E8 (математика) - E8 (mathematics)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный г2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Показатель Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, E₈ является одним из нескольких тесно связанных исключительные простые группы Ли, линейный алгебраические группы или алгебры Ли измерение 248; такие же обозначения используются для соответствующих корневая решетка, который имеет ранг 8. Обозначение E₈ исходит из Классификация Картана – Киллинга комплекса простые алгебры Ли, которые распадаются на четыре бесконечные серии, обозначенные A_п, B_п, С_п, D_п, и пять исключительных случаев маркированный E₆, E₇, E₈, F₄, и г₂. E₈ алгебра - самый большой и сложный из этих исключительных случаев.

Основное описание

В Группа Ли E₈ имеет размер 248. Его ранг, который является размером его максимальный тор, составляет восемь (8).

Следовательно, векторы корневой системы являются восьмимерными. Евклидово пространство: они подробно описаны ниже в этой статье. В Группа Вейля из E₈, какой группа симметрий максимального тора, индуцированные спряжения во всей группе имеет порядок 2¹⁴ 3⁵ 5² 7 = 696729600.

Компактная группа E₈ среди простых компактных групп Ли уникальна тем, что ее не-банальный представление наименьшего измерения - это присоединенное представительство (размерности 248) действующее на алгебру Ли E₈ сам; он также является уникальным, обладающим следующими четырьмя свойствами: тривиальный центр, компактность, односвязность и просто шнуровка (все корни имеют одинаковую длину).

Есть алгебра Ли E_k для каждого целого числа k ≥ 3. Наибольшее значение k для которого E_k конечномерно k= 8, то есть E_k бесконечномерна для любого k > 8.

Реальные и сложные формы

Существует единственная комплексная алгебра Ли типа E₈, соответствующая комплексной группе комплексной размерности 248. Комплексная группа Ли E₈ из сложное измерение 248 можно рассматривать как простую действительную группу Ли действительной размерности 496. Она односвязна, имеет максимальную компактный подгруппу компактную форму (см. ниже) группы E₈, и имеет группу внешних автоморфизмов порядка 2, порожденную комплексным сопряжением.

Как и комплексная группа Ли типа E₈, существуют три действительные формы алгебры Ли, три действительные формы группы с тривиальным центром (две из которых имеют неалгебраические двойные покрытия, что дает две другие действительные формы), все действительной размерности 248, а именно:

• Компактная форма (которая обычно подразумевается, если не указана другая информация), которая является односвязной и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.
• Разделенная форма, EVIII (или E₈₍₈₎), имеющую максимальную компактную подгруппу Spin (16) / (Z/2Z) фундаментальной группы порядка 2 (что означает, что она имеет двойная крышка, которая является односвязной действительной группой Ли, но не является алгебраической, см. ниже ) и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.
• EIX (или E₈₍₋₂₄₎), имеющая максимальную компактную подгруппу E₇× SU (2) / (- 1, −1), фундаментальная группа порядка 2 (снова подразумевает двойное покрытие, которое не является алгебраическим) и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.

Полный список действительных форм простых алгебр Ли см. список простых групп Ли.

E₈ как алгебраическая группа

С помощью Основа Шевалле для алгебры Ли можно определить E₈ как линейная алгебраическая группа над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемую расщепленную (иногда также известную как «раскрученную») форму E₈. Над алгебраически замкнутым полем это единственная форма; однако, помимо других областей, часто существует множество других форм или «поворотов» E₈, которые классифицируются в общих рамках Когомологии Галуа (через идеальное поле k) множеством H¹(k, Aut (E₈)) который, поскольку диаграмма Дынкина E₈ (увидеть ниже ) не имеет автоморфизмов, совпадает с H¹(k, E₈).^[1]

Над р, вещественная связная компонента единицы этих алгебраически скрученных форм E₈ совпадают с тремя упомянутыми действительными группами Ли над, но с тонкостью, касающейся основной группы: все формы E₈ односвязны в смысле алгебраической геометрии, что означает, что они не допускают нетривиальных алгебраических покрытий; некомпактные и односвязные вещественные групповые формы Ли E₈ поэтому не алгебраичны и не допускают точных конечномерных представлений.

