Диаграмма Дынкина - Dynkin diagram

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

в математический поле Теория лжи, а Диаграмма Дынкина, названный в честь Евгений Дынкин, это тип график с некоторыми ребрами, удвоенными или утроенными (нарисованными двойной или тройной линией). Множественные ребра, в пределах определенных ограничений, направленный.

Конечные диаграммы Дынкина

Аффинные (расширенные) диаграммы Дынкина

Диаграммы Дынкина представляют наибольший интерес как средство классификации полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутые поля. Это порождает Группы Вейля, т.е. многим (но не всем) конечные группы отражений. Диаграммы Дынкина могут возникать и в других контекстах.

Термин «диаграмма Дынкина» может быть неоднозначным. В некоторых случаях диаграммы Дынкина предполагаются направленными, и в этом случае они соответствуют корневые системы и полупростые алгебры Ли, в то время как в других случаях они считаются неориентированными, и в этом случае они соответствуют группам Вейля; в ${ displaystyle B_ {n}}$ и ${ displaystyle C_ {n}}$ направленные диаграммы дают такую ​​же неориентированную диаграмму, соответственно названную ${ displaystyle BC_ {n}.}$ В данной статье «диаграмма Дынкина» означает направленный Диаграмма Дынкина и ненаправленный Диаграммы Дынкина будут прямо названы так.

Классификация полупростых алгебр Ли

Принципиальный интерес к диаграммам Дынкина состоит в том, что они классифицируют полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутые поля. Такие алгебры Ли классифицируются по их корневая система, который можно представить в виде диаграммы Дынкина. Затем диаграммы Дынкина классифицируются в соответствии с ограничениями, которым они должны удовлетворять, как описано ниже.

Падение направления на ребрах графа соответствует замене корневой системы на конечная группа отражений он порождает так называемые Группа Вейля, и, таким образом, неориентированные диаграммы Дынкина классифицируют группы Вейля.

Они имеют следующее соответствие для алгебр Ли, ассоциированных с классическими группами над комплексными числами:

• ${ displaystyle A_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$, то специальная линейная алгебра Ли.
• ${ displaystyle B_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2n + 1}}$, нечетномерная специальная ортогональная алгебра Ли.
• ${ displaystyle C_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {2n}}$, то симплектическая алгебра Ли.
• ${ displaystyle D_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2n}}$, четномерная специальная ортогональная алгебра Ли (${ displaystyle n> 1}$).

Для исключительных групп названия алгебры Ли и ассоциированной диаграммы Дынкина совпадают.

Связанные классификации

Диаграммы Дынкина можно интерпретировать как классификацию множества различных, связанных объектов, и обозначение «A_п, B_п, ... "используется для обозначения все такие интерпретации в зависимости от контекста; эта двусмысленность может сбивать с толку.

Центральная классификация состоит в том, что простая алгебра Ли имеет корневую систему, с которой связана (ориентированная) диаграмма Дынкина; все три из них могут быть обозначены как B_п, например.

В ООНОриентированная диаграмма Дынкина представляет собой форму диаграммы Кокстера и соответствует группе Вейля, которая является конечная группа отражений связаны с корневой системой. Таким образом, B_п может относиться к неориентированной диаграмме (особый вид диаграммы Кокстера), группе Вейля (конкретной группе отражений) или абстрактной группе Кокстера.

Хотя группа Вейля абстрактно изоморфна группе Кокстера, конкретный изоморфизм зависит от упорядоченного выбора простых корней. Помните также, что, хотя обозначения диаграммы Дынкина стандартизированы, диаграмма Кокстера и обозначение групп варьируются и иногда согласуются с обозначениями диаграммы Дынкина, а иногда нет.

Наконец, иногда связанные объекты обозначаются одними и теми же обозначениями, хотя это не всегда может происходить регулярно. Примеры включают:

• В корневая решетка генерируется корневой системой, как в E₈ решетка. Это естественно, но не однозначно - например, A₂ и G₂ оба генерируют шестиугольная решетка.
• Связанный многогранник - например Gosset 4₂₁ многогранник может называться "E₈ многогранник ", так как его вершины происходят из E₈ корневая система и имеет букву E₈ Группа Кокстера как группа симметрии.
• Связанная квадратичная форма или многообразие - например, E₈ многообразие имеет форма пересечения дано E₈ решетка.

Эти последние обозначения в основном используются для объектов, связанных с исключительными диаграммами - объекты, связанные с обычными диаграммами (A, B, C, D), вместо этого имеют традиционные имена.

Индекс (индекс п) равняется количеству узлов на диаграмме, количеству простых корней в базисе, размерности решетки корней и промежутка корневой системы, количеству образующих группы Кокстера и рангу алгебры Ли. Тем не мение, п не равняется размеру определяющего модуля (a фундаментальное представление ) алгебры Ли - индекс на диаграмме Дынкина не следует путать с индексом на алгебре Ли. Например, ${ displaystyle B_ {4}}$ соответствует ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2 cdot 4 + 1} = { mathfrak {so}} _ {9},}$ которая естественным образом действует в 9-мерном пространстве, но имеет ранг 4 как алгебра Ли.

В просто зашнурованный Диаграммы Дынкина без кратных ребер (A, D, E) классифицируют многие другие математические объекты; см. обсуждение на Классификация ADE.

