Физика элементарных частиц и теория представлений - Википедия - Particle physics and representation theory

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

Между физика элементарных частиц и теория представлений, как впервые отметил в 1930-х гг. Юджин Вигнер.^[1] Он связывает свойства элементарные частицы в структуру Группы Ли и Алгебры Ли. Согласно этой связи, разные квантовые состояния элементарной частицы вызывают неприводимое представление из Группа Пуанкаре. Кроме того, свойства различных частиц, включая их спектры, могут быть связаны с представлениями алгебр Ли, соответствующими «приближенным симметриям» Вселенной.

Общая картина

Симметрии квантовой системы

В квантовая механика, любое конкретное одночастичное состояние представляется как вектор в Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Чтобы понять, какие типы частиц могут существовать, важно классифицировать возможности для ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ разрешено симметрии, и их свойства. Позволять ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ - гильбертово пространство, описывающее конкретную квантовую систему, и пусть ${ displaystyle G}$ - группа симметрий квантовой системы. В релятивистской квантовой системе, например, ${ displaystyle G}$ может быть Группа Пуанкаре, а для атома водорода ${ displaystyle G}$ может быть группа вращения SO (3). Состояние частицы более точно характеризуется ассоциированной проективное гильбертово пространство ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$, также называемый лучевое пространство, поскольку два вектора, отличающиеся ненулевым скалярным множителем, соответствуют одной и той же физической квантовое состояние представлен луч в гильбертовом пространстве, которое является класс эквивалентности в ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ и при естественном отображении проекции ${ Displaystyle { mathcal {H}} rightarrow mathrm {P} { mathcal {H}}}$, элемент ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$.

По определению симметрии квантовой системы существует групповое действие на ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$. Для каждого ${ displaystyle g in G}$, существует соответствующее преобразование ${ Displaystyle V (g)}$ из ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$. В частности, если ${ displaystyle g}$ некоторая симметрия системы (скажем, поворот вокруг оси x на 12 °), то соответствующее преобразование ${ Displaystyle V (g)}$ из ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$ карта в пространстве лучей. Например, при повороте стационарный (нулевой импульс) частица со спином 5 вокруг своего центра, ${ displaystyle g}$ вращение в трехмерном пространстве (элемент ${ Displaystyle mathrm {SO (3)}}$), пока ${ Displaystyle V (g)}$ - оператор, область определения и диапазон которого являются пространством возможных квантовых состояний этой частицы, в этом примере проективное пространство ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$ связанный с 11-мерным комплексным гильбертовым пространством ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

Каждая карта ${ Displaystyle V (g)}$ сохраняет по определению симметрии лучевой продукт на ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$ индуцированный внутренним продуктом на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$; в соответствии с Теорема Вигнера, это преобразование ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$ происходит от унитарного или антиунитарного преобразования ${ Displaystyle U (g)}$ из ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Обратите внимание, однако, что ${ Displaystyle U (g)}$ связанный с данным ${ Displaystyle V (g)}$ не уникален, а только уникален с точностью до фазового фактора. Состав операторов ${ Displaystyle U (g)}$ должен, следовательно, отражать закон композиции в ${ displaystyle G}$, но только с точностью до фазового фактора:

${ Displaystyle U (gh) = е ^ {я тета} U (g) U (h)}$,

куда ${ displaystyle theta}$ будет зависеть от ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle h}$. Таким образом, отправка карты ${ displaystyle g}$ к ${ Displaystyle U (g)}$ это проективное унитарное представление из ${ displaystyle G}$, или, возможно, смесь унитарного и антиунитарного, если ${ displaystyle G}$ отключен. На практике антиунитарные операторы всегда связаны с симметрия обращения времени.

Обычные и проективные представления

Физически важно, чтобы в целом ${ Displaystyle U ( cdot)}$ не обязательно должно быть обычным представлением ${ displaystyle G}$; может оказаться невозможным выбрать фазовые коэффициенты в определении ${ Displaystyle U (g)}$ исключить фазовые факторы в законе их состава. Электрон, например, представляет собой частицу с половинным спином; его гильбертово пространство состоит из волновых функций на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ со значениями в двумерном спинорном пространстве. Действие ${ Displaystyle mathrm {SO (3)}}$ на спинорном пространстве только проективно: оно не происходит из обычного представления ${ Displaystyle mathrm {SO (3)}}$. Однако существует ассоциированное обычное представление универсального покрытия. ${ Displaystyle mathrm {СУ (2)}}$ из ${ Displaystyle mathrm {SO (3)}}$ на спинорном пространстве.^[2]

Для множества интересных занятий групп ${ displaystyle G}$, Теорема Баргмана говорит нам, что каждое проективное унитарное представление ${ displaystyle G}$ происходит от обычного представления универсального покрытия ${ displaystyle { tilde {G}}}$ из ${ displaystyle G}$. Собственно, если ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ конечномерно, то независимо от группы ${ displaystyle G}$, каждое проективное унитарное представление ${ displaystyle G}$ происходит от обычного унитарного представления ${ displaystyle { tilde {G}}}$.^[3] Если ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ бесконечномерно, то для получения желаемого заключения необходимо сделать некоторые алгебраические предположения относительно ${ displaystyle G}$ (Смотри ниже). В этой настройке результатом является теорема Баргмана.^[4] К счастью, в решающем случае группы Пуанкаре применима теорема Баргмана.^[5] (Видеть Классификация Вигнера представлений универсальной накрывающей группы Пуанкаре.)