Над конечными полями Теорема Лэнга – Стейнберга. следует, что H¹(k, E₈) = 0, что означает, что E₈ не имеет закрученных форм: см. ниже.

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются Формула характера Вейля. Размерности наименьших неприводимых представлений равны (последовательность A121732 в OEIS ):

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 3420465000, 228606000, 228606000, 215168000, 228485000, 219606000, 218606000 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (дважды), 12692520960…

248-мерное представление - это присоединенное представительство. Существует два неизоморфных неприводимых представления размерности 8634368000 (оно не уникально; однако следующее целое число с этим свойством - 175898504162692612600853299200000 (последовательность A181746 в OEIS )). В фундаментальные представления это те, с размерами 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 и 147250 (соответствуют восьми узлам в Диаграмма Дынкина в порядке, выбранном для Матрица Картана ниже, т. е. сначала считываются узлы в цепочке из семи узлов, причем последний узел подключается к третьему).

Коэффициенты формул характеров бесконечномерных неприводимых представления из E₈ зависят от некоторых больших квадратных матриц, состоящих из многочленов, Полиномы Люстига – Фогана, аналог Полиномы Каждана – Люстига. введен для редуктивные группы в целом Джордж Люстиг и Давид Каждан (1983). Значения в 1 полиномов Люстига – Вогана дают коэффициенты матриц, связывающих стандартные представления (характеры которых легко описываются) с неприводимыми представлениями.

Эти матрицы были рассчитаны после четырех лет сотрудничества группа из 18 математиков и компьютерщиков во главе с Джеффри Адамс, при этом большая часть программирования выполняется Фокко дю Клу. Самый сложный случай (для исключительных групп) - это расщепление реальная форма из E₈ (см. выше), где самая большая матрица имеет размер 453060 × 453060. Многочлены Люстига – Фогана для всех других исключительных простых групп были известны некоторое время; расчет для раздельной формы E₈ намного дольше, чем в любом другом случае. Объявление результата в марте 2007 г. привлекло чрезвычайное внимание средств массовой информации (см. Внешние ссылки), к удивлению математиков, работавших над этим.

Представления E₈ группы над конечными полями задаются Теория Делиня – Люстига.

Конструкции

Можно построить (компактную форму) E₈ группа как группа автоморфизмов соответствующих е₈ Алгебра Ли. Эта алгебра имеет 120-мерную подалгебру так(16) порожденная J_ij а также 128 новых генераторов Q_а которые трансформируются как Спинор Вейля – Майораны из вращение(16). Эти утверждения определяют коммутаторы

${ displaystyle left [J_ {ij}, J_ {k ell} right] = delta _ {jk} J_ {i ell} - delta _ {j ell} J_ {ik} - delta _ {ik} J_ {j ell} + delta _ {i ell} J_ {jk}}$

а также

${ displaystyle left [J_ {ij}, Q_ {a} right] = { frac {1} {4}} left ( gamma _ {i} gamma _ {j} - gamma _ {j } gamma _ {i} right) _ {ab} Q_ {b},}$

а остальные коммутаторы (не антикоммутаторы!) между спинорными генераторами определяются как

${ displaystyle left [Q_ {a}, Q_ {b} right] = gamma _ {ac} ^ {[i} gamma _ {cb} ^ {j]} J_ {ij}.}$

Затем можно проверить, что Личность Якоби доволен.

Геометрия

Компактная вещественная форма E₈ это группа изометрии 128-мерного исключительного компакта Риманово симметрическое пространство EVIII (у Картана классификация ). Он неофициально известен как "октооктонионная проективная плоскость "потому что его можно построить с помощью алгебры, которая является тензорным произведением октонионы с собой, и также известен как Проективная плоскость Розенфельда, хотя и не подчиняется обычным аксиомам проективной плоскости. Систематически это можно увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат, из-за Ганс Фройденталь и Жак Титс (Ландсберг и Манивель 2001 ).