Пример: A2

В ${ displaystyle A_ {2}}$, корневая система.

Например, символ ${ displaystyle A_ {2}}$ может относиться к:

• В Диаграмма Дынкина с 2 подключенными узлами, , который также можно интерпретировать как Диаграмма Кокстера.
• В корневая система с двумя простыми корнями в ${ displaystyle 2 pi / 3}$ (120 градусов) угол.
• В Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2 + 1} = { mathfrak {sl}} _ {3}}$ из классифицировать 2.
• В Группа Вейля симметрий корней (отражений в гиперплоскости, ортогональной корням), изоморфных симметричная группа ${ displaystyle S_ {3}}$ (порядка 6).
• Аннотация Группа Коксетера, представленные образующими и отношениями, ${ displaystyle left langle r_ {1}, r_ {2} mid (r_ {1}) ^ {2} = (r_ {2}) ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {3} = 1 right rangle.}$

Строительство из корневых систем

Рассмотрим корневая система, предполагается редуцированной и интегральной (или «кристаллографической»). Во многих приложениях эта корневая система возникает из полупростая алгебра Ли. Позволять ${ displaystyle Delta}$ быть набором положительные простые корни. Затем мы строим диаграмму из ${ displaystyle Delta}$ следующее.^[1] Сформируйте граф с одной вершиной для каждого элемента ${ displaystyle Delta}$. Затем вставьте ребра между каждой парой вершин по следующему рецепту. Если корни, соответствующие двум вершинам, ортогональны, между вершинами нет ребра. Если угол между двумя корнями составляет 120 градусов, мы помещаем одно ребро между вершинами. Если угол 135 градусов, мы ставим две кромки, а если угол 150 градусов, мы ставим три кромки. (Эти четыре случая исчерпывают все возможные углы между парами положительных простых корней.^[2]Наконец, если между данной парой вершин есть ребра, мы украшаем их стрелкой, указывающей от вершины, соответствующей более длинному корню, к вершине, соответствующей более короткому. (Стрелка опускается, если корни имеют одинаковую длину.) Если рассматривать стрелку как знак «больше», становится ясно, в каком направлении должна идти стрелка. Диаграммы Дынкина приводят к классификация корневых систем. Углы и отношения длины между корнями равны связанные с.^[3] Таким образом, ребра для неортогональных корней в качестве альтернативы могут быть описаны как одно ребро для отношения длины 1, два ребра для отношения длины ${ displaystyle { sqrt {2}}}$, и три кромки для отношения длины ${ displaystyle { sqrt {3}}}$. (Нет ребер, когда корни ортогональны, независимо от соотношения длин.)

В корневой системе A2, показанной справа, корни, помеченные ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ образуют основу. Поскольку эти два корня расположены под углом 120 градусов (с отношением длины 1), диаграмма Дынкина состоит из двух вершин, соединенных одним ребром: .

Ограничения

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2009 г.)

Диаграммы Дынкина должны удовлетворять определенным ограничениям; по сути, это те, которым удовлетворяют конечные Диаграммы Кокстера – Дынкина вместе с дополнительным кристаллографическим ограничением.

Связь со схемами Кокстера

Диаграммы Дынкина тесно связаны с Диаграммы Кокстера конечных Группы Кокстера, и терминология часто смешивается.^{[примечание 1]}

Диаграммы Дынкина отличаются от диаграмм Кокстера конечных групп в двух важных отношениях:

Частично направлен

Диаграммы Дынкина частично направленный - любое кратное ребро (в терминах Кокстера, обозначенное цифрой "4" или выше) имеет направление (стрелка, указывающая от одного узла к другому); таким образом, диаграммы Дынкина имеют более данных, чем основная диаграмма Кокстера (неориентированный график).

На уровне корневых систем направление соответствует направлению к более короткому вектору; ребра с меткой «3» не имеют направления, потому что соответствующие векторы должны иметь одинаковую длину. (Предостережение: некоторые авторы меняют это соглашение со стрелкой, указывающей на более длинный вектор.)

Кристаллографическое ограничение

Диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ограничению, а именно, что единственными допустимыми метками ребер являются 2, 3, 4 и 6, ограничение, не разделяемое диаграммами Кокстера, поэтому не каждая диаграмма Кокстера конечной группы происходит от диаграммы Дынкина.

На уровне корневых систем это соответствует кристаллографическая теорема ограничения, так как корни образуют решетку.

Еще одно отличие, которое носит чисто стилистический характер, состоит в том, что диаграммы Дынкина обычно рисуются с двойными или тройными ребрами между узлами (для п = 4, 6), а не ребро, помеченное знаком "п".

Термин «диаграмма Дынкина» иногда относится к направленный график, временами к ненаправленный график. Для точности в этой статье «диаграмма Дынкина» будет иметь в виду направленный, а лежащий в основе неориентированный граф назовем «неориентированной диаграммой Дынкина». Тогда диаграммы Дынкина и диаграммы Кокстера могут быть связаны следующим образом:

Это означает, что диаграммы Кокстера конечных групп соответствуют точечные группы порожденные отражениями, а диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ограничению, соответствующему кристаллографическая теорема ограничения, и что диаграммы Кокстера неориентированы, а диаграммы Дынкина (частично) направлены.

