Таблица групп Ли - Table of Lie groups

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В этой статье приводится таблица некоторых распространенных Группы Ли и связанные с ними Алгебры Ли.

Отмечаются следующие: топологический свойства группы (измерение; связность; компактность; характер фундаментальная группа; и являются ли они односвязный ), а также от их алгебраических свойств (абелевский; просто; полупростой ).

Дополнительные примеры групп Ли и другие связанные темы см. список простых групп Ли; в Классификация Бьянки групп до трех измерений; и список тем группы Ли.

Действительные группы Ли и их алгебры

Легенда столбца

• Cpt: Это группа грамм компактный ? (Да или нет)
• ${ displaystyle pi _ {0}}$: Дает группа компонентов из грамм. Порядок группы компонентов дает количество связанные компоненты. Группа связаны тогда и только тогда, когда группа компонентов банальный (обозначается 0).
• ${ displaystyle pi _ {1}}$: Дает фундаментальная группа из грамм в любое время грамм подключен. Группа односвязный тогда и только тогда, когда фундаментальная группа банальный (обозначается 0).
• UC: Если грамм не просто связано, дает универсальный чехол из грамм.

Группа Ли	Описание	Cpt	${ displaystyle pi _ {0}}$	${ displaystyle pi _ {1}}$	UC	Замечания	Алгебра Ли	тусклый /р
рп	Евклидово пространство с добавлением	N	0	0		абелевский	рп	п
р×	ненулевой действительные числа с умножением	N	Z2	–		абелевский	р	1
р+	положительные действительные числа с умножением	N	0	0		абелевский	р	1
S1 = U (1)	в круговая группа: сложные числа модуля 1 с умножением;	Y	0	Z	р	абелева, изоморфна SO (2), Spin (2) и р/Z	р	1
Афф (1)	обратимый аффинные преобразования из р к р.	N	Z2	0		разрешимый, полупрямой продукт из р+ и р×	${ displaystyle left { left [{ begin {smallmatrix} a & b 0 & 0 end {smallmatrix}} right]: a, b in mathbb {R} right }}$	2
ЧАС×	ненулевой кватернионы с умножением	N	0	0			ЧАС	4
S3 = Sp (1)	кватернионы из абсолютная величина 1 с умножением; топологически 3-сфера	Y	0	0		изоморфен SU (2) и чтобы Отжим (3); двойная крышка из ТАК (3)	Я(ЧАС)	3
GL (п,р)	общая линейная группа: обратимый п×п настоящий матрицы	N	Z2	–			М (п,р)	п2
GL+(п,р)	п×п вещественные матрицы с положительными детерминант	N	0	Z  п=2 Z2 п>2		GL+(1,р) изоморфна р+ и просто связано	М (п,р)	п2
SL (п,р)	специальная линейная группа: реальные матрицы с детерминант 1	N	0	Z  п=2 Z2 п>2		SL (1,р) является единственной точкой и, следовательно, компактным и односвязным	sl (п,р)	п2−1
SL (2,р)	Сохраняющие ориентацию изометрии Полуплоскость Пуанкаре, изоморфна SU (1,1), изоморфна Sp (2,р).	N	0	Z		В универсальный чехол не имеет конечномерных точных представлений.	sl (2,р)	3
O (п)	ортогональная группа: настоящий ортогональные матрицы	Y	Z2	–		Группа симметрии сфера (n = 3) или гиперсфера.	так(п)	п(п−1)/2
ТАК(п)	специальная ортогональная группа: вещественные ортогональные матрицы с определителем 1	Y	0	Z  п=2 Z2 п>2	Вращение(п) п>2	SO (1) - единственная точка, а SO (2) изоморфна круговая группа, SO (3) - группа вращений сферы.	так(п)	п(п−1)/2
Вращение(п)	вращательная группа: двойная крышка SO (п)	Y	0 п>1	0 п>2		Спин (1) изоморфен Z2 и не подключен; Spin (2) изоморфен группе окружностей, а не односвязен	так(п)	п(п−1)/2
Sp (2п,р)	симплектическая группа: настоящий симплектические матрицы	N	0	Z			sp (2п,р)	п(2п+1)
Sp (п)	компактная симплектическая группа: кватернионный п×п унитарные матрицы	Y	0	0			sp (п)	п(2п+1)
Мп (2n,р)	метаплектическая группа: двойная крышка вещественная симплектическая группа Sp (2n,р)	Y	0	Z		Мп (2,р) - группа Ли, не являющаяся алгебраический	sp (2n,р)	п(2п+1)
U (п)	унитарная группа: сложный п×п унитарные матрицы	Y	0	Z	р× SU (п)	За п= 1: изоморфен S1. Примечание: это нет комплексная группа / алгебра Ли	ты (п)	п2
SU (п)	особая унитарная группа: сложный п×п унитарные матрицы с определителем 1	Y	0	0		Примечание: это нет комплексная группа / алгебра Ли	вс (п)	п2−1

