Симметрия точки Ли - Lie point symmetry

К концу девятнадцатого века Софус Ли ввел понятие Группа Ли с целью изучения решений обыкновенные дифференциальные уравнения^[1]^[2]^[3] (ОДУ). Он показал следующее основное свойство: порядок обыкновенного дифференциального уравнения может быть понижен на единицу, если он инвариантный под однопараметрической группой Ли точечные преобразования.^[4] Это наблюдение унифицировало и расширило доступные методы интеграции. Ли посвятил оставшуюся часть своей математической карьеры разработке этих непрерывные группы которые теперь влияют на многие области математических наук. Приложения групп Ли к дифференциальные системы были в основном созданы Ли и Эмми Нётер, а затем выступил Эли Картан.

Грубо говоря, точечная симметрия системы Ли - это локальная группа преобразований, которая отображает каждое решение системы в другое решение той же системы. Другими словами, он отображает набор решений системы себе. Элементарными примерами групп Ли являются переводы, вращения и масштабирование.

Теория симметрии Ли - хорошо известный предмет. В нем обсуждаются непрерывные симметрии в отличие от, например, дискретные симметрии. Литературу по этой теории можно найти, среди прочего, в этих заметках.^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

Обзор

Типы симметрий

Группы Ли и, следовательно, их инфинитезимальные образующие могут быть естественным образом «расширены», чтобы действовать в пространстве независимых переменных, переменные состояния (зависимые переменные) и производные переменных состояния до любого конечного порядка. Есть много других видов симметрии. Например, контактные преобразования пусть коэффициенты преобразований инфинитезимального генератора зависят также от первых производных координат. Преобразования Ли-Бэклунда пусть они содержат производные до произвольного порядка. Возможность существования таких симметрий была признана Нётер.^[10] Для точечных симметрий Ли коэффициенты инфинитезимальных образующих зависят только от координат, обозначенных ${ displaystyle Z}$ .

Приложения

Симметрии Ли были введены Ли для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Другое применение методов симметрии - редукция систем дифференциальных уравнений, поиск эквивалентных систем дифференциальных уравнений более простой формы. Это называется сокращение. В литературе можно найти классический процесс редукции,^[4] и подвижная рама -основанный процесс восстановления.^[11]^[12]^[13] Также группы симметрии можно использовать для классификации различных классов симметрии решений.

Геометрический каркас

Бесконечно малый подход

Основные теоремы Ли подчеркивают, что группы Ли можно охарактеризовать элементами, известными как бесконечно малые генераторы. Эти математические объекты образуют Алгебра Ли бесконечно малых генераторов. Выведенные «условия бесконечно малой симметрии» (определяющие уравнения группы симметрии) могут быть явно решены, чтобы найти замкнутую форму групп симметрии и, таким образом, связанные с ними бесконечно малые генераторы.

Позволять ${ Displaystyle Z = (z_ {1}, точки, z_ {n})}$ - набор координат, на которых определена система, где ${ displaystyle n}$ кардинал ${ displaystyle Z}$ . Бесконечно малый генератор ${ displaystyle delta}$ в поле ${ Displaystyle mathbb {R} (Z)}$ является линейным оператором ${ displaystyle delta: mathbb {R} (Z) rightarrow mathbb {R} (Z)}$ который имеет ${ Displaystyle mathbb {R}}$ в своем ядре и удовлетворяет Правило Лейбница:

{ displaystyle forall (f_ {1}, f_ {2}) in mathbb {R} (Z) ^ {2}, delta f_ {1} f_ {2} = f_ {1} delta f_ { 2} + f_ {2} delta f_ {1}}

.

В канонической основе элементарных выводов ${ displaystyle left {{ frac { partial} { partial z_ {1}}}, dots, { frac { partial} { partial z_ {n}}} right }}$ , это записывается как:

{ displaystyle delta = sum _ {i = 1} ^ {n} xi _ {z_ {i}} (Z) { frac { partial} { partial z_ {i}}}}

где ${ displaystyle xi _ {z_ {i}}}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} (Z)}$ для всех ${ displaystyle i}$ в ${ Displaystyle влево {1, точки, п вправо }}$ .

Группы Ли и алгебры Ли инфинитезимальных образующих

Алгебры Ли может быть сгенерирован набором бесконечно малых генераторов, как определено выше. Каждой группе Ли можно сопоставить алгебру Ли. Грубо говоря, алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является алгебра состоит из векторного пространства, снабженного Кронштейн лжи как дополнительная операция. Базовое поле алгебры Ли зависит от концепции инвариантный. Здесь рассматриваются только конечномерные алгебры Ли.

