Правильный икосаэдр - Regular icosahedron

Правильный икосаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	F = 20, E = 30 V = 12 (χ = 2)
Лица по сторонам	20{3}
Обозначение Конвея	я СТ
Символы Шлефли	{3,5}
	с {3,4} sr {3,3} или ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3 3end {Bmatrix}}}$
Конфигурация лица	V5.5.5
Символ Wythoff	5 | 2 3
Диаграмма Кокстера
Симметрия	ячас, H3, [5,3], (*532)
Группа вращения	я, [5,3]+, (532)
Рекомендации	U22, C25, W4
Характеристики	обычный, выпуклыйдельтаэдр
Двугранный угол	138,189685 ° = arccos (-√5⁄3)
3.3.3.3.3 (Фигура вершины )	Правильный додекаэдр (двойственный многогранник )
Сеть

3D модель правильного икосаэдра

В геометрия, а обычный икосаэдр (/ˌаɪkɒsəˈчасяdрən,-kə-,-koʊ-/ или же /аɪˌkɒsəˈчасяdрən/^[1]) является выпуклой многогранник с 20 гранями, 30 ребрами и 12 вершинами. Это один из пяти Платоновы тела, и тот, у кого больше всего лиц.

У него пять равносторонних треугольных граней, пересекающихся в каждой вершине. Он представлен своим Символ Шлефли {3,5}, а иногда его вершина фигуры как 3.3.3.3.3 или 3⁵. Это двойной из додекаэдр, который представлен как {5,3} с тремя пятиугольными гранями вокруг каждой вершины.

Правильный икосаэдр - это строго выпуклый дельтаэдр и гиродлинный пятиугольная бипирамида и двунаправленный пятиугольная антипризма в любой из шести ориентаций.

Название происходит от Греческий εἴκοσι (eíkosi) "двадцать" и ἕδρα (Хедра) 'сиденье'. Множественное число может быть «икосаэдрами» или «икосаэдрами» (/-dрə/).

Размеры

Сетка, складывающаяся в икосаэдр

Если длина ребра правильного икосаэдра равна а, то радиус ограниченного сфера (тот, который касается икосаэдра во всех вершинах)

${displaystyle r_ {u} = {frac {a} {2}} {sqrt {phi {sqrt {5}}}} = {frac {a} {4}} {sqrt {10 + 2 {sqrt {5}} }} = asin {frac {2pi} {5}} приблизительно 0,951,056,5163cdot a}$ OEIS: A019881

и радиус вписанной сферы (касательная каждой грани икосаэдра)

${displaystyle r_ {i} = {frac {phi ^ {2} a} {2 {sqrt {3}}}} = {frac {sqrt {3}} {12}} left (3+ {sqrt {5}}) ight) прибл. 0,755,761,3141cdot a}$ OEIS: A179294

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

${displaystyle r_ {m} = {frac {aphi} {2}} = {frac {1} {4}} left (1+ {sqrt {5}} ight) a = acos {frac {pi} {5}} примерно 0.809 016,99 cdot a}$ OEIS: A019863

куда ϕ это Золотое сечение.

Площадь и объем

Площадь поверхности А и объем V правильного икосаэдра с реберной длиной а находятся:

${displaystyle A = 5 {sqrt {3}} a ^ {2} приблизительно 8,660,254,04a ^ {2}}$ OEIS: A010527

${displaystyle V = {frac {5} {12}} (3+ {sqrt {5}}) a ^ {3} приблизительно 2,181 694,99a ^ {3}}$ OEIS: A102208

Последний F = 20 раз больше объема генерала тетраэдр с вершиной в центре вписанной сферы, где объем тетраэдра в три раза больше площади основания √3а²/4 раз больше его высоты р_я.

Коэффициент заполнения объема описанной сферы составляет:

${displaystyle f = {frac {V} {{frac {4} {3}} pi r_ {u} ^ {3}}} = {frac {20 (3+ {sqrt {5}})} {(2 { sqrt {5}} + 10) ^ {frac {3} {2}} pi}} примерно 0,605,461,3829}$, по сравнению с 66,49% для додекаэдра.

