Фундаментальное представление - Fundamental representation

В теория представлений из Группы Ли и Алгебры Ли, а фундаментальное представление является неприводимое конечномерное представление из полупростой Группа Ли или алгебра Ли, самый высокий вес это основной вес. Например, определяющий модуль классическая группа Ли фундаментальное представление. Любое конечномерное неприводимое представление полупростой группы Ли или алгебры Ли может быть построено из фундаментальных представлений с помощью процедуры, соответствующей Эли Картан. Таким образом, в определенном смысле фундаментальные представления являются элементарными строительными блоками для произвольных конечномерных представлений.

Примеры

• В случае общая линейная группа, все фундаментальные представления внешние силы определяющего модуля.
• В случае особой унитарной группы SU (п), то п - 1 фундаментальным представлением являются изделия клина ${ displaystyle operatorname {Alt} ^ {k} { mathbb {C}} ^ {n}}$ состоящий из переменные тензоры, для k = 1, 2, ..., п − 1.
• В представление вращения двойной обложки нечетного ортогональная группа, странный группа вращения, и два полусиновых представления двумерного покрытия четной ортогональной группы, четной спинорной группы, являются фундаментальными представлениями, которые не могут быть реализованы в пространстве тензоров.
• В присоединенное представительство простой группы Ли типа E₈ фундаментальное представление.

Объяснение

В неприводимые представления из односвязный компактный Группа Ли индексируются по наивысшему веса. Эти веса являются узлами решетки в ортанте. Q₊ в весовая решетка группы Ли, состоящей из доминантных целочисленных весов. Можно доказать, что существует набор основные веса, проиндексированных вершинами Диаграмма Дынкина, такая, что любой доминирующий целочисленный вес является неотрицательной целочисленной линейной комбинацией основных весов.^[1] Соответствующие неприводимые представления - это фундаментальные представления группы Ли. Из разложения доминирующего веса в терминах фундаментальных весов можно взять соответствующее тензорное произведение фундаментальных представлений и извлечь одну копию неприводимого представления, соответствующего этому доминирующему весу.^[2]

Другое использование

Вне теории Ли термин фундаментальное представление иногда вольно используется для обозначения точного представления наименьшего измерения, хотя его также часто называют стандарт или определение представление (термин, относящийся скорее к истории, чем имеющий четко определенное математическое значение).

использованная литература

• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. Г-Н  1153249. OCLC  246650103.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-40122-5.

Конкретный