E₈ корневая система

Zome модель E₈ корневая система, спроецированная в трехмерное пространство и представленная вершинами 4₂₁ многогранник,

Показано в трехмерной проекции с использованием базисных векторов [u, v, w], задающих симметрию H3:

• u = (1, φ, 0, −1, φ, 0,0,0)
• v = (φ, 0, 1, φ, 0, −1,0,0)
• w = (0, 1, φ, 0, −1, φ,0,0)

Прогнозируемый 4₂₁ многогранник вершины сортируются и подсчитываются по их трехмерным нормам, создавая все более прозрачные оболочки каждого набора установленных норм. Эти шоу:

1. 4 точки в начале координат
2. 2 икосаэдра
3. 2 додекаэдра
4. 4 икосаэдра
5. 1 икосадодекаэдр
6. 2 додекаэдра
7. 2 икосаэдра
8. 1 икосадодекаэдр

всего 240 вершин. Это, конечно, 2 концентрических набора оболочек из H4-симметрии 600 ячеек в масштабе золотого сечения.^[2]

А корневая система ранга р особая конечная конфигурация векторов, называемая корни, которые охватывают р-размерный Евклидово пространство и удовлетворяют определенным геометрическим свойствам. В частности, корневая система должна быть инвариантной относительно отражение через гиперплоскость, перпендикулярную любому корню.

В E₈ корневая система корневая система ранга 8, содержащая 240 корневых векторов, охватывающих р⁸. это несводимый в том смысле, что он не может быть построен из корневых систем меньшего ранга. Все корневые векторы в E₈ иметь одинаковую длину. Для ряда целей их удобно нормализовать до длины √2. Эти 240 векторов являются вершинами полурегулярный многогранник обнаружен Торольд Госсет в 1900 году, иногда известный как 4₂₁ многогранник.

строительство

В так называемом четная система координат, E₈ задается как набор всех векторов в р⁸ с квадратом длины, равным 2, так что координаты либо все целые числа или все полуцелые числа а сумма координат четная.

Явно существует 112 корней с целыми элементами, полученными из

${ Displaystyle влево ( pm 1, pm 1,0,0,0,0,0,0 право) ,}$

взяв произвольную комбинацию знаков и произвольный перестановка координат и 128 корней с полуцелыми элементами, полученными из

${ displaystyle left ( pm { tfrac {1} {2}}, pm { tfrac {1} {2}}, pm { tfrac {1} {2}}, pm { tfrac {1} {2}}, pm { tfrac {1} {2}}, pm { tfrac {1} {2}}, pm { tfrac {1} {2}}, pm { tfrac {1} {2}} right) ,}$

взяв четное число знаков минус (или, что то же самое, требуя, чтобы сумма всех восьми координат была четной). Всего 240 корней.

E8 2d проекция с резьбой, сделанной вручную

112 корней с целыми элементами образуют D₈ корневая система. E₈ корневая система также содержит копию A₈ (имеющий 72 корня), а также E₆ и E₇ (на самом деле последние два обычно определены как подмножества E₈).

в нечетная система координат, E₈ дается путем извлечения корней в четной системе координат и изменения знака любой координаты. Корни с целыми записями такие же, в то время как корни с полуцелыми записями имеют нечетное количество знаков минус, а не четное число.

Диаграмма Дынкина

В Диаграмма Дынкина для E₈ дан кем-то .

Эта диаграмма дает краткое визуальное описание корневой структуры. Каждый узел этой диаграммы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, указывает на то, что они расположены под углом 120 ° друг к другу. Два простых корня, не соединенных линией, - это ортогональный.

Матрица Картана

В Матрица Картана ранга р корневая система - это г × г матрица элементы которого происходят от простых корней. В частности, элементы матрицы Картана задаются

${ Displaystyle A_ {ij} = 2 { frac { left ( alpha _ {i}, alpha _ {j} right)} { left ( alpha _ {i}, alpha _ {i} правильно)}}}$

где ( , ) евклидово внутренний продукт и α_я простые корни. Записи не зависят от выбора простых корней (с точностью до упорядочения).