Сфера, вписанная в икосаэдр, будет охватывать 89,635% его объема по сравнению с 75,47% для додекаэдра.

Средняя часть икосаэдра будет иметь объем в 1,01664 раза больше объема икосаэдра, что на сегодняшний день является наиболее близким по объему подобием любого платонового тела с его средней сферой. Возможно, это делает икосаэдр самым «круглым» из платоновых тел.

Декартовы координаты

Вершины икосаэдра образуют три ортогональных золотых прямоугольника

Вершины икосаэдра с центром в начале координат с длиной ребра 2 и по окружности из ${displaystyle {sqrt {phi +2}} примерно 1,9}$ описаны круговые перестановки из:^[2]

(0, ±1, ±ϕ)

куда ϕ = 1 + √5/2 это Золотое сечение.

Взятие всех перестановок (не только циклических) приводит к Соединение двух икосаэдров.

Обратите внимание, что эти вершины образуют пять наборов из трех концентрических, взаимно ортогональный золотые прямоугольники, ребра которого образуют Кольца Борромео.

Если исходный икосаэдр имеет длину ребра 1, его двойственный додекаэдр имеет длину края √5 − 1/2 = 1/ϕ = ϕ − 1.

Модель икосаэдра из металлических сфер и магнитных соединителей

12 граней обычного октаэдр можно разделить в золотом сечении так, чтобы полученные вершины определяли правильный икосаэдр. Это делается путем размещения векторов по краям октаэдра таким образом, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделяя каждое ребро на золотую середину в направлении его вектора. В пять октаэдров определение любого данного икосаэдра в виде регулярного полиэдрическое соединение, в то время как два икосаэдра который может быть определен таким образом из любого данного октаэдра, образующего однородное соединение многогранника.

Правильный икосаэдр и его ограниченная сфера. Вершины правильного икосаэдра лежат в четырех параллельных плоскостях, образуя в них четыре равносторонние треугольники; это было доказано Папп Александрийский

Сферические координаты

Расположение вершин правильного икосаэдра можно описать с помощью сферические координаты, например как широта и долгота. Если две вершины взяты на северном и южном полюсах (широта ± 90 °), то остальные десять вершин находятся на широте ±арктан (1/2) ≈ ± 26,57 °. Эти десять вершин находятся на равном расстоянии друг от друга по долготе (36 ° друг от друга), чередуя северную и южную широты.

Эта схема использует тот факт, что правильный икосаэдр имеет пятиугольную форму. гиродлинная бипирамида, с D_5d двугранная симметрия - то есть он состоит из двух конгруэнтных пятиугольных пирамид, соединенных пятиугольной антипризма.

Ортогональные проекции

Икосаэдр имеет три особых ортогональные проекции с центром на грани, ребре и вершине:

Ортогональные проекции

В центре	Лицо	Край	Вершина
Самолет Кокстера	А2	А3	ЧАС3
График
Проективный симметрия	[6]	[2]	[10]
График	Лицо нормальное	Край нормальный	Вершина нормальная

Сферическая черепица

Икосаэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Другие факты

• Икосаэдр имеет 43380 различных сети.^[3]
• Чтобы раскрасить икосаэдр таким образом, чтобы никакие две смежные грани не имели одинаковый цвет, требуется как минимум 3 цвета.^[а]
• Проблема, восходящая к древним грекам, состоит в том, чтобы определить, какая из двух форм имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр вписан в ту же сферу. Проблема была решена Герой, Паппус, и Фибоначчи, среди прочего.^[4] Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат: соотношение объемов этих двух форм совпадает с соотношением площадей их поверхностей.^[5] В обоих томах есть формулы, включающие Золотое сечение, но получили разные полномочия.^[6] Как оказалось, икосаэдр занимает меньше объема шара (60,54%), чем додекаэдр (66,49%).^[7]

Строительство по системе равносторонних линий

Икосаэдр ЧАС3 Самолет Кокстера	6-ортоплекс D6 Самолет Кокстера
Геометрически эту конструкцию можно представить как 12 вершин 6-ортоплекс проецируется на 3 измерения. Это представляет собой геометрическая складка D6 к H3 Группы Кокстера: Видно этими 2D Самолет Кокстера В ортогональных проекциях две перекрывающиеся центральные вершины определяют третью ось в этом отображении.

