Группа Вейля - Weyl group

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, в частности теория Алгебры Ли, то Группа Вейля из корневая система Φ - это подгруппа из группа изометрии из корневая система. В частности, это подгруппа, которая порождается отражениями через гиперплоскости ортогональный к корням, и как таковой конечная группа отражений. Абстрактно группы Вейля являются конечные группы Кокстера, и являются важными примерами этого.

Группа Вейля полупростая группа Ли, полупростой Алгебра Ли, полупростой линейная алгебраическая группа, и т. д. - группа Вейля корневая система этой группы или алгебры.

Он назван в честь Герман Вейль.

Определение и примеры

Группа Вейля ${ displaystyle A_ {2}}$ корневая система - это группа симметрии равностороннего треугольника

Позволять ${ displaystyle Phi}$ быть корневая система в евклидовом пространстве ${ displaystyle V}$. Для каждого корня ${ displaystyle alpha in Phi}$, позволять ${ displaystyle s _ { alpha}}$ обозначим отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной к ${ displaystyle alpha}$, который явно задается как

${ Displaystyle s _ { alpha} (v) = v-2 { frac {( alpha, v)} {( alpha, alpha)}} alpha}$,

куда ${ Displaystyle ( cdot, cdot)}$ внутренний продукт на ${ displaystyle V}$. Группа Вейля ${ displaystyle W}$ из ${ displaystyle Phi}$ - подгруппа ортогональной группы ${ Displaystyle O (V)}$ генерируется всеми ${ displaystyle s _ { alpha}}$с. По определению корневой системы каждая ${ displaystyle s _ { alpha}}$ сохраняет ${ displaystyle Phi}$, из чего следует, что ${ displaystyle W}$ конечная группа.

В случае ${ displaystyle A_ {2}}$ корневая система, например, гиперплоскости, перпендикулярные корням, представляют собой просто линии, а группа Вейля - это группа симметрии равностороннего треугольника, как показано на рисунке. Как группа, ${ displaystyle W}$ изоморфна группе перестановок трех элементов, которые мы можем рассматривать как вершины треугольника. Обратите внимание, что в этом случае ${ displaystyle W}$ не является полной группой симметрии корневой системы; поворот на 60 градусов сохраняет ${ displaystyle Phi}$ но не является элементом ${ displaystyle W}$.

Мы можем также рассмотреть ${ displaystyle A_ {n}}$ корневая система. В этом случае, ${ displaystyle V}$ это пространство всех векторов из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п + 1}}$ сумма записей равна нулю. Корни состоят из векторов вида ${ displaystyle e_ {i} -e_ {j}, , i neq j}$, куда ${ displaystyle e_ {i}}$ это ${ displaystyle i}$стандартный базовый элемент для ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п + 1}}$. Отражение, связанное с таким корнем, есть преобразование ${ displaystyle V}$ полученный путем замены ${ displaystyle i}$й и ${ displaystyle j}$th записей каждого вектора. Группа Вейля для ${ displaystyle A_ {n}}$ тогда группа перестановок на ${ displaystyle n + 1}$ элементы.

Камеры Вейля

Заштрихованная область - основная камера Вейля для основания. ${ displaystyle { alpha _ {1}, alpha _ {2} }}$

Если ${ displaystyle Phi subset V}$ является корневой системой, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню ${ displaystyle alpha}$. Напомним, что ${ displaystyle sigma _ { alpha}}$ обозначает отражение относительно гиперплоскости, а группа Вейля - это группа преобразований ${ displaystyle V}$ генерируется всеми ${ displaystyle sigma _ { alpha}}$с. Дополнение набора гиперплоскостей разъединено, и каждая связная компонента называется Камера Вейля. Если мы зафиксировали конкретный набор простых корней Δ, мы можем определить фундаментальная камера Вейля ассоциированный с Δ как множество точек ${ displaystyle v in V}$ такой, что ${ Displaystyle ( альфа, v)> 0}$ для всех ${ displaystyle alpha in Delta}$.

Поскольку размышления ${ displaystyle sigma _ { alpha}, , alpha in Phi}$ сохранять ${ displaystyle Phi}$, они также сохраняют набор гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет камеры Вейля.

На рисунке показан случай корневой системы A2. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть секторов под углом 60 градусов - это камеры Вейля, а заштрихованная область - основная камера Вейля, связанная с указанной базой.

Основная общая теорема о камерах Вейля такова:^[1]

Теорема: Группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен количеству камер Вейля.

