Индекс алгебры Ли - Index of a Lie algebra

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В алгебре пусть грамм быть Алгебра Ли через поле K. Пусть дальше ${ displaystyle xi in { mathfrak {g}} ^ {*}}$ быть однотипный на грамм. Стабилизатор грамм_ξ из ξ подалгебра Ли элементов грамм что уничтожить ξ в коприсоединенное представление. В индекс алгебры Ли является

${ displaystyle operatorname {ind} { mathfrak {g}}: = min limits _ { xi in { mathfrak {g}} ^ {*}} dim { mathfrak {g}} _ { xi}.}$

Примеры

Редуктивные алгебры Ли

Если грамм является редуктивный тогда индекс грамм также ранг грамм, поскольку прилегающий и коприсоединенное представление изоморфны и rk грамм - минимальный размер стабилизатора элемента в грамм. Фактически, это размер стабилизатора любого штатного элемента в грамм.

Алгебра Ли Фробениуса

Я нахожу грамм= 0, то грамм называется Алгебра Ли Фробениуса. Это равносильно тому, что Форма Кириллова ${ Displaystyle К _ { xi} двоеточие { mathfrak {g otimes g}} to mathbb {K}: (X, Y) mapsto xi ([X, Y])}$ неособен для некоторых ξ в грамм^*. Другое эквивалентное условие, когда грамм является алгеброй Ли алгебраическая группа грамм, в том, что грамм является Фробениусом тогда и только тогда, когда грамм имеет открытую орбиту в грамм^* при коприсоединенном представлении.

Алгебра Ли алгебраической группы

Если грамм является алгеброй Ли алгебраическая группа грамм, то индекс грамм это степень трансцендентности поля рациональных функций на грамм^* которые инвариантны под действием грамм.^[1]

Рекомендации

В этой статье использованы материалы из индекс алгебры Ли на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.