Следующая конструкция икосаэдра позволяет избежать утомительных вычислений в числовое поле ℚ[√5] необходимо в более элементарных подходах.

Существование икосаэдра равносильно существованию шести равносторонние линии в ℝ³. Действительно, пересечение такой системы равноугольных прямых с евклидовой сферой с центром в их общем пересечении дает двенадцать вершин правильного икосаэдра, что легко проверить. И наоборот, если предположить существование правильного икосаэдра, прямые, определяемые его шестью парами противоположных вершин, образуют равноугольную систему.

Чтобы построить такую ​​равностороннюю систему, мы начнем с этого квадрата 6 × 6 матрица:

${displaystyle A = left ({egin {array} {crrrrr} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0end {array ).}$

Прямое вычисление дает А² = 5я (куда я - единичная матрица 6 × 6). Отсюда следует, что А имеет собственные значения –√5 и √5, оба с кратностью 3, так как А является симметричный и из след нуль.

Матрица А + √5я индуцирует таким образом Евклидова структура на факторное пространство ℝ⁶ / кер (А + √5я), который изоморфный к ℝ³ так как ядро кер (А + √5я) из А + √5я имеет измерение 3. Изображение под проекция π : ℝ⁶ → ℝ⁶ / кер (А + √5я) шести координатных осей ℝv₁, …, ℝv₆ в ℝ⁶ образует таким образом систему из шести равносторонних линий в ℝ³ попарно пересекающиеся под общим острым углом arccos¹⁄_√5. Ортогональная проекция ±v₁, …, ±v₆ на √5-eigenspace из А дает, таким образом, двенадцать вершин икосаэдра.

Вторая простая конструкция икосаэдра использует теория представлений из переменная группа А₅ действуя прямым изометрии на икосаэдре.

Симметрия

Полный Икосаэдрическая симметрия имеет 15 зеркальных плоскостей (голубые большие круги по этой сфере) встреча по заказу π/5, π/3, π/2 углы, делящие сферу на 120 треугольников фундаментальные области. Есть 6 5-кратных осей (синие), 10 3-кратных осей (красные) и 15 2-кратных осей (пурпурный). Вершины правильного икосаэдра существуют в точках оси 5-кратного вращения.

Вращательный группа симметрии правильного икосаэдра изоморфный к переменная группа на пять букв. Этот не-абелевский простая группа единственный нетривиальный нормальная подгруппа из симметричная группа на пять букв. Поскольку Группа Галуа генерального уравнение пятой степени изоморфна симметрической группе на пяти буквах, и эта нормальная подгруппа проста и неабелева, общее уравнение квинтики не имеет решения в радикалах. Доказательство Теорема Абеля – Руффини использует этот простой факт, и Феликс Кляйн написал книгу, в которой использовала теорию симметрий икосаэдра для получения аналитического решения общего уравнения пятой степени (Кляйн 1884 ). Видеть симметрия икосаэдра: связанные геометрии для дальнейшей истории и связанных симметрий семи и одиннадцати букв.

Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) известна как полная группа икосаэдра, и изоморфна произведению группы вращательной симметрии и группы C₂ размером два, который создается отражением через центр икосаэдра.

Звёздчатые

Икосаэдр имеет большое количество звёздчатые. Согласно определенным правилам, определенным в книге Пятьдесят девять икосаэдров Для правильного икосаэдра выделено 59 звёздчатых звёзд. Первая форма - это сам икосаэдр. Один обычный Многогранник Кеплера – Пуансо. Три правильные составные многогранники.^[8]

21 из 59 звездчатых

Грани икосаэдра вытянуты наружу при пересечении плоскостей, определяя области в пространстве, как показано этим звездчатая диаграмма пересечений в единой плоскости.