Упомянутое выше требование состоит в том, чтобы алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ не допускает нетривиального одномерного центрального расширения. Это так, если и только если вторая группа когомологий из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ тривиально. В этом случае все еще может быть верным, что группа допускает центральное расширение посредством дискретный группа. Но расширения ${ displaystyle G}$ дискретными группами покрывают ${ displaystyle G}$. Например, универсальный чехол ${ displaystyle { tilde {G}}}$ относится к ${ displaystyle G}$ через частное ${ Displaystyle G приблизительно { тильда {G}} / Gamma}$ с центральной подгруппой ${ displaystyle Gamma}$ быть центром ${ displaystyle { tilde {G}}}$ сам, изоморфный фундаментальная группа крытой группы.

Таким образом, в благоприятных случаях квантовая система будет нести унитарное представление универсальной оболочки ${ displaystyle { tilde {G}}}$ группы симметрии ${ displaystyle G}$. Это желательно, потому что ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ с ним намного проще работать, чем с не-векторным пространством ${ Displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$. Если представления ${ displaystyle { tilde {G}}}$ можно классифицировать, гораздо больше информации о возможностях и свойствах ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ доступны.

Дело Гейзенберга

Пример, в котором теорема Баргмана неприменима, исходит из квантовой частицы, движущейся в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Группа трансляционных симметрий ассоциированного фазового пространства, ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$, - коммутативная группа ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$. В обычной квантово-механической картине ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ симметрия не реализуется унитарным представлением ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$. В конце концов, в квантовой среде трансляции в позиционном пространстве и трансляции в импульсном пространстве не коммутируют. Эта неспособность коммутировать отражает неспособность коммутировать операторов положения и импульса, которые являются бесконечно малыми генераторами перемещений в импульсном и позиционном пространстве соответственно. Тем не менее, переводы в пространстве позиций и переводы в импульсном пространстве делать коммутировать до фазового фактора. Таким образом, мы имеем четко определенное проективное представление ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$, но это не результат обычного представления ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$, хотя ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ просто связано.

В этом случае, чтобы получить обычное представление, нужно перейти к Группа Гейзенберга, которое является нетривиальным одномерным центральным расширением ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$.

Группа Пуанкаре

Группа переводов и Преобразования Лоренца сформировать Группа Пуанкаре, и эта группа должна быть симметрией релятивистской квантовой системы (пренебрегая общая теория относительности эффекты, или, другими словами, в плоское пространство ). Представления группы Пуанкаре во многих случаях характеризуются неотрицательным масса и полуцелое число вращение (видеть Классификация Вигнера ); это можно рассматривать как причину того, что частицы имеют квантованный спин. (Обратите внимание, что на самом деле существуют и другие возможные представления, такие как тахионы, инфрачастицы и т. д., которые в некоторых случаях не имеют квантованного спина или фиксированной массы.)

Другие симметрии

Образец слабые изоспины, слабые гиперзаряды, и цвет зарядов (масс) всех известных элементарных частиц в Стандартная модель, повернутый слабый угол смешивания чтобы показать электрический заряд примерно по вертикали.

В то время как симметрии пространства-времени в группе Пуанкаре особенно легко визуализировать и верить, есть также другие типы симметрий, называемые внутренние симметрии. Одним из примеров является цвет SU (3), точная симметрия, соответствующая непрерывной замене трех кварк цвета.

Алгебры Ли против групп Ли

Многие (но не все) симметрии или приблизительные симметрии образуют Группы Ли. Вместо того, чтобы изучать теория представлений этих групп Ли часто предпочтительнее изучать тесно связанные теория представлений соответствующих алгебр Ли, которые обычно проще вычислить.

Теперь представления алгебры Ли соответствуют представлениям универсальный чехол исходной группы.^[6] в конечномерный случай - и бесконечномерный случай, если Теорема Баргмана применяется - неприводимые проективные представления исходной группы соответствуют обычным унитарным представлениям универсальной оболочки. В таких случаях уместны вычисления на уровне алгебры Ли. Это касается, в частности, изучения неприводимых проективных представлений группы вращений SO (3). Они находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными представлениями универсальный чехол СУ (2) СО (3). Тогда представления SU (2) находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями его алгебры Ли su (2), которая изоморфна алгебре Ли so (3) группы SO (3).

Таким образом, подведем итог: неприводимые проективные представления SO (3) находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями его алгебры Ли so (3). Двумерное представление "спин 1/2" алгебры Ли so (3), например, не соответствует обычному (однозначному) представлению группы SO (3). (Этот факт является источником утверждений о том, что «если вы повернете волновую функцию электрона на 360 градусов, вы получите отрицательную величину исходной волновой функции».) Тем не менее, представление со спином 1/2 действительно приводит к четко определенный проективный представление SO (3), и это все, что требуется физически.