Соответствующие математические объекты, классифицируемые схемами, являются:

Пробел в правом верхнем углу, соответствующий ориентированным графам с нижележащим неориентированным графом, любая диаграмма Кокстера (конечной группы) может быть определена формально, но мало обсуждается и, похоже, не допускает простой интерпретации в терминах математических объектов. представляет интерес.

Внизу расположены естественные карты - от диаграмм Дынкина до ненаправленных диаграмм Дынкина; соответственно, от корневых систем к ассоциированным группам Вейля - и справа - от неориентированных диаграмм Дынкина к диаграммам Кокстера; соответственно от групп Вейля к конечным группам Кокстера.

Нисходящая карта находится на (по определению), но не один к одному, как B_п и C_п диаграммы отображаются в одну и ту же неориентированную диаграмму, с полученной диаграммой Кокстера и группой Вейля, таким образом, иногда обозначаются до н.э_п.

Правое отображение - это просто включение - неориентированные диаграммы Дынкина являются частными случаями диаграмм Кокстера, а группы Вейля - частными случаями конечных групп Кокстера - и не включены, поскольку не каждая диаграмма Кокстера является неориентированной диаграммой Дынкина (пропущенные диаграммы являются ЧАС₃, ЧАС₄ и я₂(п) за п = 5 п ≥ 7), и, соответственно, не всякая конечная группа Кокстера является группой Вейля.

Изоморфизмы

В исключительные изоморфизмы связных диаграмм Дынкина.

Диаграммы Дынкина условно пронумерованы, чтобы список не был избыточным: ${ Displaystyle п geq 1}$ за ${ displaystyle A_ {n},}$ ${ Displaystyle п geq 2}$ за ${ displaystyle B_ {n},}$ ${ Displaystyle п geq 3}$ за ${ displaystyle C_ {n},}$ ${ displaystyle n geq 4}$ за ${ displaystyle D_ {n},}$ и ${ displaystyle E_ {n}}$ начинается с ${ displaystyle n = 6.}$ Однако семейства могут быть определены для более низких п, уступающий исключительные изоморфизмы диаграмм и соответствующие исключительные изоморфизмы алгебр Ли и ассоциированных групп Ли.

Тривиально можно создать семью в ${ displaystyle n = 0}$ или же ${ Displaystyle п = 1,}$ которые все тогда изоморфны, поскольку существует уникальная пустая диаграмма и уникальная 1-узловая диаграмма. Другие изоморфизмы связных диаграмм Дынкина:

• ${ Displaystyle A_ {1} cong B_ {1} cong C_ {1}}$
• ${ Displaystyle B_ {2} cong C_ {2}}$
• ${ Displaystyle D_ {2} cong A_ {1} times A_ {1}}$
• ${ Displaystyle D_ {3} cong A_ {3}}$
• ${ displaystyle E_ {3} cong A_ {1} times A_ {2}}$
• ${ displaystyle E_ {4} cong A_ {4}}$
• ${ displaystyle E_ {5} cong D_ {5}}$

Эти изоморфизмы соответствуют изоморфизму простых и полупростых алгебр Ли, которые также соответствуют некоторым изоморфизмам их групповых форм Ли. Они также добавляют контекст E_п семья.^[4]

Автоморфизмы

Самая симметричная диаграмма Дынкина - это D₄, что приводит к триальность.

Помимо изоморфизма между различными диаграммами, некоторые диаграммы также имеют самоизоморфизмы или "автоморфизмы ". Диаграммные автоморфизмы соответствуют внешние автоморфизмы алгебры Ли, что означает, что группа внешних автоморфизмов Out = Aut / Inn равна группе диаграммных автоморфизмов.^[5][6][7]

Диаграммы с нетривиальными автоморфизмами - это A_п (${ displaystyle n> 1}$), D_п (${ displaystyle n> 1}$), а E₆. Во всех этих случаях, кроме D₄, существует единственный нетривиальный автоморфизм (Out = C₂, циклическая группа порядка 2), а для D₄, группа автоморфизмов - это симметричная группа на трех буквах (S₃, порядок 6) - это явление известно как "триальность ". Бывает, что все эти автоморфизмы диаграмм могут быть реализованы как евклидовы симметрии того, как диаграммы обычно рисуются на плоскости, но это всего лишь артефакт того, как они нарисованы, а не внутренняя структура.

А_п.

Для_п, автоморфизм диаграммы переворачивает диаграмму, которая является прямой. Узлы диаграммы индексируют основные веса, который (для A_п−1) находятся ${ displaystyle bigwedge ^ {i} C ^ {n}}$ за ${ Displaystyle я = 1, точки, п}$, а диаграммный автоморфизм соответствует двойственности ${ displaystyle bigwedge ^ {i} C ^ {n} mapsto bigwedge ^ {n-i} C ^ {n}.}$ Реализована как алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n + 1},}$ внешний автоморфизм можно выразить как отрицательное транспонирование, ${ Displaystyle Т mapsto -T ^ { mathrm {T}}}$, так действует двойственное представление.^[6]

D_п.