Грани

В малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, и большой икосаэдр три огранки правильного икосаэдра. Они разделяют то же самое расположение вершин. У всех 30 ребер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют общие черты. расположение кромок но различаются гранями (треугольники против пятиугольников), как и малый звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы против треугольников).

Выпуклый	Обычные звезды
икосаэдр	большой додекаэдр	малый звездчатый додекаэдр	большой икосаэдр

Геометрические отношения

Имеются искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются регулярными, тем не менее вершинно-однородный. Это инвариантный под тем же вращения как тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны курносый куб и курносый додекаэдр, включая некоторые формы, которые хиральный и некоторые с T_час-симметрия, т.е. имеют разные плоскости симметрии от тетраэдра.

Икосаэдр уникален среди Платоновы тела в обладании двугранный угол не менее 120 °. Его двугранный угол составляет примерно 138,19 °. Таким образом, точно так же, как шестиугольники имеют углы не менее 120 ° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не удовлетворяет требованию, чтобы по крайней мере три грани пересекались в вершине и оставляли положительный дефект для трехмерного складывания икосаэдры нельзя использовать в качестве клетки выпуклой регулярной полихорон потому что, аналогично, по крайней мере три ячейки должны встретиться на краю и оставить положительный дефект для складывания в четырех измерениях (как правило, для выпуклого многогранник в п размеры, не менее трех грани должен встретиться на вершина горы и оставить положительный дефект для складывания п-Космос). Однако в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры могут использоваться в качестве ячеек в полурегулярных полихорах (например, курносый 24-элементный ), точно так же, как шестиугольники могут использоваться как грани в полуправильных многогранниках (например, усеченный икосаэдр ). Наконец, невыпуклые многогранники не предъявляют таких же строгих требований, как выпуклые многогранники, и икосаэдры действительно являются клетками многогранников. икосаэдрический 120-элементный, один из десяти невыпуклая правильная полихора.

Икосаэдр также можно назвать гиродлинная пятиугольная бипирамида. Его можно разложить на гировидная пятиугольная пирамида и пятиугольная пирамида или в пятиугольная антипризма и две равные пятиугольные пирамиды.

Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром

Его можно проецировать в 3D с 6D 6-полукуб используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку Ромбический триаконтаэдр от 6-куб. Здесь показаны 20 внутренних вершин, которые не соединены 30 внешними кромками корпуса стандартной длины 6D. √2. Внутренние вершины образуют додекаэдр.

Используемые базисные векторы трехмерной проекции [u, v, w]:

u = (1, φ, 0, -1, φ, 0)

v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1)

w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Равномерная окраска и подсимметрия

Икосаэдрическая симметрия подгруппы

Есть 3 равномерные раскраски икосаэдра. Эти раскраски можно представить как 11213, 11212, 11111, назвав 5 треугольных граней вокруг каждой вершины их цветом.

Икосаэдр можно рассматривать как курносый тетраэдр, так как пренебрежение правильного тетраэдра дает правильный икосаэдр с хиральной тетраэдрическая симметрия. Он также может быть построен как чередующийся усеченный октаэдр, имеющий пиритоэдрическая симметрия. Вариант пиритоэдрической симметрии иногда называют псевдоикосаэдр, и двойственен пиритоэдр.

	Обычный	Униформа			2-униформа
Имя	Обычный икосаэдр	Курносый октаэдр	Курносый тетратраэдр	Курносый квадрат бипирамида	Пятиугольник Гиро-удлиненный бипирамида	Треугольный гиробиантикупола	Курносый треугольный антипризма[9]
Изображение
Лицо раскраска	(11111)	(11212)	(11213)	(11212)	(11122) (22222)	(12332) (23333)	(11213) (11212)
Coxeter диаграмма
Schläfli символ	{3,5}	с {3,4}	ср {3,3}	SDT {2,4}	() || {n} || г {п} || ()		сс {2,6}
Конвей	я	HtO	СТ	HtdP4	k5A5		sY3 = HtA3
Симметрия	ячас [5,3] (*532)	Тчас [3+,4] (3*2)	Т [3,3]+ (332)	D2ч [2,2] (*222)	D5d [2+,10] (2*5)	D3D [2+,6] (2*3)	D3 [3,2]+ (322)
Симметрия порядок	60	24	12	8	20	12	6

Использование и естественные формы

Золото наночастица просматривается просвечивающая электронная микроскопия.