Приблизительные симметрии

Хотя указанные выше симметрии считаются точными, другие симметрии являются приблизительными.

Гипотетический пример

В качестве примера того, что означает приблизительная симметрия, предположим, что экспериментатор жил внутри бесконечного ферромагнетик, с намагниченностью в определенном направлении. Экспериментатор в этой ситуации обнаружил бы не один, а два различных типа электронов: один со спином вдоль направления намагниченности, с немного меньшей энергией (и, следовательно, с меньшей массой), и один со спином, направленным против направленности, с более высокая масса. Наш обычный ТАК (3) Вращательная симметрия, которая обычно связывает электрон со спином вверх и электрон со спином вниз, в этом гипотетическом случае стала лишь приблизительный симметрия, относящаяся разные типы частиц друг другу.

Общее определение

В общем, приблизительная симметрия возникает, когда есть очень сильные взаимодействия, которые подчиняются этой симметрии, наряду с более слабыми взаимодействиями, которые не подчиняются. В приведенном выше примере с электроном два "типа" электронов ведут себя одинаково под действием сильный и слабые силы, но иначе под электромагнитная сила.

Пример: изоспиновая симметрия

Пример из реального мира изоспиновая симметрия, SU (2) группа, соответствующая сходству между до кварков и вниз кварки. Это приблизительная симметрия: хотя верхние и нижние кварки идентичны в том, как они взаимодействуют под действием сильная сила, они имеют разные массы и разные электрослабые взаимодействия. Математически существует абстрактное двумерное векторное пространство

${ displaystyle { text {up quark}} rightarrow { begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}}, qquad { text {down quark}} rightarrow { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$

и законы физики примерно инвариантен относительно применения определителя-1 унитарное преобразование в это пространство:^[7]

${ displaystyle { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}} mapsto A { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}}, quad { text {где}} A { text {is in}} SU (2)}$

Например, ${ displaystyle A = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$ превратит все верхние кварки во Вселенной в нижние кварки и наоборот. Некоторые примеры помогают прояснить возможные эффекты этих преобразований:

• Когда эти унитарные преобразования применяются к протон, его можно преобразовать в нейтрон, или в суперпозицию протона и нейтрона, но не в какие-либо другие частицы. Следовательно, преобразования перемещают протон в двумерном пространстве квантовых состояний. Протон и нейтрон называются "изоспиновый дублет ", математически аналогично тому, как спин-½ частица ведет себя при обычном вращении.
• Когда эти унитарные преобразования применяются к любому из трех пионы (
  π⁰
  ,
  π⁺
  , и
  π⁻
  ), он может превратить любой из пионов в любой другой, но не в любую непионную частицу. Таким образом, преобразования перемещают пионы в трехмерном пространстве квантовых состояний. Пионы называются "изоспиновый триплет ", математически аналогично тому, как частица со спином 1 ведет себя при обычном вращении.
• Эти преобразования вообще не влияют на электрон, поскольку в нем нет ни верхних, ни нижних кварков. Электрон называется изоспиновым синглетом, математически аналогично тому, как частица со спином 0 ведет себя при обычном вращении.

Обычно частицы образуют изоспиновые мультиплеты, которые соответствуют неприводимым представлениям Алгебра Ли SU (2). Частицы в изоспиновом мультиплете имеют очень похожие, но не идентичные массы, потому что верхние и нижние кварки очень похожи, но не идентичны.

Пример: симметрия вкуса

Изоспиновая симметрия может быть обобщена на симметрия аромата, SU (3) группа, соответствующая сходству между до кварков, вниз кварки, и странные кварки.^[7] Это, опять же, приблизительная симметрия, нарушаемая разницей масс кварков и электрослабыми взаимодействиями - на самом деле, это более плохое приближение, чем изоспин, из-за заметно большей массы странного кварка.

Тем не менее частицы действительно можно аккуратно разделить на группы, которые образуют неприводимые представления Алгебра Ли SU (3), как впервые заметил Мюррей Гелл-Манн и независимо Юваль Нееман.

Смотрите также

• Заряд (физика)
• Теория представлений:
  • Алгебр Ли
  • Групп Ли
• Проективное представление
• Специальная унитарная группа

Примечания

Рекомендации

• Коулман, Сидней (1985) Аспекты симметрии: избранные лекции Сидни Коулмана по Эрису. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  0-521-26706-4.
• Георгий, Ховард (1999) Алгебры Ли в физике элементарных частиц. Чтение, Массачусетс: Книги Персея. ISBN  0-7382-0233-9.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666.
• Штернберг, Шломо (1994) Теория групп и физика. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  0-521-24870-1. Особенно стр. 148–150.
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, Том 1: Основы. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  0-521-55001-7. Особенно приложения A и B к главе 2.

внешняя ссылка

• Baez, John C .; Уэрта, Джон (2010). «Алгебра теорий Великого Объединения». Бык. Являюсь. Математика. Soc. 47 (3): 483–552. arXiv:0904.1556. Дои:10.1090 / S0273-0979-10-01294-2. S2CID  2941843.