Связанный результат такой:^[2]

Теорема: Исправить камеру Вейля ${ displaystyle C}$. Тогда для всех ${ displaystyle v in V}$, вейлевская орбита ${ displaystyle v}$ содержит ровно одну точку в замыкании ${ displaystyle { bar {C}}}$ из ${ displaystyle C}$.

Структура группы Кокстера

Генераторная установка

Ключевой результат о группе Вейля таков:^[3]

Теорема: Если ${ displaystyle Delta}$ является основой для ${ displaystyle Phi}$, то группа Вейля порождается отражениями ${ displaystyle s _ { alpha}}$ с ${ displaystyle alpha}$ в ${ displaystyle Delta}$.

То есть группа, порожденная отражениями ${ displaystyle s _ { alpha}, , alpha in Delta,}$ совпадает с группой, порожденной отражениями ${ displaystyle s _ { alpha}, , alpha in Phi}$.

связи

Между тем, если ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ находятся в ${ displaystyle Delta}$, то Диаграмма Дынкина за ${ displaystyle Phi}$ относительно базы ${ displaystyle Delta}$ рассказывает нам кое-что о том, как пара ${ displaystyle {s _ { alpha}, s _ { beta} }}$ ведет себя. В частности, предположим ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle v '}$ - соответствующие вершины диаграммы Дынкина. Тогда мы получаем следующие результаты:

• Если нет связи между ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle v '}$, тогда ${ displaystyle s _ { alpha}}$ и ${ displaystyle s _ { beta}}$ ездить. С ${ displaystyle s _ { alpha}}$ и ${ displaystyle s _ { beta}}$ каждый имеет второй порядок, это эквивалентно тому, что ${ displaystyle (s _ { alpha} s _ { beta}) ^ {2} = 1}$.
• Если есть одна связь между ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle v '}$, тогда ${ displaystyle (s _ { alpha} s _ { beta}) ^ {3} = 1}$.
• Если есть две связи между ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle v '}$, тогда ${ displaystyle (s _ { alpha} s _ { beta}) ^ {4} = 1}$.
• Если есть три связи между ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle v '}$, тогда ${ displaystyle (s _ { alpha} s _ { beta}) ^ {6} = 1}$.

Предыдущее утверждение нетрудно проверить, если мы просто вспомним, что диаграмма Дынкина говорит нам об угле между каждой парой корней. Если, например, между двумя вершинами нет связи, то ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ ортогональны, откуда легко следует, что соответствующие отражения коммутируют. В более общем плане количество связей определяет угол ${ displaystyle theta}$ между корнями. Тогда произведение двух отражений представляет собой поворот на угол ${ displaystyle 2 theta}$ в самолете, натянутом на ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$, как может убедиться читатель, из чего легко следует приведенное выше утверждение.

Как группа Кокстера

Группы Вейля являются примерами конечных групп отражений, поскольку они порождаются отражениями; абстрактные группы (не рассматриваемые как подгруппы линейной группы) соответственно конечные группы Кокстера, что позволяет классифицировать их по Диаграмма Кокстера – Дынкина. Быть группой Кокстера означает, что у группы Вейля есть особый вид презентация в котором каждый генератор Икс_я имеет порядок два, а отношения, отличные от Икс_я²=1 имеют вид (Икс_яИкс_j)^м_ij= 1. Генераторы - это отражения, заданные простыми корнями, и м_ij равно 2, 3, 4 или 6 в зависимости от того, корни я и j составляют угол 90, 120, 135 или 150 градусов, т.е. Диаграмма Дынкина они не соединены, соединены простым ребром, соединены двойным ребром или соединены тройным ребром. Мы уже отмечали эти отношения в пунктах выше, но чтобы сказать, что ${ displaystyle W}$ группа Кокстера, мы говорим, что это Только отношения в ${ displaystyle W}$.

Группы Вейля имеют Заказ Брюа и функция длины с точки зрения этой презентации: длина элемента группы Вейля - это длина кратчайшего слова, представляющего этот элемент в терминах этих стандартных образующих. Есть уникальный самый длинный элемент группы Кокстера, что противоположно тождеству в порядке Брюа.

