Малый звездчатый додекаэдр - Small stellated dodecahedron

Малый звездчатый додекаэдр
Тип	Многогранник Кеплера – Пуансо
Звездчатость основной	правильный додекаэдр
Элементы	F = 12, E = 30 V = 12 (χ = -6)
Лица по сторонам	12 5
Символ Шлефли	{​5⁄2,5}
Конфигурация лица	V (55)/2
Символ Wythoff	5 | 2 ​5⁄2
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	ячас, H3, [5,3], (*532)
Рекомендации	U34, C43, W20
Характеристики	Обычный невыпуклый
(​5⁄2)5 (Фигура вершины )	Большой додекаэдр (двойственный многогранник )

3D-модель небольшого звездчатого додекаэдра

В геометрия, то малый звездчатый додекаэдр это Многогранник Кеплера-Пуансо, названный Артур Кэли, и с Символ Шлефли {​⁵⁄₂, 5}. Это один из четырех невыпуклый правильные многогранники. Он состоит из 12 пентаграмматический лица, с пятью пентаграммами, встречающимися в каждой вершине.

Он разделяет то же самое расположение вершин как выпуклый регулярный икосаэдр. Он также разделяет то же самое расположение кромок с большой икосаэдр, с которой он образует вырожденная однородная составная фигура.

Это вторая из четырех звёздчатых звезд додекаэдра (включая сам исходный додекаэдр).

Малый звездчатый додекаэдр может быть построен аналогично пентаграмме, ее двумерному аналогу, путем продолжения ребер (1-граней) многогранника ядра до точки, в которой они пересекаются.

Топология

Если пентаграмматический грани рассматриваются как 5 треугольных граней, они имеют ту же топологию поверхности, что и пентакид додекаэдр, но намного выше равнобедренный треугольные грани, при этом высота пятиугольных пирамид отрегулирована так, чтобы пять треугольников в пентаграмме стали копланарными. Критический угол составляет атан (2) над гранью додекаэдра.

Если мы рассматриваем его как имеющий 12 пентаграмм в виде граней, причем эти пентаграммы встречаются на 30 ребрах и 12 вершинах, мы можем вычислить его род с помощью Формула Эйлера

${ Displaystyle V-E + F = 2-2g}$

и заключаем, что малый звездчатый додекаэдр имеет род 4. Это наблюдение, сделанное Луи Пуансо, сначала сбивало с толку, но Феликс Кляйн показал в 1877 году, что небольшой звездчатый додекаэдр можно рассматривать как разветвленное покрытие из Сфера Римана по Риманова поверхность рода 4, с точки разветвления в центре каждой пентаграммы. Фактически эта риманова поверхность, названная Кривая Принесения, имеет наибольшее число симметрий среди всех римановых поверхностей рода 4: симметричная группа ${ displaystyle S_ {5}}$ действует как автоморфизм^[1]

Изображений

Прозрачная модель	Модели ручной работы
(Смотрите также: анимированный )
Сферическая черепица	Звездчатость	Сеть
Этот многогранник также представляет собой сферическую плитку с плотностью 3. (Одна сферическая грань пентаграммы, обведенная синим цветом, залита желтым)	Он также может быть построен как первый из трех звездчатые из додекаэдр, и упоминается как Модель Веннингера [W20].	× 12 Маленькие звездчатые додекаэдры могут быть построены из бумаги или картона, соединив вместе 12 пятиугольных равнобедренных пирамид так же, как пятиугольники в правильном додекаэдре. Непрозрачный материал визуально представляет внешнюю часть каждой пентаграммической грани.

В искусстве

Напольная мозаика Паоло Уччелло, 1430 г.

Небольшой звездчатый додекаэдр можно увидеть в полу мозаика в Базилика Святого Марка, Венеция к Паоло Уччелло около 1430 г.^[2] Такая же форма является центральной для двух литографии к М. К. Эшер: Контраст (порядок и хаос) (1950) и Гравитация (1952).^[3]

Связанные многогранники

Анимированная последовательность усечения из {⁵⁄₂, 5} на {5,⁵⁄₂}

Его выпуклая оболочка - это правильная выпуклая икосаэдр. Он также имеет общие края с большой икосаэдр; соединение с обоими является большой сложный икосододекаэдр.

Есть четыре связанных однородных многогранника, построенных как степени усечения. Дуал - это большой додекаэдр. В додекадодекаэдр - исправление, при котором ребра обрезаются до точек.

В усеченный малый звездчатый додекаэдр можно считать вырожденный однородный многогранник так как ребра и вершины совпадают, но он включен для полноты картины. Визуально это выглядит как правильный додекаэдр на поверхности, но имеет 24 грани в перекрывающихся парах. Шипы обрезаются до тех пор, пока не достигнут плоскости пентаграммы под ними. 24 лица - 12 пятиугольники из усеченных вершин и 12 декагонов, принимающих форму двухскрученных пятиугольников, перекрывающих первые 12 пятиугольников. Последние грани образованы путем усечения исходных пентаграмм. Когда {^п⁄_d} -gon усекается, он становится {^2п⁄_d} -угольник. Например, усеченный пятиугольник {⁵⁄₁} становится десятиугольником {¹⁰⁄₁}, поэтому усечение пентаграммы {⁵⁄₂} становится двояким пятиугольником {¹⁰⁄₂} (общий множитель между 10 и 2 означает, что мы дважды посещаем каждую вершину, чтобы завершить многоугольник).

Звёздчатые формы додекаэдра
Платоново твердое тело	Тела Кеплера – Пуансо
Додекаэдр	Малый звездчатый додекаэдр	Большой додекаэдр	Большой звездчатый додекаэдр

Имя	Малый звездчатый додекаэдр	Усеченный малый звездчатый додекаэдр	Додекадодекаэдр	Усеченный здорово додекаэдр	Большой додекаэдр
Кокстер-Дынкин диаграмма
Рисунок

Смотрите также

• Соединение малого звездчатого додекаэдра и большого додекаэдра

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9.
• Вебер, Матиас (2005), «Малый звездчатый додекаэдр Кеплера как риманова поверхность», Pacific J. Math., 220: 167–182, Дои:10.2140 / pjm.2005.220.167

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн, Малый звездчатый додекаэдр (Равномерный многогранник ) в MathWorld.