Непрерывные динамические системы

А динамическая система (или течь ) является однопараметрическим групповое действие. Обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ такая динамическая система, точнее, (левое) действие группы ${ Displaystyle (G, +)}$ на многообразие ${ displaystyle M}$ :

{ displaystyle { begin {array} {rccc} { mathcal {D}}: & G times M & rightarrow & M & nu times Z & rightarrow & { mathcal {D}} ( nu, Z ) end {массив}}}

так что для всех точек ${ displaystyle Z}$ в ${ displaystyle M}$ :

${ Displaystyle { mathcal {D}} (е, Z) = Z}$ где ${ displaystyle e}$ нейтральный элемент ${ displaystyle G}$ ;
для всех ${ Displaystyle ( ню, { шляпа { ню}})}$ в ${ displaystyle G ^ {2}}$ , ${ displaystyle { mathcal {D}} ( nu, { mathcal {D}} ({ hat { nu}}, Z)) = { mathcal {D}} ( nu + { hat { nu}}, Z)}$ .

Непрерывная динамическая система определена на группе ${ displaystyle G}$ что можно отнести к ${ Displaystyle mathbb {R}}$ т.е. элементы группы непрерывны.

Инварианты

An инвариантный грубо говоря, это элемент, который не меняется при преобразовании.

Определение точечных симметрий Ли

В этом абзаце мы рассматриваем именно расширенные точечные симметрии Ли то есть мы работаем в расширенном пространстве, что означает, что различия между независимой переменной, переменными состояния и параметрами избегаются насколько это возможно.

Группа симметрии системы - это непрерывная динамическая система, определенная на локальной группе Ли. ${ displaystyle G}$ действующий на многообразии ${ displaystyle M}$ . Для наглядности ограничимся n-мерными вещественными многообразиями ${ Displaystyle М = mathbb {R} ^ {п}}$ где ${ displaystyle n}$ - количество системных координат.

Точечные симметрии Ли алгебраических систем

Определим алгебраические системы используется в следующем определении симметрии.

Алгебраические системы

Позволять ${ displaystyle F = (f_ {1}, dots, f_ {k}) = (p_ {1} / q_ {1}, dots, p_ {k} / q_ {k})}$ - конечный набор рациональных функций над полем ${ Displaystyle mathbb {R}}$ где ${ displaystyle p_ {i}}$ и ${ displaystyle q_ {i}}$ являются многочленами от ${ displaystyle mathbb {R} [Z]}$ т.е. в переменных ${ displaystyle Z = (z_ {1}, dots, z_ {n})}$ с коэффициентами в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . An алгебраическая система связаны с ${ displaystyle F}$ определяется следующими равенствами и неравенствами:

{ displaystyle { begin {array} {ccc} left {{ begin {array} {l} p_ {1} (Z) = 0, vdots p_ {k} (Z) = 0 end {array}} right. & { mbox {and}} & left {{ begin {array} {l} q_ {1} (Z) neq 0, vdots q_ { k} (Z) neq 0. end {array}} right. end {array}}}

Алгебраическая система, определяемая ${ displaystyle F = (f_ {1}, dots, f_ {k})}$ является регулярный (a.k.a. гладкий; плавный ) если система ${ displaystyle F}$ имеет максимальный ранг ${ displaystyle k}$ , что означает, что Матрица якобиана ${ displaystyle ( partial f_ {i} / partial z_ {j})}$ имеет ранг ${ displaystyle k}$ при каждом решении ${ displaystyle Z}$ ассоциированных полуалгебраических разнообразие.

Определение точечных симметрий Ли

Следующая теорема (см. П. 2.8 в главе 2 ^[5]) дает необходимые и достаточные условия, чтобы локальная группа Ли ${ displaystyle G}$ группа симметрий алгебраической системы.

Теорема. Позволять ${ displaystyle G}$ - связная локальная группа Ли непрерывной динамической системы, действующей в n-мерном пространстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . Позволять ${ Displaystyle F: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R} ^ {k}}$ с участием ${ Displaystyle к Leq п}$ определим регулярную систему алгебраических уравнений:

{ displaystyle f_ {i} (Z) = 0 quad forall i in {1, dots, k }.}

потом ${ displaystyle G}$ является группой симметрии этой алгебраической системы тогда и только тогда, когда

{ displaystyle delta f_ {i} (Z) = 0 quad forall i in {1, dots, k } { mbox {when}} f_ {1} (Z) = dots = f_ {k} (Z) = 0}

для каждого бесконечно малого генератора ${ displaystyle delta}$ в алгебре Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из ${ displaystyle G}$ .