Для D_п, автоморфизм диаграммы переключает два узла в конце Y и соответствует переключению двух хиральный спиновые представления. Реализована как алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2n},}$ внешний автоморфизм может быть выражен как сопряжение матрицей из O (2п) с определителем −1. ${ Displaystyle mathrm {A} _ {3} cong mathrm {D} _ {3},}$ поэтому их автоморфизмы совпадают, а ${ Displaystyle mathrm {D} _ {2} cong mathrm {A} _ {1} times mathrm {A} _ {1},}$ который отключен, и автоморфизм соответствует переключению двух узлов.

Для D₄, то фундаментальное представление изоморфна двум представлениям спина, и в результате симметричная группа на три буквы (S₃, или альтернативно группа диэдра порядка 6, Dih₃) соответствует как автоморфизмам алгебры Ли, так и автоморфизмам диаграммы.

E₆.

Группа автоморфизмов E₆ соответствует переворачиванию диаграммы и может быть выражено с помощью Йордановы алгебры.^[6][8]

Отключенные схемы, соответствующие полупростые алгебры Ли, могут иметь автоморфизмы от обмена компонентами диаграммы.

В характеристике 2 стрелка на F₄ можно пренебречь, что дает дополнительный автоморфизм диаграммы и соответствующий Группы Сузуки – Ри.

В положительная характеристика есть дополнительные «диаграммные автоморфизмы» - грубо говоря, в характеристике п иногда разрешается игнорировать стрелку на связях множественности п в диаграмме Дынкина при взятии автоморфизмов диаграммы. Таким образом, в характеристике 2 имеется автоморфизм порядка 2 ${ Displaystyle mathrm {B} _ {2} cong mathrm {C} _ {2}}$ и F₄, а в характеристике 3 имеется автоморфизм порядка 2 группы G₂. Но не применимо во всех обстоятельствах: например, такие автоморфизмы не должны возникать как автоморфизмы соответствующей алгебраической группы, а скорее на уровне точек, оцененных в конечном поле.

Построение групп Ли с помощью диаграммных автоморфизмов

Диаграммные автоморфизмы, в свою очередь, дают дополнительные группы Ли и группы лиева типа, которые имеют центральное значение при классификации конечных простых групп.

В Группа Шевалле построение групп Ли в терминах их диаграммы Дынкина не дает некоторых классических групп, а именно унитарных групп и не-разбить ортогональные группы. В Группы Штейнберга построить унитарные группы ²А_п, а остальные ортогональные группы строятся как ²D_п, где в обоих случаях речь идет о сочетании автоморфизма диаграммы с автоморфизмом поля. Это также дает дополнительные экзотические группы Ли ²E₆ и ³D₄, последний определен только над полями с автоморфизмом порядка 3.

Дополнительные диаграммные автоморфизмы в положительной характеристике дают Группы Сузуки – Ри, ²B₂, ²F₄, и ²грамм₂.

Складной

Конечные складки группы Кокстера.

Сворачивание аффинных групп Кокстера с тремя соглашениями об именах: во-первых, исходный расширенный набор; второй используется в контексте колчан графики; и последний Виктор Кац за скрученные аффинные алгебры Ли.

Диаграмма Дынкина (конечная или аффинный ), обладающая симметрией (удовлетворяющая одному условию, указанному ниже), может быть факторно проанализирована по симметрии, давая новую, как правило, многошнурованную диаграмму с процессом, называемым складывание (из-за того, что большинство симметрий двоякое). На уровне алгебр Ли это соответствует включению инвариантной подалгебры в группу внешних автоморфизмов, и процесс может быть определен исключительно со ссылкой на корневые системы, без использования диаграмм.^[9] Кроме того, любая диаграмма с кратными кружевами (конечная или бесконечная) может быть получена путем складывания простой диаграммы.^[10]

Единственное условие автоморфизма для возможности сворачивания состоит в том, что различные узлы графа на одной орбите (при автоморфизме) не должны соединяться ребром; на уровне корневых систем корни на одной орбите должны быть ортогональными.^[10] На уровне диаграмм это необходимо, так как в противном случае фактор-диаграмма будет иметь цикл из-за идентификации двух узлов, но имеющий ребро между ними, а циклы не допускаются в диаграммах Дынкина.

Узлы и ребра факторной («свернутой») диаграммы - это орбиты узлов и ребер исходной диаграммы; ребра являются одиночными, если два инцидентных ребра не сопоставляются с одним и тем же ребром (особенно в узлах с валентностью больше 2) - «точка ветвления» карты, и в этом случае вес - это количество инцидентных ребер, а стрелки указывают к узел, в котором они инцидентны - «точка ветвления отображается в неоднородную точку». Например, в D₄ сворачивание в G₂, ребро в G₂ указывает от класса 3 внешних узлов (валентность 1) до класса центрального узла (валентность 3).

Складки конечных диаграмм:^{[11][заметка 2]}

• ${ displaystyle A_ {2n-1} to C_ {n}}$

(Автоморфизм A_2п не приводит к складыванию, потому что два средних узла соединены ребром, но находятся на одной орбите.)