Матрица Картана для E₈ дан кем-то

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 - 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 end {smallmatrix}} right].}$

В детерминант этой матрицы равна 1.

Простые корни

Диаграмма Хассе E8 корневой посет с краевыми метками, определяющими добавленную простую корневую позицию.

Набор простые корни для корневой системы Φ - это набор корней, образующих основа для евклидова пространства, натянутого на Φ со специальным свойством, что каждый корень имеет компоненты относительно этого базиса, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны.

Учитывая E₈ Матрица Картана (выше) и Диаграмма Дынкина порядок узлов:

Один выбор простые корни задается строками следующей матрицы:

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 {0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 {0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 {0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 } & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 end {smallmatrix}} right ].}$

Группа Вейля

В Группа Вейля из E₈ имеет порядок 696729600, и может быть описан как O⁺
₈(2): имеет вид 2.г.2 (то есть удлинение штока циклической группой порядка 2 расширения циклической группы порядка 2 группой г) где г уникальный простая группа порядка 174182400 (который можно описать как PSΩ₈⁺(2)).^[3]

E₈ корневая решетка

Целая оболочка E₈ корневая система образует решетка в р⁸ естественно назвал E₈ корневая решетка. Эта решетка весьма примечательна тем, что она единственная (нетривиальная) четная, унимодулярная решетка с рангом ниже 16.

Простые подалгебры в E₈

Неполное простое дерево подгрупп группы E₈

Алгебра Ли E8 содержит в качестве подалгебр все исключительные алгебры Ли а также многие другие важные алгебры Ли в математике и физике. Высота алгебры Ли на диаграмме приблизительно соответствует рангу алгебры. Линия от алгебры до нижней алгебры указывает, что нижняя алгебра является подалгеброй высшей алгебры.

Группы Шевалле типа E₈

Шевалле (1955) показал, что точки (расщепленной) алгебраической группы E₈ (увидеть над ) через конечное поле с участием q элементы образуют конечный Группа Шевалле, обычно пишется E₈(q), что просто для любого q,^[4][5] и составляет одно из бесконечных семейств, адресованных классификация конечных простых групп. Его количество элементов определяется формулой (последовательность A008868 в OEIS ):

${ displaystyle q ^ {120} left (q ^ {30} -1 right) left (q ^ {24} -1 right) left (q ^ {20} -1 right) left ( q ^ {18} -1 right) left (q ^ {14} -1 right) left (q ^ {12} -1 right) left (q ^ {8} -1 right) влево (д ^ {2} -1 вправо)}$

Первый член этой последовательности, порядок E₈(2), а именно 337804753143634806261388190614085595079991692242467651576160959909068800000 ≈ 3.38×10⁷⁴, уже больше, чем размер Группа монстров. Эта группа E₈(2) является последним описанным (но без таблицы символов) в Атлас конечных групп.^[6]

В Множитель Шура из E₈(q) тривиален, а его группа внешних автоморфизмов - это группа полевых автоморфизмов (т. е. циклических ж если q=п^ж где п простое).

Люстиг (1979) описал унипотентные представления конечных групп типа E₈.

Подгруппы

Небольшие исключительные группы E₇ и E₆ сидеть внутри E₈. В компактной группе E₇× SU (2) / (- 1, −1) и E₆× СУ (3) / (Z/3Z) находятся максимальные подгруппы из E₈.

248-мерное присоединенное представление E₈ можно рассматривать с точки зрения ограниченное представительство к первой из этих подгрупп. Преобразуется под действием E₇× SU (2) в виде суммы представления тензорного произведения, который может быть обозначен как пара измерений как (3,1) + (1,133) + (2,56) (поскольку в произведении есть частное, эти обозначения могут строго рассматриваться как указывающие на бесконечно малые (алгебра Ли) представления). Поскольку присоединенное представление можно описать корнями вместе с образующими в Подалгебра Картана, мы можем увидеть это разложение, посмотрев на них. В этом описании

• (3,1) состоит из корней (0,0,0,0,0,0,1, −1), (0,0,0,0,0,0, −1,1) и генератора Картана соответствующий последнему измерению;
• (1,133) состоит из всех корней с (1,1), (−1, −1), (0,0), (-¹⁄₂,−​¹⁄₂) или (¹⁄₂,​¹⁄₂) в последних двух измерениях вместе с генераторами Картана, соответствующими первым семи измерениям;
• (2,56) состоит из всех корней с перестановками из (1,0), (−1,0) или (¹⁄₂,−​¹⁄₂) в двух последних измерениях.

