартовы координаты:
(−1,−1,−1), (−1,+1,+1),
(+ 1, −1, + 1), (+ 1, + 1, −1). Как твердое тело это может представлять собой 3D рассечение составляя 4 красных октаэдра и 6 желтых тетраэдров.		Набор перестановок вершин (± 1, ± 1, ± 3) с нечетным числом знаков минус образует дополнительный усеченный тетраэдр, а вместе они образуют однородный составной многогранник.

Другая простая конструкция существует в 4-пространстве как клетки усеченный 16-элементный, с вершинами как перестановка координат:

(0,0,1,2)

Ортогональная проекция

Ортогональная проекция
В центреКрай нормальныйЛицо нормальноеКрайЛицо
КаркасМногогранник усеченный 4a из красно-желтого max.pngМногогранник усеченный 4a из синего max.pngМногогранник усеченный 4a из красного max.png Многогранник усеченный 4a из желтого max.png
КаркасТетраэдр t01 ae.pngТетраэдр t01 af36.png3-симплексный t01.svg3-симплексный t01 A2.svg
ДвойнойДвойной тетраэдр t01 ae.pngДвойной тетраэдр t01 af36.pngДвойной тетраэдр t01.pngДвойной тетраэдр t01 A2.png
Проективный
симметрия		[1][1][4][3]

Сферическая черепица

Усеченный тетраэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Равномерная черепица 332-t12.pngУсеченный тетраэдр стереографическая проекция треугольник.png
треугольник -центрированный		Стереографическая проекция усеченного тетраэдра hexagon.png
шестиугольник -центрированный
Ортографическая проекцияСтереографические проекции

Многогранник Фриауфа

Вариант усеченного тетраэдра с более низкой симметрией (усеченный тетрагональный дисфеноид при заказе 8 D2d симметрии) называется многогранником Фриауфа в таких кристаллах, как сложные металлические сплавы. Эта форма соответствует пяти многогранникам Фриауфа вокруг оси, что дает 72-градусный угол. двугранный угол на подмножестве из 6-6 ребер.[4] Он назван в честь Дж. Б. Фриауф и его статья 1927 г. «Кристаллическая структура интерметаллического соединения MgCu.2".[5]

Использует

Гигантские усеченные тетраэдры были использованы в тематических павильонах «Человек-исследователь» и «Человек-продюсер» в Экспо 67. Они были сделаны из массивных стальных балок, скрепленных болтами в геометрическую решетку. Усеченные тетраэдры соединялись между собой решетчатыми стальными площадками. Все эти здания были снесены после окончания Экспо 67, так как они не были построены, чтобы выдерживать суровые погодные условия Монреаля на протяжении многих лет. Их единственные остатки находятся в городских архивах Монреаля, Государственных архивах Канады и фотоколлекциях туристов того времени.[6]

В Тетраминкс Пазл имеет усеченную четырехгранную форму. Эта головоломка показывает рассечение усеченного тетраэдра на 4 октаэдры и 6 тетраэдры. Он содержит 4 центральные плоскости вращения.

Tetraminx.jpg

Усеченный тетраэдрический граф

Усеченный тетраэдрический граф
Усеченный тетраэдрический граф.png
3-х кратная симметрия
Вершины12[7]
Края18
Радиус3
Диаметр3[7]
Обхват3[7]
Автоморфизмы24 (S4 )[7]
Хроматическое число3[7]
Хроматический индекс3[7]
ХарактеристикиГамильтониан, обычный, 3-вершинно-связанный, планарный граф
Таблица графиков и параметров

в математический поле теория графов, а усеченный тетраэдрический граф является Архимедов граф, то граф вершин и ребер усеченного тетраэдра, один из Архимедовы тела. Имеет 12 вершины и 18 ребер.[8] Это связный кубический граф,[9] и связный кубический транзитивный граф.[10]

КруговойОртографические проекции
Усеченный тетраэдр graph.circo.svg3-симплексный t01.svg
4-х кратная симметрия		3-симплексный t01 A2.svg
3-х кратная симметрия

Связанные многогранники и мозаики

Он также является частью последовательности кантических многогранников и мозаик с конфигурация вершины 3.6.п.6. В этом Wythoff Construction ребра между шестиугольниками представляют собой вырожденные дигоны.

*п33 орбифолдные симметрии кантических мозаик: 3.6.n.6
Основной домен N33 t01.pngОрбифолд
* n32		СферическийЕвклидовоГиперболическийПаракомпакт
*332*333*433*533*633...*∞33
Кантическая фигураSpherical cantic cube.pngРавномерная черепица 333-t12.pngH2 мозаика 334-6.pngH2 плитка 335-6.pngH2 мозаика 336-6.pngПлитка H2 33i-6.png
Вершина3.6.2.63.6.3.63.6.4.63.6.5.63.6.6.63.6.∞.6

Мутации симметрии

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности равномерных усеченный многогранники с конфигурации вершин (3.2п.2п), и [п,3] Группа Коксетера симметрия.

Примеры

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Чисхолм, Мэтт; Авнет, Джереми (1997). «Усеченный обман: усечение». теория.org. Получено 2013-09-02.
  2. ^ а б Damasceno, Pablo F .; Энгель, Майкл; Глотцер, Шэрон К. (декабрь 2011 г.). «Кристаллические сборки и плотнейшие упаковки семейства усеченных тетраэдров и роль направленных энтропийных сил». САУ Нано. 6 (2012): 609–614. arXiv:1109.1323. Дои:10.1021 / nn204012y. PMID  22098586.
  3. ^ Цзяо, Ян; Торквато, Сал (сентябрь 2011 г.). «Упаковка усеченных тетраэдров, которая почти заполняет все пространство». arXiv:1107.2300 [cond-mat.soft ].
  4. ^ http://met.iisc.ernet.in/~lord/webfiles/clusters/polyclusters.pdf
  5. ^ Фриауф, Дж. Б. (1927). «Кристаллическая структура интерметаллида MgCu.2". Варенье. Chem. Soc. 49: 3107–3114. Дои:10.1021 / ja01411a017.
  6. ^ http://expo67.ncf.ca/man_the_producer_p1.html
  7. ^ а б c d е ж Атлас графиков, страница = 172, C105
  8. ^ Атлас графов, стр. 267, усеченный тетраэдрический граф
  9. ^ Атлас графов, страница 130, связные кубические графы, 12 вершин, C105
  10. ^ Атлас графов, страница 161, связные кубические транзитивные графы, 12 вершин, Ct11
  • Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
  • Читать, R.C .; Уилсон, Р. Дж. (1998), Атлас графиков, Oxford University Press

внешняя ссылка