• ${ displaystyle D_ {n + 1} к B_ {n}}$
• ${ displaystyle D_ {4} to G_ {2}}$ (если факторное по полной группе или 3-циклу, в дополнение к ${ displaystyle D_ {4} to B_ {3}}$ 3 разными способами, если факторизация по инволюции)
• ${ displaystyle E_ {6} to F_ {4}}$

Подобные свертки существуют для аффинных диаграмм, в том числе:

• ${ displaystyle { tilde {A}} _ {2n-1} to { tilde {C}} _ ​​{n}}$
• ${ displaystyle { tilde {D}} _ {n + 1} to { tilde {B}} _ {n}}$
• ${ displaystyle { tilde {D}} _ {4} to { tilde {G}} _ {2}}$
• ${ displaystyle { tilde {E}} _ {6} to { tilde {F}} _ {4}}$

Понятие складывания также может быть применено в более общем смысле к Диаграммы Кокстера^[12] - в частности, можно обобщить допустимые факторы диаграмм Дынкина на H_п и я₂(п). Геометрически это соответствует проекциям однородные многогранники. Примечательно, что любая просто зашнурованная диаграмма Дынкина может быть свернута до I₂(час), куда час это Число Кокстера, что геометрически соответствует проекции на Самолет Кокстера.

Складывание может применяться для сведения вопросов о (полупростых) алгебрах Ли к вопросам об алгебрах с простыми связями вместе с автоморфизмом, что может быть проще, чем непосредственное рассмотрение алгебр с кратными связями; это можно сделать, например, при построении полупростых алгебр Ли. Видеть Math Overflow: сворачивание автоморфизмами для дальнейшего обсуждения.

Прочие карты схем

А2 корневая система

грамм2 корневая система

Некоторые дополнительные карты диаграмм имеют значимые интерпретации, как подробно описано ниже. Однако не все карты корневых систем возникают как карты диаграмм.^[13]

Например, есть два включения корневых систем A₂ в G₂как шесть длинных корней или шесть коротких корней. Однако узлы в G₂ диаграмме соответствуют одному длинному корню и одному короткому корню, а узлы в A₂ Диаграммы соответствуют корням одинаковой длины, и, таким образом, эта карта корневых систем не может быть выражена как карта диаграмм.

Некоторые включения корневых систем можно представить в виде одной диаграммы, представляющей собой индуцированный подграф другого, что означает «подмножество узлов со всеми ребрами между ними». Это связано с тем, что удаление узла из диаграммы Дынкина соответствует удалению простого корня из корневой системы, что дает корневую систему ранга на единицу ниже. Напротив, удаление ребра (или изменение кратности ребра) при сохранении неизменных узлов соответствует изменению углов между корнями, что невозможно сделать без изменения всей корневой системы. Таким образом, можно осмысленно удалять узлы, но не ребра.Удаление узла из связной диаграммы может дать связную диаграмму (простую алгебру Ли), если узел является листом, или несвязную диаграмму (полупростую, но не простую алгебру Ли) с двумя или тремя компонентами (последняя для D_п и E_п). На уровне алгебр Ли эти включения соответствуют сублиевским алгебрам.

Максимальные подграфы следующие; подграфы, связанные диаграммный автоморфизм помечены как «конъюгированные»:

• А_п+1: А_п, 2 сопряженными способами.
• B_п+1: А_п, B_п.
• C_п+1: А_п, С_п.
• D_п+1: А_п (2 сопряженных пути), D_п.
• E_п+1: А_п, D_п, E_п.
  • Для E₆, два из них совпадают: ${ Displaystyle mathrm {D} _ {5} cong mathrm {E} _ {5}}$ и сопряжены.
• F₄: B₃, С₃.
• грамм₂: А₁, двумя несопряженными способами (как длинный корень или короткий корень).

Наконец, двойственность диаграмм соответствует изменению направления стрелок, если они есть:^[13] B_п и C_п двойственны, а F₄, а G₂ являются самодуальными, как и диаграммы ADE с простыми шнурами.

Просто зашнурованный

Простые ажурные диаграммы Дынкина классифицируют различные математические объекты; это называется Классификация ADE.

Диаграмма Дынкина без кратных ребер называется просто зашнурованный, как и соответствующие алгебра Ли и группа Ли. Эти ${ displaystyle A_ {n}, D_ {n}, E_ {n}}$ диаграммы и явления, которые классифицируются на таких диаграммах, называются Классификация ADE. В этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Кокстера, так как кратных ребер нет.

Диаграммы сатаке

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2009 г.)

Диаграммы Дынкина классифицируют сложный полупростые алгебры Ли. Вещественные полупростые алгебры Ли можно классифицировать как реальные формы комплексных полупростых алгебр Ли, и они классифицируются Диаграммы сатаке, которые получаются из диаграммы Дынкина, помечая некоторые вершины черным (закрашенным) и соединяя некоторые другие вершины попарно стрелками по определенным правилам.

История

Евгений Дынкин.

Диаграммы Дынкина названы в честь Евгений Дынкин, который использовал их в двух статьях (1946, 1947), упрощающих классификацию полупростых алгебр Ли;^[14] видеть (Дынкин 2000 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDynkin2000 (помощь). Когда Дынкин уехал из Советского Союза в 1976 году, что в то время считалось государственной изменой, советским математикам было приказано обращаться к «диаграммам простых корней», а не использовать его имя.^{[нужна цитата ]}

Ненаправленные графы ранее использовались Коксетером (1934) для классификации группы отражения, где узлы соответствуют простым отражениям; графы были затем использованы (с информацией о длине) Виттом (1941) применительно к корневым системам с узлами, соответствующими простым корням, как они используются сегодня.^[14][15] Затем Дынкин использовал их в 1946 и 1947 годах, признав Кокстера и Витта в своей статье 1947 года.