248-мерное присоединенное представление E₈при аналогичных ограничениях преобразуется при E₆× SU (3) как: (8,1) + (1,78) + (3,27) + (3,27). Мы можем снова увидеть разложение, посмотрев на корни вместе с образующими в подалгебре Картана. В этом описании

• (8,1) состоит из корней с перестановками (1, −1,0) в последних трех измерениях вместе с генератором Картана, соответствующим последним двум измерениям;
• (1,78) состоит из всех корней с (0,0,0), (-¹⁄₂,−​¹⁄₂,−​¹⁄₂) или (¹⁄₂,​¹⁄₂,​¹⁄₂) в последних трех измерениях вместе с генераторами Картана, соответствующими первым шести измерениям;
• (3,27) состоит из всех корней с перестановками из (1,0,0), (1,1,0) или (-¹⁄₂,​¹⁄₂,​¹⁄₂) в последних трех измерениях.
• (3,27) состоит из всех корней с перестановками (−1,0,0), (−1, −1,0) или (¹⁄₂,−​¹⁄₂,−​¹⁄₂) в последних трех измерениях.

Конечные квазипростые группы, которые могут быть вложены в (компактную форму) E₈ были найдены Грисс и Рыба (1999).

В Группа Демпвольф является подгруппой (компактной формы) E₈. Он содержится в Спорадическая группа Томпсона, действующий на основное векторное пространство группы Ли E₈ но не сохраняет скобку Ли. Группа Томпсона фиксирует решетку и сохраняет скобку Ли этой решетки по модулю 3, давая вложение группы Томпсона в E₈(F₃).

Приложения

E₈ Группа Ли имеет приложения в теоретическая физика и особенно в теория струн и супергравитация. E₈× E₈ это группа датчиков одного из двух типов гетеротическая струна и один из двух без аномалий калибровочные группы, которые могут быть связаны с N = 1 супергравитация в десяти измерениях. E₈ это U-дуальность группа супергравитации на восьмеричном торе (в расщепленном виде).

Один из способов включить стандартная модель физики элементарных частиц в гетеротическую теорию струн. нарушение симметрии из E₈ в свою максимальную подалгебру SU (3) × E₆.

В 1982 г. Майкл Фридман использовал E₈ решетка построить пример топологический 4-х коллекторный, то E₈ многообразие, который не имеет гладкая структура.

Энтони Гарретт Лиси неполный "Исключительно простая теория всего "попытки описать все известные фундаментальные взаимодействия по физике в рамках E₈ Алгебра Ли.^[7][8]

Р. Колдеа, Д. А. Теннант и Э. М. Уиллер и др. (2010 ) сообщил об эксперименте, в котором электронные спины из кобальт -ниобий кристалл демонстрировал при определенных условиях два из восьми пиков, связанных с E₈ которые были предсказаны Замолодчиков (1989).^[9][10]

История

Вильгельм Киллинг  (1888a, 1888b, 1889, 1890 ) открыл комплексную алгебру Ли E₈ во время его классификации простых компактных алгебр Ли, хотя он не доказал ее существование, что было впервые показано Эли Картан. Картан определил, что сложная простая алгебра Ли типа E₈ допускает три реальные формы. Каждый из них порождает простой Группа Ли размерности 248, ровно одна из которых (как и для любой сложной простой алгебры Ли) компактный. Шевалле (1955) представил алгебраические группы и алгебры Ли типа E₈ над другими поля: например, в случае конечные поля они приводят к бесконечной семье конечные простые группы типа Ли.