Вещественные алгебры Ли

Легенда таблицы:

• S: Эта алгебра проста? (Да или нет)
• SS: Это алгебра полупростой ? (Да или нет)

Комплексные группы Ли и их алгебры

Приведенные размеры превышают C. Обратите внимание, что каждую комплексную группу / алгебру Ли можно также рассматривать как реальную группу / алгебру Ли удвоенной размерности.

Группа Ли	Описание	Cpt	${ displaystyle pi _ {0}}$	${ displaystyle pi _ {1}}$	UC	Замечания	Алгебра Ли	тусклый /C
Cп	групповая операция сложение	N	0	0		абелевский	Cп	п
C×	ненулевой сложные числа с умножением	N	0	Z		абелевский	C	1
GL (п,C)	общая линейная группа: обратимый п×п сложный матрицы	N	0	Z		За п= 1: изоморфен C×	М (п,C)	п2
SL (п,C)	специальная линейная группа: комплексные матрицы с детерминант 1	N	0	0		при n = 1 это одна точка и поэтому компактна.	sl (п,C)	п2−1
SL (2,C)	Частный случай SL (п,C) за п=2	N	0	0		Изоморфен Spin (3,C), изоморфная Sp (2,C)	sl (2,C)	3
PSL (2,C)	Проективная специальная линейная группа	N	0	Z2	SL (2,C)	Изоморфен Группа Мебиуса, изоморфная ограниченному Группа Лоренца ТАК+(3,1,р), изоморфная SO (3,C).	sl (2,C)	3
O (п,C)	ортогональная группа: сложный ортогональные матрицы	N	Z2	–		компактный для n = 1	так(п,C)	п(п−1)/2
ТАК(п,C)	специальная ортогональная группа: комплексные ортогональные матрицы с определителем 1	N	0	Z  п=2 Z2 п>2		SO (2,C) абелева и изоморфна C×; неабелевский для п> 2. ТАКИМ ОБРАЗОМ, 1,C) является единственной точкой и, следовательно, компактным и односвязным	так(п,C)	п(п−1)/2
Sp (2п,C)	симплектическая группа: сложный симплектические матрицы	N	0	0			sp (2п,C)	п(2п+1)

Комплексные алгебры Ли

Приведенные размеры превышают C. Обратите внимание, что любую комплексную алгебру Ли также можно рассматривать как реальную алгебру Ли удвоенной размерности.

Алгебра Ли	Описание	S	SS	Замечания	тусклый /C
C	в сложные числа				1
Cп	скобка Ли равна нулю				п
М (п,C)	п×п матрицы со скобкой Ли коммутатор				п2
sl (п,C)	квадратные матрицы с след 0 со скобкой Ли коммутатор	Y	Y		п2−1
sl (2,C)	Частный случай sl (п,C) с п=2	Y	Y	изоморфен su (2) ${ displaystyle otimes}$ C	3
так(п,C)	кососимметричный квадратные комплексные матрицы со скобкой Ли коммутатор	Y	Y	Исключение: so (4,C) полупросто, но не просто.	п(п−1)/2
sp (2п,C)	комплексные матрицы, удовлетворяющие JA + АТJ = 0 куда J это стандарт кососимметричная матрица	Y	Y		п(2п+1)

Алгебра Ли аффинных преобразований размерности два, по сути, существует для любого поля. Пример уже был указан в первой таблице для реальных алгебр Ли.

Рекомендации

• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.