Конвенции

Диаграммы Дынкина строились разными способами;^[15] принятое здесь соглашение является обычным, с углами 180 ° на узлах валентности 2, углами 120 ° на узлах валентности 3 D_п, и углы 90 ° / 90 ° / 180 ° на узле валентности 3 E_пс кратностью, обозначенной 1, 2 или 3 параллельными кромками, и длиной корня, обозначенной стрелкой на кромке для ориентации. Помимо простоты, еще одним преимуществом этого соглашения является то, что автоморфизмы диаграмм реализуются евклидовыми изометриями диаграмм.

Альтернативное соглашение включает запись числа у края для обозначения множественности (обычно используется в диаграммах Кокстера), затемнение узлов для обозначения длины корня или использование углов 120 ° на узлах валентности 2, чтобы сделать узлы более различимыми.

Также существуют соглашения о нумерации узлов. Наиболее распространенная современная конвенция была разработана к 1960-м годам и проиллюстрирована в (Бурбаки 1968 ).^[15]

Диаграммы Дынкина ранга 2

Диаграммы Дынкина эквивалентны обобщенным Матрицы Картана, как показано в этой таблице диаграмм Дынкина ранга 2 с соответствующими им 2Икс2 Матрицы Картана.

Для ранга 2 матрица Картана имеет следующий вид:

${ displaystyle A = left [{ begin {matrix} 2 & a_ {12} a_ {21} & 2 end {matrix}} right]}$

Многогранная диаграмма соответствует недиагональным матричным элементам Картана -a₂₁, -a₁₂, с количеством нарисованных ребер равным Максимум(-a₂₁, -a₁₂), а стрелка указывает на неединичные элементы.

А обобщенная матрица Картана это квадратная матрица ${ displaystyle A = (a_ {ij})}$ такой, что:

1. Для диагональных входов ${ displaystyle a_ {ii} = 2}$.
2. Для недиагональных записей ${ displaystyle a_ {ij} leq 0}$.
3. ${ displaystyle a_ {ij} = 0}$ если и только если ${ displaystyle a_ {ji} = 0}$

Матрица Картана определяет, принадлежит ли группа конечный тип (если это Положительно определенная матрица, т.е. все собственные значения положительны), аффинный тип (если он не положительно-определенный, а положительно-полуопределенный, т.е. все собственные значения неотрицательны), или неопределенный тип. Неопределенный тип часто дополнительно подразделяется, например, группа Кокстера Лоренциан если у него одно отрицательное собственное значение, а все остальные собственные значения положительны. Более того, несколько источников ссылаются на гиперболический Группы Кокстера, но есть несколько неэквивалентных определений этого термина. В обсуждении ниже гиперболические группы Кокстера являются частным случаем лоренцевой группы, удовлетворяющей дополнительному условию. Для ранга 2 все отрицательные детерминантные матрицы Картана соответствуют гиперболической группе Кокстера. Но в общем случае большинство отрицательных детерминантных матриц не являются ни гиперболическими, ни лоренцевыми.

Конечные ветви имеют (-a₂₁, -a₁₂) = (1,1), (2,1), (3,1), а аффинные ветви (с нулевым определителем) имеют (-a₂₁, -a₁₂) = (2,2) или (4,1).

Диаграммы Дынкина ранга 2

Группа имя	Диаграмма Дынкина			Матрица Картана		Симметрия порядок	Связанный простой группа3
	(Стандарт) многогранный график	Ценится график1	Coxeter график2	${ displaystyle left [{ begin {matrix} 2 & a_ {12} a_ {21} & 2 end {matrix}} right]}$	Детерминант (4-а21* а12)
Конечный (Определитель> 0)
А1xA1				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & 0 0 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	4	2
А2 (неориентированный)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 1 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	3	3
B2				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -2 - 1 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	2	4	${ displaystyle {A} _ {3}}$
C2				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 2 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	2	4	${ displaystyle {A} _ {3}}$
до н.э2 (неориентированный)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & - { sqrt {2}} - { sqrt {2}} & 2 end {smallmatrix}} right]}$	2	4
грамм2				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 3 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	1	6	${ displaystyle {D} _ {4}}$
грамм2 (неориентированный)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & - { sqrt {3}} - { sqrt {3}} & 2 end {smallmatrix}} right]}$	1	6
Аффинный (Определитель = 0)
А1(1)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -2 - 2 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	0	∞	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
А2(2)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 4 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	0	∞	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$
Гиперболический (Определитель <0)
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 5 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-1	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -2 - 3 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-2	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 6 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-2	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 7 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-3	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -2 - 4 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-4	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 8 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-4	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -3 - 3 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-5	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -b - a & 2 end {smallmatrix}} right]}$	4-ab <0	-
Примечание1: Для гиперболических групп (a12* а21> 4), от многостраничного стиля отказываются в пользу явной разметки (a21, а12) на краю. Обычно они не применяются к конечным и аффинным графам.[16] Примечание2: Для неориентированных групп, Диаграммы Кокстера взаимозаменяемы. Обычно они помечаются в соответствии с их порядком симметрии, причем порядок-3 подразумевается без метки. Примечание3: Многие многогранные группы могут быть получены из более высокоуровневой простой группы, применяя подходящую операция складывания.

