Многогранник Гольдберга - Goldberg polyhedron

Икосаэдрические многогранники Гольдберга с пятиугольниками в красном цвете
GP (1,4) = {5 +, 3}_1,4	GP (4,4) = {5 +, 3}_4,4
GP (7,0) = {5 +, 3}_7,0	GP (3,5) = {5 +, 3}_3,5
GP (10,0) = {5 +, 3}_10,0 Равносторонние и сферические

В математика, а точнее в многогранная комбинаторика, а Многогранник Гольдберга выпуклый многогранник сделаны из шестиугольников и пятиугольников. Впервые они были описаны Майкл Голдберг (1902–1990) в 1937 году. Они определяются тремя свойствами: каждая грань представляет собой пятиугольник или шестиугольник, ровно три грани пересекаются в каждой вершине, и они имеют вращательная икосаэдрическая симметрия. Они не обязательно зеркально-симметричны; например GP(5,3) и GP(3,5) являются энантиоморфы друг друга. Многогранник Гольдберга - это двойственный многогранник из геодезическая сфера.

Следствие Формула многогранника Эйлера состоит в том, что многогранник Гольдберга всегда имеет ровно двенадцать пятиугольных граней. Икосаэдрическая симметрия гарантирует, что пятиугольники всегда обычный и что их всегда 12. Если вершины не ограничены сферой, многогранник может быть построен с плоскими равносторонними (но не в общем случае равноугольными) гранями.

Простые примеры многогранников Гольдберга включают додекаэдр и усеченный икосаэдр. Другие формы можно описать, взяв шахматы рыцарь перейти от одного пятиугольника к другому: первый дубль м шаги в одном направлении, затем поверните на 60 ° влево и п шаги. Такой многогранник обозначается GP(м,п). Додекаэдр - это GP(1,0) а усеченный икосаэдр - GP(1,1).

Аналогичный прием можно применить для построения многогранников с тетраэдрическая симметрия и октаэдрическая симметрия. Эти многогранники будут иметь треугольники или квадраты, а не пятиугольники. Этим вариациям даны индексы римских цифр, обозначающие количество сторон на гранях, отличных от шестиугольника: GP_III(п, м), ГП_IV(n, m) и GP_V(п, м).

Элементы

Количество вершин, ребер и граней GP(м,п) можно вычислить из м и п, с Т = м² + мин + п² = (м + п)² − мин, в зависимости от одной из трех систем симметрии:^[1] Количество негексагональных граней можно определить с помощью характеристики Эйлера, как показано здесь.

Симметрия	Икосаэдр	Восьмигранный	Тетраэдр
Основание	Додекаэдр GP_V(1,0) = {5+,3}_1,0	Куб GP_IV(1,0) = {4+,3}_1,0	Тетраэдр GP_III(1,0) = {3+,3}_1,0
Изображение
Символ	GP_V(т, п) = {5 +, 3}_{м, н}	GP_IV(т, п) = {4 +, 3}_{м, н}	GP_III(т, п) = {3 +, 3}_{м, н}
Вершины	${ displaystyle 20T}$	${ displaystyle 8T}$	${ displaystyle 4T}$
Края	${ displaystyle 30T}$	${ displaystyle 12T}$	${ displaystyle 6T}$
Лица	${ displaystyle 10T + 2}$	${ displaystyle 4T + 2}$	${ displaystyle 2T + 2}$
Лица по типу	12 {5} и 10 (Т − 1) {6}	6 {4} и 4 (Т − 1) {6}	4 {3} и 2 (Т − 1) {6}

Строительство

Большинство многогранников Гольдберга можно построить, используя Обозначения многогранника Конвея начиная с (T) этраэдра, (C) убэ и (D) зародышей одекаэдра. В фаска оператор c, заменяет все ребра шестиугольниками, преобразовывая GP(м,п) к GP(2м,2п), с Т множитель 4. усеченный кис оператор у = тк, генерирует GP(3,0), преобразовывая GP(м,п) к GP(3м,3п), с Т множитель 9.

Для форм класса 2 двойной поцелуй оператор z = dk, преобразует GP(а, 0) в GP(а,а), с Т множитель 3. Для форм класса 3 кружиться оператор ш, генерирует GP(2,1), с Т множитель 7. Генератор вихрей по и против часовой стрелки, шш = wrw генерирует GP(7,0) в классе 1. Вихрь может преобразовать ГП (а,б) в GP (а + 3б,2ab) за а > б и такое же хиральное направление. Если киральные направления меняются местами, GP (а,б) становится GP (2а + 3б,а − 2б) если а ≥ 2б, и GP (3а + б,2б − а) если а < 2б.