Разветвленное покрытие - Википедия - Branched covering

В математика, а разветвленное покрытие карта, которая почти карта покрытия, кроме небольшого набора.

В топологии

В топологии карта - это разветвленное покрытие если это покрывающая карта везде, кроме нигде плотный набор известный как набор ветвей. Примеры включают карту из клин кругов в один круг, где карта гомеоморфизм на каждом круге.

В алгебраической геометрии

В алгебраическая геометрия, период, термин разветвленное покрытие используется для описания морфизмы из алгебраическое многообразие к другому , два размеры то же самое, и типичное волокно размерности 0.

В этом случае будет открытый набор из (для Топология Зарисского ) то есть плотный в , так что ограничение к (из к , то есть) является неразветвленный.[требуется разъяснение ] В зависимости от контекста мы можем принять это как локальный гомеоморфизм для сильная топология, над сложные числа, или как этальный морфизм в целом (при некоторых более сильных гипотезах на плоскостность и отделимость ). В общем, то такой морфизм напоминает покрывающее пространство в топологическом смысле. Например, если и оба Римановы поверхности, нам требуется только это голоморфна и непостоянна, и тогда существует конечное множество точек из , за пределами которого мы действительно находим честное покрытие

.

Локус ветвления

Множество исключительных точек на называется место ветвления (т.е. это дополнение к максимально возможному открытому множеству ). В целом монодромия происходит в соответствии с фундаментальная группа из действуя на листы покрытия (эту топологическую картину можно уточнить и в случае общего базового поля).

Куммер расширения

Разветвленные покрытия легко построить как Куммер расширения, т.е. как алгебраическое расширение из функциональное поле. В гиперэллиптические кривые являются прототипными примерами.

Неразветвленное покрытие

An неразветвленное покрытие тогда возникает пустой локус ветвления.

Примеры

Эллиптическая кривая

Морфизмы кривых дают множество примеров разветвленных покрытий. Например, пусть C быть эллиптическая кривая уравнения

Проекция C на Икс-axis - разветвленное покрытие с локусом ветвления, заданным

Это потому, что для этих трех значений Икс волокно - двойная точка в то время как для любого другого значения Икс, слой состоит из двух различных точек (над алгебраически замкнутое поле ).

Эта проекция вызывает алгебраическое расширение второй степени функциональные поля: Кроме того, если мы возьмем поля дробей лежащих в основе коммутативных колец, мы получим морфизм

Следовательно, эта проекция является разветвленным накрытием степени 2. Это можно усреднить, чтобы построить разветвленное покрытие степени 2 соответствующей проективной эллиптической кривой на проективную прямую.

Плоская алгебраическая кривая

Предыдущий пример можно обобщить на любой алгебраическая плоская кривая следующим образом. C - плоская кривая, определяемая уравнением ж(Икс,у) = 0, куда ж это отделяемый и несводимый многочлен от двух неопределенностей. Если п степень ж в у, то волокно состоит из п различных точек, за исключением конечного числа значений Икс. Таким образом, эта проекция представляет собой разветвленное покрытие степени п.

Исключительные ценности Икс являются корнями коэффициента при в ж, и корни дискриминант из ж относительно у.

Над корнем р дискриминанта существует хотя бы разветвленная точка, которая является либо критическая точка или особая точка. Если р также является корнем коэффициента при в ж, то эта разветвленная точка "в бесконечности ".

Над корнем s коэффициента в ж, Кривая C имеет бесконечную ветвь, а слой в точке s имеет меньше чем п точки. Однако если распространить проекцию на проективные доработки из C и Икс-ось, а если s не является корнем дискриминанта, проекция становится покрытием над окрестностью s.

Тот факт, что эта проекция является разветвленным покрытием степени п также можно увидеть, рассматривая функциональные поля. Фактически эта проекция соответствует расширение поля степени п

Различные ответвления

Мы также можем обобщить разветвленные покрытия линии с разной степенью ветвления. Рассмотрим многочлен вида

как мы выбираем разные точки , волокна, заданные множеством исчезающих отличаться. В любой точке, где кратность одного из линейных членов факторизации увеличивается на единицу, происходит разветвление.

Схематические теоретические примеры

Эллиптические кривые

Морфизмы кривых дают множество примеров разветвленных покрытий схем. Например, морфизм аффинной эллиптической кривой на прямую

представляет собой разветвленную оболочку с локусом ветвления, заданным

Это потому, что в любой момент в волокно это схема

Кроме того, если мы возьмем поля дробей лежащих в основе коммутативных колец, мы получим гомоморфизм поля

который является алгебраическое расширение степени два, поэтому мы получили разветвленное накрытие эллиптической кривой на аффинную прямую степени 2. Это можно усреднить, чтобы построить морфизм проективной эллиптической кривой в .

Гиперэллиптическая кривая

А гиперэллиптическая кривая обеспечивает обобщение указанной степени покрытие аффинной прямой, учитывая аффинную схему, определенную над полиномом вида

куда за

Покрытия аффинной прямой высших степеней

Мы можем обобщить предыдущий пример, взяв морфизм

куда не имеет повторяющихся корней. Тогда локус ветвления определяется как

где волокна задаются формулой

Тогда мы получаем индуцированный морфизм полей дробей

Существует -модульный изоморфизм мишени с

Следовательно, покрытие имеет степень .

Суперэллиптические кривые

Суперэллиптические кривые являются обобщением гиперэллиптических кривых и специализацией предыдущего семейства примеров, так как они задаются аффинными схемами от многочленов вида

куда и не имеет повторяющихся корней.

Разветвленные накрытия проективного пространства.

Другой полезный класс примеров - разветвленные накрытия проективного пространства. Для однородного многочлена мы можем построить разветвленное покрытие с локусом ветвления

рассматривая морфизм проективных схем

Опять же, это будет покрытие степени .

Приложения

Разветвленные покрытия приходят с группой симметрии преобразований . Поскольку группа симметрии имеет стабилизаторы в точках локуса ветвления, разветвленные накрытия можно использовать для построения примеров орбифолдов или Стеки Делиня-Мамфорда.

Смотрите также

Рекомендации

  • Димка, Александру (1992), Особенности и топология гиперповерхностей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97709-6
  • Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157, OCLC  13348052
  • Оссерман, Брайан, Разветвленные покровы римановой сферы (PDF)