Конечные диаграммы Дынкина

Конечные графы Дынкина от 1 до 9 узлов

Классифицировать	Классические группы Ли				Исключительные группы Ли
	${ displaystyle {A} _ {1+}}$	${ displaystyle {B} _ {2+}}$	${ displaystyle {C} _ {2+}}$	${ displaystyle {D} _ {2+}}$	${ displaystyle {E} _ {3-8}}$	${ displaystyle {G} _ {2}}$ / ${ displaystyle {F} _ {4}}$
1	А1
2	А2	B2	C2= B2	D2= А1А1		грамм2
3	А3	B3	C3	D3= А3	E3= А2А1
4	А4	B4	C4	D4	E4= А4	F4
5	А5	B5	C5	D5	E5= D5
6	А6	B6	C6	D6	E6
7	А7	B7	C7	D7	E7
8	А8	B8	C8	D8	E8
9	А9	B9	C9	D9
10+	..	..	..	..

Аффинные диаграммы Дынкина

Существуют расширения диаграмм Дынкина, а именно аффинные диаграммы Дынкина; они классифицируют матрицы Картана аффинные алгебры Ли. Они классифицируются в (Кац 1994, Глава 4, стр. 47– ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKac1994 (помощь), специально перечисленные на (Кац 1994, стр. 53–55 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKac1994 (помощь). Аффинные диаграммы обозначаются как ${ Displaystyle X_ {l} ^ {(1)}, X_ {l} ^ {(2)},}$ или же ${ Displaystyle X_ {l} ^ {(3)},}$ куда Икс - буква соответствующей конечной диаграммы, а показатель степени зависит от того, в какой серии аффинных диаграмм они находятся. Первая из них, ${ Displaystyle X_ {l} ^ {(1)},}$ наиболее распространены и называются расширенные диаграммы Дынкина и обозначается тильда, а также иногда отмечены + надстрочный.^[17] как в ${ Displaystyle { тильда {A}} _ {5} = A_ {5} ^ {(1)} = A_ {5} ^ {+}}$. Серии (2) и (3) называются скрученные аффинные диаграммы.

Видеть Генератор диаграмм Дынкина для диаграмм.

Набор расширенных аффинных диаграмм Дынкина с добавленными узлами зеленого цвета (${ Displaystyle п geq 3}$ за ${ displaystyle B_ {n}}$ и ${ displaystyle n geq 4}$ за ${ displaystyle D_ {n}}$)

«Скрученные» аффинные формы обозначаются верхним индексом (2) или (3). (Нижний индекс k всегда считает количество желтый узлов в графе, то есть общее количество узлов минус 1.)

Вот все графы Дынкина для аффинных групп до 10 узлов. Расширенные графы Дынкина представлены в виде ~ семейства, такие же, как конечные графы выше, с одним добавленным узлом. Другие варианты ориентированного графа обозначаются верхним индексом (2) или (3), представляя свертки групп более высокого порядка. Они относятся к категории Скрученный аффинный диаграммы.^[18]

Связные аффинные графы Дынкина до (от 2 до 10 узлов)
(Сгруппированы как неориентированные графы)

Классифицировать	${ displaystyle { tilde {A}} _ {1+}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {3+}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{2+}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4+}}$	E / F / G
2	${ displaystyle { tilde {A}} _ {1}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {1} ^ {(1)}}$		${ displaystyle {A} _ {2} ^ {(2)}}$:
3	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {2} ^ {(1)}}$		${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{2}}$ или же ${ displaystyle {C} _ {2} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {5} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {4} ^ {(2)}}$:		${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ или же ${ displaystyle {G} _ {2} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {4} ^ {(3)}}$
4	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {3} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ или же ${ displaystyle {B} _ {3} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {5} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{3}}$ или же ${ displaystyle {C} _ {3} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {6} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {6} ^ {(2)}}$:
5	${ displaystyle { tilde {A}} _ {4}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {4} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$ или же ${ displaystyle {B} _ {4} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {7} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{4}}$ или же ${ displaystyle {C} _ {4} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {7} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {8} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$ или же ${ displaystyle {D} _ {4} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ или же ${ displaystyle {F} _ {4} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {E} _ {6} ^ {(2)}}$
6	${ displaystyle { tilde {A}} _ {5}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {5} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {5}}$ или же ${ displaystyle {B} _ {5} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {9} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{5}}$ или же ${ displaystyle {C} _ {5} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {8} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {10} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {5}}$ или же ${ displaystyle {D} _ {5} ^ {(1)}}$
7	${ displaystyle { tilde {A}} _ {6}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {6} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {6}}$ или же ${ displaystyle {B} _ {6} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {11} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{6}}$ или же ${ displaystyle {C} _ {6} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {9} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {12} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {6}}$ или же ${ displaystyle {D} _ {6} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {E}} _ {6}}$ или же ${ displaystyle {E} _ {6} ^ {(1)}}$
8	${ displaystyle { tilde {A}} _ {7}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {7} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {7}}$ или же ${ displaystyle {B} _ {7} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {13} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{7}}$ или же ${ displaystyle {C} _ {7} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {10} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {14} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {7}}$ или же ${ displaystyle {D} _ {7} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {E}} _ {7}}$ или же ${ displaystyle {E} _ {7} ^ {(1)}}$
9	${ displaystyle { tilde {A}} _ {8}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {8} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {8}}$ или же ${ displaystyle {B} _ {8} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {15} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{8}}$ или же ${ displaystyle {C} _ {8} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {11} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {16} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {8}}$ или же ${ displaystyle {D} _ {8} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {E}} _ {8}}$ или же ${ displaystyle {E} _ {8} ^ {(1)}}$
10	${ displaystyle { tilde {A}} _ {9}}$ или же ${ displaystyle {A} _ {9} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {9}}$ или же ${ displaystyle {B} _ {9} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {17} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{9}}$ или же ${ displaystyle {C} _ {9} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {12} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {18} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {9}}$ или же ${ displaystyle {D} _ {9} ^ {(1)}}$
11	...	...	...	...