пример

Рассмотрим алгебраическую систему, заданную в пространстве шести переменных, а именно ${ Displaystyle Z = (P, Q, a, b, c, l)}$ с участием:

{ displaystyle left {{ begin {array} {l} f_ {1} (Z) = (1-cP) + bQ + 1, f_ {2} (Z) = aP-lQ + 1. end {array}} right.}

Бесконечно малый генератор

{ displaystyle delta = a (a-1) { dfrac { partial} { partial a}} + (l + b) { dfrac { partial} { partial b}} + (2ac-c) { dfrac { partial} { partial c}} + (- AP + P) { dfrac { partial} { partial P}}}

связана с одной из однопараметрических групп симметрии. Он действует на 4 переменные, а именно ${ displaystyle a, b, c}$ и ${ displaystyle P}$ . Легко проверить, что ${ displaystyle delta f_ {1} = f_ {1} -f_ {2}}$ и ${ displaystyle delta f_ {2} = 0}$ . Таким образом, отношения ${ displaystyle delta f_ {1} = delta f_ {2} = 0}$ удовлетворены любым ${ displaystyle Z}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {6}}$ что обращает в нуль алгебраическую систему.

Точечные симметрии Ли динамических систем

Определим системы первого порядка ODE используется в следующем определении симметрии.

Системы ОДУ и ассоциированные инфинитезимальные генераторы

Позволять ${ displaystyle d cdot / dt}$ быть производным от непрерывная независимая переменная ${ displaystyle t}$ . Рассмотрим два набора ${ displaystyle X = (x_ {1}, dots, x_ {k})}$ и ${ Displaystyle Theta = ( theta _ {1}, dots, theta _ {l})}$ . Связанный набор координат определяется как ${ displaystyle Z = (z_ {1}, dots, z_ {n}) = (t, x_ {1}, dots, x_ {k}, theta _ {1}, dots, theta _ { l})}$ и его кардинал ${ Displaystyle п = 1 + к + л}$ . С этими обозначениями система ОДУ первого порядка это система, в которой:

{ displaystyle left {{ begin {array} {l} { dfrac {dx_ {i}} {dt}} = f_ {i} (Z) { mbox {with}} f_ {i} in mathbb {R} (Z) quad forall i in {1, dots, k }, { dfrac {d theta _ {j}} {dt}} = 0 quad forall j in {1, dots, l } end {array}} right.}

и набор ${ displaystyle F = (f_ {1}, dots, f_ {k})}$ определяет эволюцию переменных состояния ODE относительно независимая переменная. Элементы набора ${ displaystyle X}$ называются переменные состоянияэти из ${ displaystyle Theta}$ параметры.

Можно также связать непрерывную динамическую систему с системой ОДУ, разрешив ее уравнения.

Инфинитезимальный генератор - это вывод, который тесно связан с системами ОДУ (точнее, с непрерывными динамическими системами). О связи между системой ОДУ, связанным векторным полем и бесконечно малым генератором см. Раздел 1.3.^[4] Бесконечно малый генератор ${ displaystyle delta}$ ассоциированный с системой ODE, описанной выше, определяется с помощью следующих обозначений:

{ displaystyle delta = { dfrac { partial} { partial t}} + sum _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (Z) { dfrac { partial} { partial x_ {i}}} cdot}

Определение точечных симметрий Ли

Вот геометрическое определение таких симметрий. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ - непрерывная динамическая система и ${ displaystyle delta _ { mathcal {D}}}$ его бесконечно малый генератор. Непрерывная динамическая система ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ является точечной симметрией Ли ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ если и только если, ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ отправляет каждую орбиту ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ на орбиту. Следовательно, инфинитезимальный генератор ${ displaystyle delta _ { mathcal {S}}}$ удовлетворяет следующему соотношению^[8] на основе Кронштейн лжи:

{ displaystyle [ delta _ { mathcal {D}}, delta _ { mathcal {S}}] = lambda delta _ { mathcal {D}}}

где ${ displaystyle lambda}$ любая константа ${ displaystyle delta _ { mathcal {D}}}$ и ${ displaystyle delta _ { mathcal {S}}}$ т.е. ${ displaystyle delta _ { mathcal {D}} lambda = delta _ { mathcal {S}} lambda = 0}$ . Эти генераторы линейно независимы.

Явные формулы ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ чтобы вычислить инфинитезимальные генераторы его симметрий.