Смотрите также

• E_п

Заметки

использованная литература

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции об исключительных группах Ли, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, ISBN  978-0-226-00526-3, Г-Н  1428422
• Баэз, Джон С. (2002), "Октонионы", Бюллетень Американского математического общества (Н.С.), 39 (2): 145–205, arXiv:математика / 0105155, Дои:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X, Г-Н  1886087
• Шевалле, Клод (1955), "Сур определенные группы простые", Математический журнал Тохоку, Вторая серия, 7: 14–66, Дои:10.2748 / tmj / 1178245104, ISSN  0040-8735, Г-Н  0073602
• Coldea, R .; Теннант, Д. А .; Уиллер, Э. М .; Wawrzynska, E .; Prabhakaran, D .; Говоря, М .; Habicht, K .; Smeibidl, P .; Кифер, К. (2010), "Квантовая критичность в цепи Изинга: экспериментальные доказательства появления E₈ Симметрия », Наука, 327 (5962): 177–180, arXiv:1103.3694, Bibcode:2010Sci ... 327..177C, Дои:10.1126 / science.1180085
• Гарибальди, Скип (2016), "E₈, самая исключительная группа », Бюллетень Американского математического общества, 53: 643–671, arXiv:1605.01721, Дои:10.1090 / бык / 1540
• Грисс, Роберт Л .; Рыба, А. Дж. Э. (1999), «Конечные простые группы, которые проективно вкладываются в исключительную группу Ли, классифицированы!», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 36 (1): 75–93, Дои:10.1090 / S0273-0979-99-00771-5, Г-Н  1653177
• Убийство, Вильгельм (1888a), "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen", Mathematische Annalen, 31 (2): 252–290, Дои:10.1007 / BF01211904
• Убийство, Вильгельм (1888b), "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen", Mathematische Annalen, 33 (1): 1–48, Дои:10.1007 / BF01444109
• Убийство, Вильгельм (1889), "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen", Mathematische Annalen, 34 (1): 57–122, Дои:10.1007 / BF01446792, заархивировано из оригинал на 2015-02-21, получено 2013-09-12
• Убийство, Вильгельм (1890), "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen", Mathematische Annalen, 36 (2): 161–189, Дои:10.1007 / BF01207837
• Ландсберг, Джозеф М .; Manivel, Laurent (2001), "Проективная геометрия магического квадрата Фрейденталя", Журнал алгебры, 239 (2): 477–512, arXiv:математика / 9908039, Дои:10.1006 / jabr.2000.8697, Г-Н  1832903
• Люстиг, Джордж (1979), "Унипотентные представления конечной группы Шевалле типа E8", Ежеквартальный журнал математики. Оксфорд. Вторая серия, 30 (3): 315–338, Дои:10.1093 / qmath / 30.3.301, ISSN  0033-5606, Г-Н  0545068
• Люстиг, Джордж; Воган, Дэвид (1983), "Особенности замыканий K-орбит на флаговых многообразиях", Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, 71 (2): 365–379, Bibcode:1983InMat..71..365L, Дои:10.1007 / BF01389103
• Замолодчиков, А.Б. (1989), "Интегралы движения и S-матрица (масштабированной) T = T_c Модель Изинга с магнитным полем », Международный журнал современной физики A, 4 (16): 4235–4248, Bibcode:1989IJMPA ... 4.4235Z, Дои:10.1142 / S0217751X8900176X, Г-Н  1017357

внешние ссылки

Вычисление полиномов Люстига – Фогана

• Атлас групп Ли
• Полиномы Каждана – Люстига – Вогана для E₈
• Описание проекта по вычислению полиномов Каждана – Люстига для E₈
• Американский институт математики (Март 2007 г.), Математики Карта E₈
• В п-Категория кафе, а Техасский университет публикация в блоге Джон Баэз один₈.

Прочие ссылки

• Графическое изображение E₈ корневая система.
• Перечень размеров неприводимые представления сложной формы E₈ это последовательность A121732 в OEIS.