Гиперболические и высшие диаграммы Дынкина

Перечислено множество компактных и некомпактных гиперболических графов Дынкина.^[19] Все гиперболические графы ранга 3 компактны. Компактные гиперболические диаграммы Дынкина существуют до ранга 5, а некомпактные гиперболические графы существуют до ранга 10.

Компактные гиперболические диаграммы Дынкина

Некомпактный (сверхразогнутые формы)

Некоторые обозначения, используемые в теоретическая физика, Такие как М-теория используйте верхний индекс «+» для расширенных групп вместо «~», и это позволяет определять группы более высоких расширений.

1. Расширенный Диаграммы Дынкина (аффинные) отмечены знаком «+» и представляют собой один добавленный узел. (То же, что и "~")
2. Чрезмерно расширенный Диаграммы Дынкина (гиперболические) имеют символы "^" или "++" и представляют два добавленных узла.
3. Очень расширенный Диаграммы Дынкина с 3 добавленными узлами имеют отметку «+++».

Некоторые примеры сверхрасширенных (гиперболических) диаграмм Дынкина

Классифицировать	${ displaystyle {AE} _ {n}}$ = Ап-2(1)^	${ displaystyle {BE} _ {n}}$ = Bп-2(1)^ ${ displaystyle {CE} _ {n}}$	Cп-2(1)^	${ displaystyle {DE} _ {n}}$ = Dп-2(1)^	E / F / G
3	${ displaystyle {AE} _ {3}}$:
4	${ displaystyle {AE} _ {4}}$:		C2(1)^ А4(2)'^ А4(2)^ D3(2)^		грамм2(1)^ D4(3)^
5	${ displaystyle {AE} _ {5}}$:	${ displaystyle {BE} _ {5}}$ ${ displaystyle {CE} _ {5}}$	C3(1)^ А6(2)^ А6(2)'^ D5(2)^
6	${ displaystyle {AE} _ {6}}$	${ displaystyle {BE} _ {6}}$ ${ displaystyle {CE} _ {6}}$	C4(1)^ А8(2)^ А8(2)'^ D7(2)^	${ displaystyle {DE} _ {6}}$	F4(1)^ E6(2)^
7	${ displaystyle {AE} _ {7}}$	${ displaystyle {BE} _ {7}}$ ${ displaystyle {CE} _ {7}}$		${ displaystyle {DE} _ {7}}$
8	${ displaystyle {AE} _ {8}}$	${ displaystyle {BE} _ {8}}$ ${ displaystyle {CE} _ {8}}$		${ displaystyle {DE} _ {8}}$	E6(1)^
9	${ displaystyle {AE} _ {9}}$	${ displaystyle {BE} _ {9}}$ ${ displaystyle {CE} _ {9}}$		${ displaystyle {DE} _ {9}}$	E7(1)^
10		${ displaystyle {BE} _ {10}}$ ${ displaystyle {CE} _ {10}}$		${ displaystyle {DE} _ {10}}$	${ displaystyle {E} _ {10}}$= E8(1)^

238 Гиперболические группы (компактные и некомпактные)

238 гиперболических групп (компактных и некомпактных) ранга ${ Displaystyle п geq 3}$ названы как ${ Displaystyle Н_ {я} ^ {(п)}}$ и указан как ${ Displaystyle я = 1,2,3 ...}$ для каждого ранга.

Очень расширенный

Очень расширенные группы Группы Лоренца, определяемый добавлением трех узлов к конечным группам. E₈, E₇, E₆, F₄, а G₂ Предлагаем шесть серий, заканчивающихся очень расширенными группами. Другие не показанные расширенные серии могут быть определены из A_п, B_п, С_п, а D_п, как разные серии для каждого п. Определитель ассоциированного Матрица Картана определить, где последовательность изменяется от конечной (положительной) до аффинной (ноль), до некомпактной гиперболической группы (отрицательной) и заканчивается как группа Лоренца, которую можно определить с помощью одного своевременный размер, и используется в Теория м.^[20]

Расширенная серия 2-го ранга

Конечный	${ displaystyle A_ {2}}$	${ displaystyle C_ {2}}$	${ displaystyle G_ {2}}$
2	А2	C2	грамм2
3	А2+=${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	C2+=${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{2}}$	грамм2+=${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$
4	А2++	C2++	грамм2++
5	А2+++	C2+++	грамм2+++
Дет (Mп)	3(3-п)	2(3-п)	3-п