пример

Рассматривать Пьер Франсуа Верхюльст с логистический рост модель с линейным хищничеством,^[14] где переменная состояния ${ displaystyle x}$ представляет население. Параметр ${ displaystyle a}$ - разница между темпами роста и хищничества и параметром ${ displaystyle b}$ соответствует восприимчивости окружающей среды:

{ displaystyle { dfrac {dx} {dt}} = (a-bx) x, { dfrac {da} {dt}} = { dfrac {db} {dt}} = 0.}

Непрерывная динамическая система, связанная с этой системой ОДУ:

{ displaystyle { begin {array} {rccc} { mathcal {D}}: & ( mathbb {R}, +) times mathbb {R} ^ {4} & rightarrow & mathbb {R} ^ {4} & ({ hat {t}}, (t, x, a, b)) & rightarrow & left (t + { hat {t}}, { frac {ax ^ {a { hat {t}}}} {a- (1-e ^ {a { hat {t}}}) bx}}, a, b right). end {array}}}

Независимая переменная ${ displaystyle { hat {t}}}$ постоянно меняется; таким образом связанная группа может быть идентифицирована с ${ Displaystyle mathbb {R}}$ .

Инфинитезимальный генератор, связанный с этой системой ОДУ:

{ displaystyle delta _ { mathcal {D}} = { dfrac { partial} { partial t}} + ((a-bx) x) { dfrac { partial} { partial x}} cdot}

Следующие инфинитезимальные генераторы принадлежат 2-мерной группе симметрии ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ :

{ displaystyle delta _ {{ mathcal {S}} _ {1}} = - х { dfrac { partial} { partial x}} + b { dfrac { partial} { partial b}} , quad delta _ {{ mathcal {S}} _ {2}} = t { dfrac { partial} { partial t}} - x { dfrac { partial} { partial x}} - а { dfrac { partial} { partial a}} cdot}

Программного обеспечения

В этой области существует множество программных пакетов.^[15]^[16]^[17] Например, пакет lysymm из Клен предоставляет некоторые методы симметрии Ли для PDEs.^[18] Он управляет интеграцией определяющих систем, а также дифференциальные формы. Несмотря на успех в небольших системах, возможности интеграции для автоматического решения определяющих систем ограничены проблемами сложности. В пакете DETools используется продление векторные поля для поиска лиевских симметрий ОДУ. Нахождение симметрий Ли для ОДУ в общем случае может быть столь же сложным, как и решение исходной системы.

использованная литература

^ Ложь, Софус (1881). "Über die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partieller Differentialgleichungen". Архив для Mathematik og Naturvidenskab (на немецком). 6: 328–368.
^ Ложь, Софус (1890). Theorie der Transformationsgruppen (на немецком). 2. Teubner, Лейпциг.
^ Ложь, Софус (1893). Theorie der Transformationsgruppen (на немецком). 3. Teubner, Лейпциг.
^ ^а ^б ^c Олвер, Питер Дж. (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (Второе изд.). Springer-Verlag.
^ ^а ^б Олвер, Питер Дж. (1995). Эквивалентность, инвариантность и симметрия. Издательство Кембриджского университета.
^ Олвер, Питер Дж. (1999). Классическая теория инвариантов (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета.
^ Bluman, G .; Кумей, С. (1989). Симметрии и дифференциальные уравнения. Серия прикладных математических наук. 81 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag.
^ ^а ^б Стефани, Х. (1989). Дифференциальные уравнения (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета.
^ Леви, Д .; Винтерниц, П. (2006). «Непрерывные симметрии разностных уравнений». Журнал физики A: математические и общие. 39: R1 – R63. arXiv:nlin / 0502004. Bibcode:2006JPhA ... 39R ... 1L. Дои:10.1088 / 0305-4470 / 39/2 / r01.
^ Нётер, Э. (1918). "Invariante Variationsprobleme. Nachr. König. Gesell. Wissen". Math.-Phys. Kl. (на немецком). Геттинген: 235–257.
^ Картан, Эли (1935). "La méthode du repère mobile, la théorie des groupes continus et les espaces généralisés". Exposés de géométrie - 5 Hermann (На французском). Париж.
^ Fels, M .; Олвер, Питер Дж. (Апрель 1998 г.). «Подвижные кадры: I. Практический алгоритм». Acta Applicandae Mathematicae. 51 (2): 161–213. Дои:10.1023 / а: 1005878210297.
^ Fels, M .; Олвер, Питер Дж. (Январь 1999 г.). «Подвижные рамки: II. Регуляризация и теоретические основы». Acta Applicandae Mathematicae. 55 (2): 127–208. Дои:10.1023 / А: 1006195823000.
^ Мюррей, Дж. Д. (2002). Математическая биология. Междисциплинарная прикладная математика. 17. Springer.
^ Хек, А. (2003). Введение в Maple (Третье изд.). Springer-Verlag.
^ Шварц, Ф. (1988). «Симметрии дифференциальных уравнений: от Софуса Ли до компьютерной алгебры». SIAM Обзор. 30: 450–481. Дои:10.1137/1030094.
^ Димас, С .; Цубелис, Т. (2005). "SYM: новый пакет поиска симметрии для Mathematica" (PDF). 10-я Международная конференция по современному GRoup-анализу. Университет Кипра, Никосия, Кипр: 64–70. Архивировано из оригинал (PDF) на 2006-10-01.
^ Carminati, J .; Devitt, J. S .; Плата, Дж. Дж. (1992). «Изогруппы дифференциальных уравнений с использованием алгебраических вычислений». Журнал символических вычислений. 14 (1): 103–120. Дои:10.1016/0747-7171(92)90029-4.

