Простая алгебра Ли - Simple Lie algebra

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В алгебре простая алгебра Ли это Алгебра Ли который неабелев и не содержит ненулевых собственных идеалов. Классификация реальные простые алгебры Ли одно из главных достижений Вильгельм Киллинг и Эли Картан.

Прямая сумма простых алгебр Ли называется полупростая алгебра Ли.

А простая группа Ли это связанный Группа Ли чья алгебра Ли проста.

Комплексные простые алгебры Ли

Конечномерный простой комплексная алгебра Ли изоморфен любому из следующего: ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {п} mathbb {C}}$, ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {n} mathbb {C}}$, ${ Displaystyle { mathfrak {sp}} _ {2n} mathbb {C}}$ (классические алгебры Ли ) или один из пяти исключительные алгебры Ли.^[1]

Каждому конечномерному комплексу полупростая алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, существует соответствующая диаграмма (называемая Диаграмма Дынкина ), где узлы обозначают простые корни, узлы соединяются (или не соединяются) с помощью ряда линий в зависимости от углов между простыми корнями, а стрелки помещаются, чтобы указать, корни длиннее или короче.^[2] Диаграмма Дынкина ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ связано тогда и только тогда, когда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это просто. Все возможные связные диаграммы Дынкина следующие:^[3]

куда п - количество узлов (простых корней). Соответствие диаграмм и сложных простых алгебр Ли следующее:^[2]

(А_п) ${ displaystyle quad { mathfrak {sl}} _ {n + 1} mathbb {C}}$

(B_п) ${ displaystyle quad { mathfrak {so}} _ {2n + 1} mathbb {C}}$

(C_п) ${ Displaystyle quad { mathfrak {sp}} _ {2n} mathbb {C}}$

(D_п) ${ displaystyle quad { mathfrak {so}} _ {2n} mathbb {C}}$

Прочее, исключительные алгебры Ли.

Реальные простые алгебры Ли

Если ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ является конечномерной реальной простой алгеброй Ли, ее комплексификация является либо (1) простой, либо (2) произведением простой комплексной алгебры Ли и ее сопрягать. Например, усложнение ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {п} mathbb {C}}$ как настоящая алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C} times { overline {{ mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C}}}}$. Таким образом, реальная простая алгебра Ли может быть классифицирована с помощью классификации сложных простых алгебр Ли и некоторой дополнительной информации. Это можно сделать Диаграммы сатаке которые обобщают Диаграммы Дынкина. Смотрите также Таблица групп Ли # Вещественные алгебры Ли для частичного списка реальных простых алгебр Ли.

Примечания

Смотрите также

• Простая группа Ли

Рекомендации

• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
• Джейкобсон, Натан, Алгебры Ли, Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN  0-486-63832-4; В главе X рассматривается классификация простых алгебр Ли над полем нулевой характеристики.

• "Алгебра Ли, полупростая", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Простая алгебра Ли в nLab