Теорема Бореля – Вейля – Ботта - Википедия - Borel–Weil–Bott theorem

В математика, то Теорема Бореля – Вейля – Ботта. основной результат в теория представлений из Группы Ли, показывающий, как семейство представлений может быть получено из голоморфных сечений некоторого комплекса векторные пакеты, и, в более общем плане, с более высоких когомологии пучков группы, связанные с такими связками. Он построен на более раннем Теорема Бореля – Вейля. из Арман Борель и Андре Вайль, имея дело только с пространством секций (нулевой группой когомологий), расширение на высшие группы когомологий обеспечивается Рауль Ботт. Равнозначным образом можно с помощью Серра ГАГА, просмотреть это как результат в сложная алгебраическая геометрия в Топология Зарисского.

Формулировка

Позволять грамм быть полупростой Группа Ли или алгебраическая группа над ${ displaystyle mathbb {C}}$, и исправить максимальный тор Т вместе с Подгруппа Бореля B который содержит Т. Позволять λ быть интегральный вес из Т; λ естественным образом определяет одномерное представление C_λ из B, отбросив представление на Т = B/U, куда U это унипотентный радикал из B. Поскольку мы можем думать о карте проекции грамм → грамм/B как главный B-пучок, для каждого C_λ мы получаем связанный пучок волокон L_−λ на грамм/B (обратите внимание на знак), который, очевидно, линейный пакет. Идентификация L_λ с этими пучок голоморфных сечений рассмотрим когомологии пучков группы ${ Displaystyle H ^ {я} (G / B, , L _ { lambda})}$. С грамм действует на все пространство пучка ${ displaystyle L _ { lambda}}$ автоморфизмами расслоения это действие естественным образом дает грамм-модульная структура по этим группам; а теорема Бореля – Вейля – Ботта дает явное описание этих групп как грамм-модули.

Сначала нам нужно описать Группа Вейля действие сосредоточено на ${ displaystyle - rho}$. Для любого интегрального веса λ и ш в группе Вейля W, мы установили ${ Displaystyle ш * лямбда: = вес ( лямбда + ро) - ро ,}$, куда ρ обозначает полусумму положительных корней грамм. Несложно проверить, что это определяет групповое действие, хотя это действие нет линейное, в отличие от обычного действия группы Вейля. Также вес μ как говорят доминирующий если ${ Displaystyle му ( альфа ^ { vee}) geq 0}$ для всех простых корней α. Позволять ℓ обозначить функция длины на W.

Учитывая интегральный вес λ, происходит один из двух случаев:

1. Здесь нет ${ displaystyle w in W}$ такой, что ${ Displaystyle ш * лямбда}$ является доминантным, эквивалентно, существует неединичная ${ displaystyle w in W}$ такой, что ${ Displaystyle ш * лямбда = лямбда}$; или же
2. Существует уникальный ${ displaystyle w in W}$ такой, что ${ Displaystyle ш * лямбда}$ доминирует.

Теорема утверждает, что в первом случае имеем

${ Displaystyle Н ^ {я} (Г / В, , L _ { лямбда}) = 0}$ для всех я;

а во втором случае имеем

${ Displaystyle Н ^ {я} (G / B, , L _ { lambda}) = 0}$ для всех ${ Displaystyle я neq ell (ш)}$, пока

${ displaystyle H ^ { ell (w)} (G / B, , L _ { lambda})}$ является двойственным к неприводимому представлению старшего веса грамм с наибольшим весом ${ Displaystyle ш * лямбда}$.

Стоит отметить, что приведенный выше случай (1) имеет место тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle ( лямбда + ро) ( бета ^ { vee}) = 0}$ для некоторого положительного корня β. Также получаем классический Теорема Бореля – Вейля. как частный случай этой теоремы, взяв λ быть доминирующим и ш быть элементом идентичности ${ displaystyle e in W}$.

Пример

Например, рассмотрим грамм = SL₂(C), для которого грамм/B это Сфера Римана, целочисленный вес задается просто целым числом п, и ρ = 1. Линейный комплект L_п является ${ Displaystyle { mathcal {O}} (п)}$, чей разделы являются однородные многочлены степени п (т.е. бинарные формы). Как представление грамм, разделы можно записать как Сим^п(C²)*, и канонически изоморфна^{[как? ]} к Сим^п(C²).

Это сразу дает нам теорию представлений ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbf {C})}$: ${ Displaystyle Gamma ({ mathcal {O}} (1))}$ - стандартное представление, а ${ Displaystyle Гамма ({ mathcal {O}} (п))}$ это его пth симметричная мощность. У нас даже есть единое описание действия алгебры Ли, вытекающее из ее реализации в виде векторных полей на сфере Римана: если ЧАС, Икс, Y стандартные генераторы ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbf {C})}$, тогда

${ displaystyle { begin {align} H & = x { frac {d} {dx}} - y { frac {d} {dy}}, [5pt] X & = x { frac {d} { dy}}, [5pt] Y & = y { frac {d} {dx}}. end {выравнивается}}}$

Положительная характеристика

Также имеется более слабая форма этой теоремы в положительной характеристике. А именно пусть грамм - полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутое поле характерных ${ displaystyle p> 0}$. Тогда остается верным, что ${ Displaystyle Н ^ {я} (Г / В, , L _ { лямбда}) = 0}$ для всех я если λ такой вес, что ${ Displaystyle ш * лямбда}$ не доминирует для всех ${ displaystyle w in W}$ так долго как λ «близка к нулю».^[1] Это известно как Теорема Кемпфа об исчезновении. Однако другие утверждения теоремы не остаются в силе в этой ситуации.