[Lie1881-1] Ложь, Софус (1881). "Über die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partieller Differentialgleichungen". Архив для Mathematik og Naturvidenskab (на немецком). 6: 328–368.

[Lie1890-2] Ложь, Софус (1890). Theorie der Transformationsgruppen (на немецком). 2. Teubner, Лейпциг.

[Lie1893-3] Ложь, Софус (1893). Theorie der Transformationsgruppen (на немецком). 3. Teubner, Лейпциг.

[Olver1993-4] а ^б ^c Олвер, Питер Дж. (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (Второе изд.). Springer-Verlag.

[Olver1995-5] а ^б Олвер, Питер Дж. (1995). Эквивалентность, инвариантность и симметрия. Издательство Кембриджского университета.

[Olver1999-6] Олвер, Питер Дж. (1999). Классическая теория инвариантов (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета.

[BlumanKumei1989-7] Bluman, G .; Кумей, С. (1989). Симметрии и дифференциальные уравнения. Серия прикладных математических наук. 81 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag.

[Stephani1989-8] а ^б Стефани, Х. (1989). Дифференциальные уравнения (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета.

[LeviWinternitz2006-9] Леви, Д .; Винтерниц, П. (2006). «Непрерывные симметрии разностных уравнений». Журнал физики A: математические и общие. 39: R1 – R63. arXiv:nlin / 0502004. Bibcode:2006JPhA ... 39R ... 1L. Дои:10.1088 / 0305-4470 / 39/2 / r01.

[Noether1918-10] Нётер, Э. (1918). "Invariante Variationsprobleme. Nachr. König. Gesell. Wissen". Math.-Phys. Kl. (на немецком). Геттинген: 235–257.

[Cartan1935-11] Картан, Эли (1935). "La méthode du repère mobile, la théorie des groupes continus et les espaces généralisés". Exposés de géométrie - 5 Hermann (На французском). Париж.

[FelsOlver1998-12] Fels, M .; Олвер, Питер Дж. (Апрель 1998 г.). «Подвижные кадры: I. Практический алгоритм». Acta Applicandae Mathematicae. 51 (2): 161–213. Дои:10.1023 / а: 1005878210297.

[FelsOlver1999-13] Fels, M .; Олвер, Питер Дж. (Январь 1999 г.). «Подвижные рамки: II. Регуляризация и теоретические основы». Acta Applicandae Mathematicae. 55 (2): 127–208. Дои:10.1023 / А: 1006195823000.

[Murray2002-14] Мюррей, Дж. Д. (2002). Математическая биология. Междисциплинарная прикладная математика. 17. Springer.

[Heck2003-15] Хек, А. (2003). Введение в Maple (Третье изд.). Springer-Verlag.

[Schwarz1988-16] Шварц, Ф. (1988). «Симметрии дифференциальных уравнений: от Софуса Ли до компьютерной алгебры». SIAM Обзор. 30: 450–481. Дои:10.1137/1030094.

[Dimas2005-17] Димас, С .; Цубелис, Т. (2005). "SYM: новый пакет поиска симметрии для Mathematica" (PDF). 10-я Международная конференция по современному GRoup-анализу. Университет Кипра, Никосия, Кипр: 64–70. Архивировано из оригинал (PDF) на 2006-10-01.

[CarminatiDevittFee1992-18] Carminati, J .; Devitt, J. S .; Плата, Дж. Дж. (1992). «Изогруппы дифференциальных уравнений с использованием алгебраических вычислений». Журнал символических вычислений. 14 (1): 103–120. Дои:10.1016/0747-7171(92)90029-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]