Группы Вейля в алгебраической, теоретико-групповой и геометрической постановках

Выше группа Вейля была определена как подгруппа группы изометрий корневой системы. Существуют также различные определения групп Вейля, специфичные для различных теоретико-групповых и геометрических контекстов (Алгебра Ли, Группа Ли, симметричное пространство, так далее.). Для каждого из этих способов определения групп Вейля (обычно нетривиальной) теоремой является то, что это группа Вейля в смысле определения в начале этой статьи, а именно группа Вейля некоторой корневой системы, связанной с объектом. Конкретная реализация такой группы Вейля обычно зависит от выбора - например, из Подалгебра Картана для алгебры Ли максимальный тор для группы Ли.^[4]

Группа Вейля связной компактной группы Ли

Позволять ${ displaystyle K}$ - связная компактная группа Ли и пусть ${ displaystyle T}$ быть максимальный тор в ${ displaystyle K}$. Затем мы представляем нормализатор из ${ displaystyle T}$ в ${ displaystyle K}$, обозначенный ${ Displaystyle N (T)}$ и определяется как

${ Displaystyle N (T) = {x in K | xtx ^ {- 1} in T, , { text {для всех}} t in T }}$.

Мы также определяем централизатор из ${ displaystyle T}$ в ${ displaystyle K}$, обозначенный ${ Displaystyle Z (T)}$ и определяется как

${ Displaystyle Z (T) = {x in K | xtx ^ {- 1} = t , { text {для всех}} t in T }}$.

Группа Вейля ${ displaystyle W}$ из ${ displaystyle K}$ (относительно данного максимального тора ${ displaystyle T}$) тогда первоначально определяется как

${ Displaystyle W = N (T) / T}$.

В конце концов, доказывается, что ${ Displaystyle Z (T) = T}$,^[5] в этот момент можно получить альтернативное описание группы Вейля как

${ Displaystyle W = N (T) / Z (T)}$.

Теперь можно определить корневую систему ${ displaystyle Phi}$ связанный с парой ${ Displaystyle (К, Т)}$; корни ненулевые веса сопряженного действия ${ displaystyle T}$ на алгебре Ли ${ displaystyle K}$. Для каждого ${ displaystyle alpha in Phi}$, можно построить элемент ${ displaystyle x _ { alpha}}$ из ${ Displaystyle N (T)}$ чье действие на ${ displaystyle T}$ имеет форму отражения.^[6] Приложив немного больше усилий, можно показать, что эти отражения генерируют все ${ Displaystyle N (T) / Z (T)}$.^[7] Таким образом, в конечном итоге группа Вейля, определенная как ${ Displaystyle N (T) / T}$ или же ${ Displaystyle N (T) / Z (T)}$ изоморфна группе Вейля корневой системы ${ displaystyle Phi}$.

В других настройках

Для комплексной полупростой алгебры Ли группа Вейля просто определенный как группа отражений, порожденная отражениями в корнях - конкретная реализация корневой системы в зависимости от выбора Подалгебра Картана.

Для Группа Ли грамм удовлетворяющие определенным условиям,^{[примечание 1]} учитывая тор Т < грамм (который не обязательно должен быть максимальным) группа Вейля относительно этот тор определяется как фактор нормализатор тора N = N(Т) = N_грамм(Т) посредством централизатор тора Z = Z(Т) = Z_грамм(Т),

${ Displaystyle W (T, G): = N (T) / Z (T). }$

Группа W конечно - Z конечно индекс в N. Если Т = Т₀ это максимальный тор (так что он равен своему собственному централизатору: ${ displaystyle Z (T_ {0}) = T_ {0}}$), то полученное частное N/Z = N/Т называется в Группа Вейля из грамм, и обозначил W(грамм). Обратите внимание, что конкретный фактор-набор зависит от выбора максимального тор, но все полученные группы изоморфны (внутренним автоморфизмом грамм), поскольку максимальные торы сопряжены.

Если грамм компактно и связно, а Т это максимальный тор, то группа Вейля грамм изоморфна группе Вейля своей алгебры Ли, как обсуждалось выше.

Например, для общей линейной группы GL, максимальный тор - это подгруппа D обратимых диагональных матриц, нормализатором которых является матрицы обобщенных перестановок (матрицы в виде матрицы перестановок, но с любыми ненулевыми числами вместо единиц), и чья группа Вейля является симметричная группа. В этом случае фактор-карта N → N/Т разбивается (через матрицы перестановок), поэтому нормализатор N это полупрямой продукт тора и группы Вейля, а группу Вейля можно выразить как подгруппу грамм. В общем, это не всегда так - частное не всегда разбивается, нормализатор N не всегда полупрямой продукт из W и Z, и группа Вейля не всегда может быть реализована как подгруппа ГРАММ.^[4]

Разложение Брюа

Если B это Подгруппа Бореля из грамм, т. е. максимальное связаны разрешимый подгруппа и максимальный тор Т = Т₀ выбрано лежать в B, то получаем Разложение Брюа

${ displaystyle G = bigcup _ {w in W} BwB}$

что приводит к разложению разновидность флага грамм/B в Клетки Шуберта (видеть Грассманиан ).