Структура γ-бора.

Биология

Много вирусы, например вирус герпеса, есть икосаэдр снаряды.^[10] Вирусные структуры построены из повторяющихся одинаковых белок подразделения, известные как капсомеры, и икосаэдр - самая простая форма, которую можно собрать с помощью этих субъединиц. А обычный многогранник используется потому, что он может быть построен из одной базовой единицы белка, используемой снова и снова; это экономит место в вирусных геном.

Обнаружены также различные бактериальные органеллы икосаэдрической формы.^[11] Икосаэдрическая оболочка, инкапсулирующая ферменты и лабильные промежуточные соединения, построена из различных типов белков с BMC домены.

В 1904 г. Эрнст Геккель описал ряд видов Радиолярии, включая Икосаэдры Circogonia, скелет которого имеет форму правильного икосаэдра. Копия иллюстрации Геккеля к этому радиолярию приводится в статье о правильные многогранники.

Химия

В близко -карбораны представляют собой химические соединения, форма которых очень близка к икосаэдру. Икосаэдр побратимство также встречается в кристаллах, особенно наночастицы.

Много бориды и аллотропы бора содержат бор B₁₂ икосаэдр как элемент базовой конструкции.

Игрушки и игры

Двадцать граней умирают от Птолемеевский Египет

Двадцать сторонний умереть

Икосаэдр игральная кость с двадцати сторон использовались с древних времен.^[12]

В нескольких ролевые игры, Такие как Подземелья и Драконы, двадцатигранный кубик (d20 для краткости) обычно используется для определения успеха или неудачи действия. Этот кубик имеет форму правильного икосаэдра. Он может быть дважды пронумерован от «0» до «9» (в какой форме он обычно используется как десятигранный кубик или d10 ), но большинство современных версий имеют маркировку от «1» до «20».

Икосаэдр - это трехмерная игровая доска для Icosagame, ранее известная как Ico Crystal Game.

В настольной игре используется икосаэдр Scattergories выбрать букву алфавита. Шесть букв опущены (Q, U, V, X, Y и Z).

в Nintendo 64 игра Кирби 64: Кристаллические осколки, босс Miracle Matter - это обычный икосаэдр.

Внутри Волшебный шар 8, различные ответы на Да, без вопросов начертаны на правильном икосаэдре.

Другие

Р. Бакминстер Фуллер и японский картограф Сёдзи Садао^[13] разработал карту мира в виде развернутого икосаэдра, названного Полная проекция, максимальная искажение составляет всего 2%. Американец электронная музыка дуэт ODESZA использовать в качестве логотипа обычный икосаэдр.

Икосаэдрический граф

Правильный граф икосаэдра
3-х кратная симметрия
Вершины	12
Края	30
Радиус	3
Диаметр	3
Обхват	3
Автоморфизмы	120 (А5 × Z2)
Хроматическое число	4
Характеристики	Гамильтониан, обычный, симметричный, дистанционно-регулярный, дистанционно-транзитивный, 3-вершинно-связанный, планарный граф
Таблица графиков и параметров

В скелет икосаэдра (вершины и ребра) образует график. Это один из 5 Платоновы графики, каждый - скелет своего Платоново твердое тело.

Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, который дистанционно-транзитивный и симметричный. В группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины могут быть цветной с 4 цветами, края с 5 цветами и диаметр равно 3.^[14]

Граф икосаэдра Гамильтониан: есть цикл, содержащий все вершины. Это также планарный граф.

Ортогональная проекция

Уменьшенные правильные икосаэдры

Есть 4 связанных Твердые тела Джонсона, включая пятиугольные грани с подмножеством из 12 вершин. Подобный правильный икосаэдр в разрезе имеет 2 соседние вершины, уменьшенные, оставляя две трапециевидные грани, а у бифастигиума 2 противоположных набора удаленных вершин и 4 трапециевидных грани. Пятиугольная антипризма образована удалением двух противоположных вершин.