Более конкретно, пусть λ - доминирующий интегральный вес; тогда все еще верно, что ${ Displaystyle Н ^ {я} (Г / В, , L _ { лямбда}) = 0}$ для всех ${ displaystyle i> 0}$, но уже неверно, что это грамм-модуль в целом прост, хотя он содержит уникальный модуль самого высокого веса. λ как грамм-подмодуль. Если λ - произвольный целочисленный вес, это фактически большая нерешенная проблема теории представлений для описания модулей когомологий ${ Displaystyle H ^ {я} (G / B, , L _ { lambda})}$ в целом. В отличие от более ${ displaystyle mathbb {C}}$Мамфорд привел пример, показывающий, что это не обязательно для фиксированного λ что все эти модули равны нулю, кроме одной степени я.

Теорема Бореля – Вейля.

Теорема Бореля – Вейля дает конкретную модель для неприводимые представления из компактные группы Ли и неприводимые голоморфные представления сложный полупростые группы Ли. Эти представления реализуются в пространствах глобальных разделы из голоморфные линейные расслоения на многообразие флагов группы. Теорема Бореля – Вейля – Ботта является ее обобщением на пространства высших когомологий. Теорема восходит к началу 1950-х годов и ее можно найти в Серр и 1951-4 Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFSerre1951-4 (помощь) и Сиськи (1955).

Формулировка теоремы

Теорема может быть сформулирована либо для комплексной полупростой группы Ли грамм или для его компактная форма K. Позволять грамм быть связаны комплексная полупростая группа Ли, B а Подгруппа Бореля из грамм, и Икс = грамм/B то разновидность флага. В этом сценарии Икс это комплексное многообразие и неособая алгебраическая грамм-разнообразие. Разновидность флага также можно охарактеризовать как компактную однородное пространство K/Т, куда Т = K ∩ B является (компактным) Подгруппа Картана из K. An интегральный вес λ определяет грамм-эквивариантный голоморфное линейное расслоение L_λ на Икс и группа грамм действует в своем пространстве глобальных секций,

${ displaystyle Gamma (G / B, L _ { lambda}). }$

Теорема Бореля – Вейля утверждает, что если λ это доминирующий интегральный вес, то это представление является голоморфный несводимый представление наивысшего веса из грамм с наибольшим весом λ. Его ограничение K является неприводимое унитарное представление из K с наибольшим весом λ, и каждое неприводимое унитарное представление K получается таким образом для уникального значения λ. (Голоморфным представлением комплексной группы Ли является такое представление алгебры Ли, для которого сложный линейный.)

Конкретное описание

Вес λ порождает характер (одномерное представление) борелевской подгруппы B, который обозначается χ_λ. Голоморфные сечения голоморфного линейного расслоения L_λ над грамм/B можно описать более конкретно как голоморфные отображения

${ displaystyle f: G to mathbb {C} _ { lambda}: f (gb) = chi _ { lambda} (b ^ {- 1}) f (g)}$

для всех грамм ∈ грамм и б ∈ B.

Действие грамм по этим разделам дается

${ Displaystyle г cdot е (ч) = е (г ^ {- 1} ч)}$

за грамм, час ∈ грамм.

Пример

Позволять грамм быть сложным специальная линейная группа SL (2, C), с борелевской подгруппой, состоящей из верхнетреугольных матриц с определителем. Интегральные веса для грамм можно отождествить с целые числа, с доминирующими весами, соответствующими неотрицательным целым числам, и соответствующие символы χ_п из B иметь форму

${ displaystyle chi _ {n} { begin {pmatrix} a & b 0 & a ^ {- 1} end {pmatrix}} = a ^ {n}.}$

Разновидность флага грамм/B может быть отождествлен с сложная проективная линия CP¹ с однородные координаты Икс, Y и пространство глобальных сечений линейного расслоения L_п отождествляется с пространством однородных многочленов степени п на C². За п ≥ 0, это пространство имеет измерение п + 1 и образует неприводимое представление при стандартном действии грамм на алгебре многочленов C[Икс, Y]. Весовые векторы задаются одночленами

${ Displaystyle Х ^ {я} Y ^ {N-I}, quad 0 Leq я Leq N}$

весов 2я − п, и вектор наибольшего веса Икс^п имеет вес п.

Смотрите также

• Теорема старшего веса

Примечания

Рекомендации

• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103..
• Бастон, Роберт Дж .; Иствуд, Майкл Г. (1989), Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представлений, Oxford University Press. (переизданный от Дувра)
• «Теорема Ботта – Бореля – Вейля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Доказательство теоремы Бореля – Вейля – Ботта., к Джейкоб Лурье. Проверено 13 июля, 2014.
• Серр, Жан-Пьер (1954) [1951], «Репрезентации линий и пространств гомогенов kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)», Séminaire Bourbaki, 2 (100): 447–454. На французском; переведенное название: «Линейные представления и кэлеровы однородные пространства компактных групп Ли (по Арману Борелю и Андре Вейлю)».
• Сиськи, Жак (1955), О некоторых классах гомогенных пространств Ли групп Ли, Акад. Рой. Бельг. Cl. Sci. Mém. Coll., 29 На французском.
• Сепански, Марк Р. (2007), Компактные группы Ли., Тексты для выпускников по математике, 235, Нью-Йорк: Springer, ISBN  9780387302638.
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор на примерах, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press. Перепечатка оригинала 1986 года.

дальнейшее чтение

• Телеман, Константин (1998). "Теория Бореля – Вейля – Ботта на стеке модулей грамм- рассыпается по кривой ». Inventiones Mathematicae. 134 (1): 1–57. Дои:10.1007 / s002220050257. МИСТЕР  1646586.

В статье использован материал из теоремы Бореля – Ботта – Вейля о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.