Структура Диаграмма Хассе группы геометрически связана с когомологиями многообразия (скорее, действительной и комплексной форм группы), которое ограничено Двойственность Пуанкаре. Таким образом, алгебраические свойства группы Вейля соответствуют общим топологическим свойствам многообразий. Например, двойственность Пуанкаре дает соединение между ячейками в размерности k и в измерении п - k (куда п - размерность многообразия): нижняя (0) размерная ячейка соответствует единичному элементу группы Вейля, а двойственная верхняя размерная ячейка соответствует самый длинный элемент группы Кокстера.

Аналогия с алгебраическими группами

Есть ряд аналогий между алгебраические группы и группы Вейля - например, количество элементов симметрической группы равно п!, а количество элементов полной линейной группы над конечным полем связано с q-факториал ${ displaystyle [n] _ {q}!}$; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализовано поле с одним элементом, который рассматривает группы Вейля как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.

Когомологии

Для неабелевой связной компактной группы Ли ГРАММ, первый групповые когомологии группы Вейля W с коэффициентами в максимальном торе Т используется для его определения,^{[заметка 2]} относится к группа внешних автоморфизмов нормализатора ${ Displaystyle N = N_ {G} (T),}$ в качестве:^[8]

${ displaystyle operatorname {Out} (N) cong H ^ {1} (W; T) rtimes operatorname {Out} (G).}$

Внешние автоморфизмы группы Out (грамм) суть диаграммные автоморфизмы Диаграмма Дынкина, а когомологии групп вычисляются в Хэммерли, Матти и Сутер, 2004 г. и является конечной элементарной абелевой 2-группой (${ Displaystyle ( mathbf {Z} / 2) ^ {к}}$); для простых групп Ли он имеет порядок 1, 2 или 4. Когомологии 0-й и 2-й групп также тесно связаны с нормализатором.^[8]

Смотрите также

• Аффинная группа Вейля
• Полупростая алгебра Ли # подалгебры Картана и системы корней
• Максимальный тор
• Система корней полупростой алгебры Ли
• Диаграмма Хассе

Сноски

Примечания

Цитаты

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николас (2002), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4-6, Элементы математики, Springer, ISBN  978-3-540-42650-9, Zbl  0983.17001
• Бьёрнер, Андерс; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера, Тексты для выпускников по математике, 231, Спрингер, ISBN  978-3-540-27596-1, Zbl  1110.05001
• Кокстер, Х. С. М. (1934), «Дискретные группы, порожденные отражениями», Анна. математики., 35 (3): 588–621, CiteSeerX  10.1.1.128.471, Дои:10.2307/1968753, JSTOR  1968753
• Кокстер, Х. С. М. (1935), «Полное перечисление конечных групп вида ${ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {k_ {ij}} = 1}$", J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, Дои:10.1112 / jlms / s1-10.37.21
• Дэвис, Майкл В. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера. (PDF), ISBN  978-0-691-13138-2, Zbl  1142.20020
• Grove, Ларри К.; Бенсон, Кларк Т. (1985), Конечные группы отражений, Выпускные тексты по математике, 99, Спрингер, ISBN  978-0-387-96082-1
• Хиллер, Ховард (1982), Геометрия групп Кокстера, Исследования по математике, 54, Питман, ISBN  978-0-273-08517-1, Zbl  0483.57002
• Хоулетт, Роберт Б. (1988), "О множителях Шура групп Кокстера", J. London Math. Soc., 2, 38 (2): 263–276, Дои:10.1112 / jlms / s2-38.2.263, Zbl  0627.20019
• Хамфрис, Джеймс Э. (1992) [1990], Группы отражений и группы Кокстера, Кембриджские исследования по высшей математике, 29, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-43613-7, Zbl  0725.20028
• Ихара, S .; Йоконума, Такео (1965), «О вторых группах когомологий (мультипликаторах Шура) конечных групп отражений» (PDF), Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1, 11: 155–171, Zbl  0136.28802
• Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов, CMS Книги по математике, Springer, ISBN  978-0-387-98979-2, Zbl  0986.20038
• Винберг, Э. (1984), "Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности", Труды Моск. Мат. Общ., 47
• Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) бесконечных дискретных групп отражений", Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1, 11: 173–186, HDL:2261/6049, Zbl  0136.28803

внешняя ссылка

• "Кокстер груп", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Кокстер груп". MathWorld.
• Программное обеспечение Jenn для визуализации графов Кэли конечных групп Кокстера с использованием до четырех генераторов