Список конечных групп сферической симметрии - List of finite spherical symmetry groups

Группы точек в трех измерениях
Группа полиэдров, [n, 3], (* n32)
Инволюционная симметрия C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_NV, (* nn) [n] =	Двугранная симметрия D_нэ, (* n22) [n, 2] =
Тетраэдрическая симметрия Т_d, (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия О_час, (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия я_час, (*532) [5,3] =

Конечные группы сферической симметрии также называют группы точек в трех измерениях. Существует пять фундаментальных классов симметрии, которые имеют треугольные фундаментальные области: двугранный, циклический, четырехгранный, восьмигранный, и икосаэдр симметрия.

В этой статье перечислены группы по Обозначение Шенфлиса, Обозначение Кокстера,^[1] орбифолдная запись,^[2] и заказ. Джон Конвей использует вариант нотации Шенфлиса, основанный на группах ' кватернион алгебраическая структура, обозначенная одной или двумя прописными буквами и целыми индексами. Порядок групп определяется как нижний индекс, если порядок не удваивается для символов с префиксом плюс или минус, "±", что подразумевает центральная инверсия.^[3]

Обозначения Германа – Могена (Международное обозначение) также дается. В кристаллография группы, всего 32, представляют собой подмножество с порядками элементов 2, 3, 4 и 6.^[4]

Инволюционная симметрия

Есть четыре инволюционный группы: нет симметрии (C₁), симметрия отражения (C_s), 2-кратная вращательная симметрия (C₂) и центральный точечная симметрия (C_я).

Intl	Гео ^[5]	Сфера.	Schön.	Против.	Кокс.	Ord.
1	1	11	C₁	C₁	][ [ ]⁺	1
2	2	22	D₁ = C₂	D₂ = C₂	[2]⁺	2
1	22	×	C_я = S₂	CC₂	[2⁺,2⁺]	2
2 = м	1	*	C_s = C_1v = C_{1 час}	± C₁ = CD₂	[ ]	2

Циклическая симметрия

Есть четыре бесконечных циклическая симметрия семьи, с п = 2 или выше. (п может быть 1 как особый случай, поскольку нет симметрии)

Intl	Гео	Сфера.	Schön.	Против.	Кокс.	Ord.	Фонд. домен
4	42	2×	S₄	CC₄	[2⁺,4⁺]	4
2 / м	22	2*	C_2ч = D_1д	± C₂ = ± D₂	[2,2⁺] [2⁺,2]	4

Intl	Гео	Сфера.	Schön.	Против.	Кокс.	Ord.
2 3 4 5 6 п	2 3 4 5 6 п	22 33 44 55 66 nn	C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ C_п	C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ C_п	[2]⁺ [3]⁺ [4]⁺ [5]⁺ [6]⁺ [n]⁺	2 3 4 5 6 п
2мм 3м 4мм 5м 6мм нм (n нечетное) nmm (n четное)	2 3 4 5 6 п	22 33 44 55 66 нн	C_2v C_3в C_4в C_5в C_6v C_NV	CD₄ CD₆ CD₈ CD₁₀ CD₁₂ CD_2n	[2] [3] [4] [5] [6] [n]	4 6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10.2 12.2 2н.2	3× 4× 5× 6× п ×	S₆ S₈ S₁₀ S₁₂ S_2n	± C₃ CC₈ ± C₅ CC₁₂ CC_2n / ± C_п	[2⁺,6⁺] [2⁺,8⁺] [2⁺,10⁺] [2⁺,12⁺] [2⁺, 2н⁺]	6 8 10 12 2n
3 / м =6 4 / м 5 / м =10 6 / м н / м	32 42 52 62 п2	3* 4* 5* 6* п *	C_3ч C_4ч C_5ч C_6ч C_нэ	CC₆ ± C₄ CC₁₀ ± C₆ ± C_п / CC_2n	[2,3⁺] [2,4⁺] [2,5⁺] [2,6⁺] [2, n⁺]	6 8 10 12 2n

Двугранная симметрия

Есть три бесконечных двугранная симметрия семьи, с п = 2 или выше (п может быть 1 как особый случай).

Intl	Гео	Сфера.	Schön.	Против.	Кокс.	Ord.
222	2.2	222	D₂	D₄	[2,2]⁺	4
42м	42	2*2	D_2d	DD₈	[2⁺,4]	8
М-м-м	22	*222	D_2ч	± D₄	[2,2]	8

Intl	Гео	Сфера.	Schön.	Против.	Кокс.	Ord.
32 422 52 622	3.2 4.2 5.2 6.2 п.2	223 224 225 226 22n	D₃ D₄ D₅ D₆ D_п	D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2,3]⁺ [2,4]⁺ [2,5]⁺ [2,6]⁺ [2, n]⁺	6 8 10 12 2n
3м 82м 5м 120,2 м	62 82 10.2 12.2 п2	23 24 25 26 2 * п	D_3D D_4d D_5d D_6d D_nd	± D₆ DD₁₆ ± D₁₀ DD₂₄ DD_4n / ± D_2n	[2⁺,6] [2⁺,8] [2⁺,10] [2⁺,12] [2⁺, 2н]	12 16 20 24 4n
6m2 4 / ммм 10m2 6 / ммм	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 * 22n	D_3ч D_4ч D_5ч D_6ч D_нэ	DD₁₂ ± D₈ DD₂₀ ± D₁₂ ± D_2n / ДД_4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2, n]	12 16 20 24 4n

Полиэдральная симметрия

Есть три типа многогранная симметрия: тетраэдрическая симметрия, октаэдрическая симметрия, и икосаэдрическая симметрия, названный в честь треугольника правильные многогранники с этими симметриями.

Тетраэдрическая симметрия
Intl	Гео	Сфера.	Schön.	Против.	Кокс.	Ord.
23	3.3	332	Т	Т	[3,3]⁺ = [4,3⁺]⁺	12
м3	43	3*2	Т_час	± Т	[4,3⁺]	24
43м	33	*332	Т_d	К	[3,3] = [1⁺,4,3]	24

Октаэдрическая симметрия
Intl	Гео	Сфера.	Schön.	Против.	Кокс.	Ord.	Фонд. домен
432	4.3	432	О	О	[4,3]⁺ = [[3,3]]⁺	24
м3м	43	*432	О_час	± O	[4,3] = [[3,3]]	48

Икосаэдрическая симметрия
Intl	Гео	Сфера.	Schön.	Против.	Кокс.	Ord.	Фонд. домен
532	5.3	532	я	я	[5,3]⁺	60
532 / м	53	*532	я_час	± я	[5,3]	120

Смотрите также

Примечания

^ Джонсон, 2015
^ Конвей, 2008
^ Конвей, 2003
^ Пески, 1993
^ Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре, Д. Хестенес и Дж. Холт, Журнал математической физики. 48, 023514 (2007) (22 стр.) PDF [1]

внешняя ссылка

[1] Джонсон, 2015

[2] Конвей, 2008

[3] Конвей, 2003

[4] Пески, 1993

[5] Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре, Д. Хестенес и Дж. Холт, Журнал математической физики. 48, 023514 (2007) (22 стр.) PDF [1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]