Простая группа Ли - Simple Lie group

В математике простая группа Ли это связаны неабелев Группа Ли грамм который не имеет нетривиальных связных нормальные подгруппы.

Вместе с коммутативной группой Ли действительных чисел ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , и комплексных чисел единичной величины, U (1) (единичная окружность), простые группы Ли дают атомные «блоки», которые составляют все (конечномерные) связные группы Ли посредством операции расширение группы. Многие часто встречающиеся группы Ли либо просты, либо "близки" к простоте: например, так называемые "специальная линейная группа "SL (п) из п к п матриц с определителем, равным 1, проста для всех п > 1.

Эквивалентное определение простой группы Ли следует из Ложная переписка: связная группа Ли проста, если ее Алгебра Ли это просто. Важным техническим моментом является то, что простая группа Ли может содержать дискретный нормальные подгруппы, поэтому быть простой группой Ли отличается от просто как абстрактная группа.

Простые группы Ли включают множество классические группы Ли, которые обеспечивают теоретико-групповую основу для сферическая геометрия, проективная геометрия и связанные геометрии в смысле Феликс Кляйн с Программа Эрланген. Это возникло в ходе классификация простых групп Ли, что существует также несколько исключительный возможности, не соответствующие какой-либо знакомой геометрии. Эти исключительные группы объясняют множество частных примеров и конфигураций в других разделах математики, а также в современных теоретическая физика.

В качестве контрпримера общая линейная группа не просто, ни полупростой. Это потому, что кратные единицы идентичности образуют нетривиальную нормальную подгруппу, таким образом уклоняясь от определения. Эквивалентно соответствующий Алгебра Ли имеет вырожденный Форма убийства, потому что кратные тождества отображаются в нулевой элемент алгебры. Таким образом, соответствующая алгебра Ли также не является ни простой, ни полупростой. Другой контрпример - специальные ортогональные группы в четном измерении. У них есть матрица ${ displaystyle -I}$ в центр, и этот элемент связан с элементом идентичности, поэтому эти группы уклоняются от определения. Оба они редуктивные группы.

Классификация простых групп Ли

Полная классификация

Простые группы Ли полностью классифицированы. Классификация обычно состоит из нескольких этапов, а именно:

Классификация простых комплексных алгебр Ли Классификация простых алгебр Ли над комплексными числами Диаграммы Дынкина.
Классификация простых вещественных алгебр Ли Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет несколько реальные формы, классифицируемый дополнительными украшениями своей диаграммы Дынкина, называемой Диаграммы сатаке, после Ичиро Сатаке.
Классификация бесцентровых простых групп Ли Для любой (действительной или сложной) простой алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , существует уникальная "бесцентровая" простая группа Ли ${ displaystyle G}$ чья алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и который имеет тривиальный центр.
Классификация простых групп Ли

Можно показать, что фундаментальная группа любой группы Ли является дискретным коммутативная группа. Для (нетривиальной) подгруппы ${ Displaystyle К подмножество pi _ {1} (G)}$ фундаментальной группы некоторой группы Ли ${ displaystyle G}$ можно использовать теорию покрытия пространства построить новую группу ${ displaystyle { tilde {G}} ^ {K}}$ с ${ displaystyle K}$ в его центре. Теперь любую (действительную или комплексную) группу Ли можно получить, применяя эту конструкцию к бесцентровым группам Ли. Обратите внимание, что действительные группы Ли, полученные таким образом, могут не быть действительными формами какой-либо комплексной группы. Очень важный пример такой реальной группы - это метаплектическая группа, которое появляется в теории и физике бесконечномерных представлений. Когда принимают за ${ Displaystyle К подмножество pi _ {1} (G)}$ полная фундаментальная группа, получившаяся группа Ли ${ Displaystyle { тильда {G}} ^ {К = pi _ {1} (G)}}$ является универсальным покрытием бесцентровой группы Ли ${ displaystyle G}$ , и просто связано. В частности, каждой (действительной или комплексной) алгебре Ли также соответствует единственная связная и односвязный Группа Ли ${ displaystyle { tilde {G}}}$ с этой алгеброй Ли, называемой «односвязной группой Ли», связанной с ${ displaystyle { mathfrak {g}}.}$

Компактные группы Ли

Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет единственную вещественную форму, которой соответствует бесцентровая группа Ли. компактный. Оказывается, односвязная группа Ли в этих случаях также компактна. Компактные группы Ли имеют особенно податливую теорию представлений из-за Теорема Питера – Вейля. Как и простые комплексные алгебры Ли, бесцентровые компактные группы Ли классифицируются диаграммами Дынкина (впервые классифицируются Вильгельм Киллинг и Эли Картан ).

Для бесконечных (A, B, C, D) серий диаграмм Дынкина односвязная компактная группа Ли, ассоциированная с каждой диаграммой Дынкина, может быть явно описана как матричная группа с соответствующей бесцентровой компактной группой Ли, описываемой как фактор по подгруппа скалярных матриц.

Серия

А₁, А₂, ...

А_р ассоциированной односвязной компактной группой особая унитарная группа, SU (р + 1) и как ассоциированная с ней бесцентровая компактная группа проективная унитарная группа ПУ (р + 1).

B серия

B₂, B₃, ...

B_р имеет в качестве ассоциированных бесцентровых компактных групп нечетные специальные ортогональные группы, ТАК (2р + 1). Однако эта группа не просто связана: ее универсальная (двойная) оболочка - это Спиновая группа.

C серия

C₃, С₄, ...

C_р ассоциированной односвязной группой является группа унитарные симплектические матрицы, Sp (р) и как ассоциированная с ней бесцентровая группа группа Ли PSp (р) = Sp (р) / {I, −I} проективных унитарных симплектических матриц. Симплектические группы имеют двойное покрытие метаплектическая группа.

Серия D

D₄, D₅, ...

D_р имеет в качестве ассоциированной компактной группы четную специальные ортогональные группы, ТАК (2р) и как ассоциированная с ней бесцентровая компактная группа проективная специальная ортогональная группа PSO (2р) = SO (2р) / {I, -I}. Как и в серии B, SO (2р) не односвязно; его универсальная обложка снова вращательная группа, но у последнего опять же есть центр (см. его статью).

Диаграмма D₂ два изолированных узла, то же самое, что и A₁ ∪ А₁, и это совпадение соответствует гомоморфизму накрывающих отображений из SU (2) × SU (2) в SO (4), заданному формулой кватернион умножение; видеть кватернионы и пространственное вращение. Таким образом, SO (4) не простая группа. Также диаграмма D₃ совпадает с A₃, соответствующий гомоморфизму накрывающих отображений из SU (4) в SO (6).

Исключительные случаи

Помимо четырех семей А_я, B_я, C_я, и D_я выше имеется пять так называемых исключительных диаграмм Дынкина грамм₂, F₄, E₆, E₇, и E₈; этим исключительным диаграммам Дынкина также соответствуют односвязные бесцентровые компактные группы. Однако группы, связанные с исключительными семействами, описать труднее, чем группы, связанные с бесконечными семействами, в основном потому, что в их описаниях используются исключительные объекты. Например, группа, связанная с G₂ группа автоморфизмов октонионы, а группа, ассоциированная с F₄ группа автоморфизмов некоторого Алгебра Альберта.

Смотрите также E_7½.

Просто зашнурованные группы

А просто ажурная группа это Группа Ли чей Диаграмма Дынкина содержат только простые зацепления, поэтому все ненулевые корни соответствующей алгебры Ли имеют одинаковую длину. Группы серий A, D и E просто зашнурованы, но никакие группы типов B, C, F или G просто зашнурованы.