Форма	J2	Bifastigium	J63	J62	Рассеченный икосаэдр	с {2,10}	J11
Вершины	6 из 12	8 из 12	9 из 12	10 из 12			11 из 12
Симметрия	C5в, [5], (*55) заказ 10	D2ч, [2,2], *222 заказ 8	C3в, [3], (*33) заказ 6	C2v, [2], (*22) заказ 4		D5d, [2+,10], (2*5) заказ 20	C5в, [5], (*55) заказ 10
Изображение

Связанные многогранники и многогранники

Икосаэдр можно преобразовать усечение последовательность в его двойной, додекаэдр:

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Как плоскостный тетраэдр и чередование усеченного октаэдра, он также существует в семействах тетраэдрической и октаэдрической симметрии:

Семейство равномерных тетраэдрических многогранников
Симметрия: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	т {3,3}	г {3,3}	т {3,3}	{3,3}	рр {3,3}	tr {3,3}	ср {3,3}
Двойники к однородным многогранникам
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {31,1}	т {3,4} т {31,1}	{3,4} {31,1}	рр {4,3} s2{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	час2{4,3} т {3,3}	с {3,4} с {31,1}
		=	=	=				= или же	= или же	=
Двойники к однородным многогранникам
V43	V3.82	V (3,4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с Символы Шлефли {3,п}, переходя в гиперболическая плоскость.

*п32 изменения симметрии правильных мозаик: {3,п} [ v т е ]
Сферический				Евклид.	Компактный гипер.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Правильный икосаэдр, рассматриваемый как курносый тетраэдр, является членом последовательности пренебрежительно многогранники и мозаики с вершинной фигурой (3.3.3.3.п) и Диаграмма Кокстера – Дынкина . Эти фигуры и их двойники имеют (п32) rotational (вращательный) симметрия, находясь в евклидовой плоскости для п = 6 и гиперболическая плоскость для любых высших п. Серию можно считать началом п = 2, причем один набор граней вырождается в дигоны.

п32 мутации симметрии курносых плиток: 3.3.3.3.n
Симметрия п32	Сферический				Евклидово	Компактный гиперболический		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Курносый цифры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Гироскоп цифры
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Сферический		Гиперболические мозаики [ v т е ]
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞,5}

Икосаэдр может замощить гиперболическое пространство в Икосаэдрические соты порядка 3, с 3 икосаэдрами вокруг каждого ребра, 12 икосаэдрами вокруг каждой вершины, с Символ Шлефли {3,5,3}. это одна из четырех обычных мозаик в трехмерном гиперболическом пространстве.

Здесь он показан в виде краевого каркаса в Модель диска Пуанкаре, в центре которого виден один икосаэдр.

Смотрите также

• Большой икосаэдр
• Геодезические сетки использовать итеративно деленный пополам икосаэдр для создания сеток на сфере
• Икосаэдрические близнецы
• Бесконечный косой многогранник
• Икосаэдр Джессена
• Правильный многогранник
• Усеченный икосаэдр

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые равномерные многогранники x3o5o - ike".
• Хартли, Майкл. "Математические игры доктора Майка для детей".
• K.J.M. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полурегулярных многогранников
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Tulane.edu Обсуждение вирусной структуры и икосаэдра
• Оригами Многогранники - Модели из модульного оригами
• Видео зеркальной скульптуры икосаэдра
• [1] Принцип вирусной архитектуры

Примечательный звёздчатые формы икосаэдра
Обычный	Униформа двойников			Обычные соединения			Обычная звезда	Другие
(Выпуклый) икосаэдр	Малый триамбический икосаэдр	Медиальный триамбический икосаэдр	Большой триамбический икосаэдр	Соединение пяти октаэдров	Соединение пяти тетраэдров	Соединение десяти тетраэдров	Большой икосаэдр	Раскопанный додекаэдр	Конечная звездчатость
Процесс образования звезд на икосаэдре создает ряд связанных многогранники и соединения с икосаэдрическая симметрия.