Карта Иордании - Jordan map

В теоретической физике Карта Иордании, часто также называемый Карта Иордании – Швингера карта из матриц $M ij$ к билинейным выражениям квантовых осцилляторов, которые ускоряют вычисление представлений Алгебры Ли происходящие в физике. Он был представлен Паскуаль Джордан в 1935 г.^[1] и использовался Джулиан Швингер^[2] в 1952 г., чтобы заново разработать теорию квантовый угловой момент эффективно, учитывая простоту организации (симметричной) карты представления из вс (2) в Пространство фока.

На карте используется несколько операторы создания и уничтожения ${ displaystyle a_ {i} ^ { dagger}}$ и ${ Displaystyle а_ {я} ^ {,}}$ рутинного использования в квантовые теории поля и проблемы с телом, каждая пара представляет собой квантовый гармонический осциллятор Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в многоуровневомбозон система,

{ displaystyle [a_ {i} ^ {,}, a_ {j} ^ { dagger}] Equiv a_ {i} ^ {,} a_ {j} ^ { dagger} -a_ {j} ^ { dagger} a_ {i} ^ {,} = delta _ {ij},}

{ displaystyle [a_ {i} ^ { dagger}, a_ {j} ^ { dagger}] = [a_ {i} ^ {,}, a_ {j} ^ {,}] = 0,}

где ${ Displaystyle [ , ]}$ это коммутатор и ${ displaystyle delta _ {ij}}$ это Дельта Кронекера.

Эти операторы меняют собственные значения оператора оператор числа,

{ displaystyle N = sum _ {i} n_ {i} = sum _ {i} a_ {i} ^ { dagger} a_ {i} ^ {,}}

,

по одному, что касается многомерные квантовые гармонические осцилляторы.

Отображение Жордана из набора матриц $M ij$ к билинейным операторам в пространстве Фока $M$ ,

{ displaystyle { mathbf {M}} qquad longmapsto qquad M Equiv sum _ {i, j} a_ {i} ^ { dagger} { mathbf {M}} _ {ij} a_ {j } ~,}

явно Алгебра Ли изоморфизм, т.е. операторы $M$ удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и матрицы $M$ .

Например, изображение Матрицы Паули из SU (2) на этой карте,

{ displaystyle { vec {J}} Equiv { mathbf {a}} ^ { dagger} cdot { frac { vec { sigma}} {2}} cdot { mathbf {a}} ^ {,} ~,}

для двухвекторного а^†песок аs удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и SU (2), и, более того, опираясь на отношение полноты для матриц Паули,

{ Displaystyle J ^ {2} Equiv { vec {J}} cdot { vec {J}} = { frac {N} {2}} left ({ frac {N} {2}} +1 вправо) ~.}

Это отправная точка трактовки Швингером теории квантового углового момента, основанной на действии этих операторов на фоковские состояния, построенные из произвольных высших степеней таких операторов. Например, действуя на (ненормализованное) собственное состояние Фока,

{ displaystyle J ^ {2} ~ a_ {1} ^ { dagger k} a_ {2} ^ { dagger n} | 0 rangle = { frac {k + n} {2}} left ({ frac {k + n} {2}} + 1 right) ~ a_ {1} ^ { dagger k} a_ {2} ^ { dagger n} | 0 rangle ~,}

в то время как

{ displaystyle J_ {z} ~ a_ {1} ^ { dagger k} a_ {2} ^ { dagger n} | 0 rangle = { frac {1} {2}} left (kn right) ~ a_ {1} ^ { dagger k} a_ {2} ^ { dagger n} | 0 rangle ~,}

так что для $j =(к + п)/2, м =(k - n)/2$ , это пропорционально собственному состоянию $| j, м 〉$ , ^[3]

{ displaystyle | j, m rangle = { frac {a_ {1} ^ { dagger ~ k} a_ {2} ^ { dagger ~ n}} { sqrt {k! ~ n!}}} | 0 rangle ~.}

Наблюдать ${ displaystyle J _ {+} = a_ {1} ^ { dagger} a_ {2}}$ и ${ displaystyle J _ {-} = a_ {2} ^ { dagger} a_ {1}}$ .

Антисимметричные представления алгебр Ли могут быть дополнительно адаптированы с помощью фермионных операторов ${ displaystyle b_ {i} ^ { dagger}}$ и ${ displaystyle b_ {i} ^ {,}}$ , как также предложил Джордан. Для фермионы, коммутатор заменяется на антикоммутатор ${ Displaystyle { , }}$ ,

{ displaystyle {b_ {i} ^ {,}, b_ {j} ^ { dagger} } Equiv b_ {i} ^ {,} b_ {j} ^ { dagger} + b_ {j } ^ { dagger} b_ {i} ^ {,} = delta _ {ij},}

{ displaystyle {b_ {i} ^ { dagger}, b_ {j} ^ { dagger} } = {b_ {i} ^ {,}, b_ {j} ^ {,} } = 0.}

Следовательно, замена непересекающихся (т.е. ${ displaystyle i neq j}$ ) операторы в продукте создания операторов уничтожения будут менять знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.

Смотрите также

использованная литература

^ Джордан, Паскуаль (1935). "Der Zusammenhang der symrischen und linearen Gruppen und das Mehrkörperproblem", Zeitschrift für Physik 94, Выпуск 7-8, 531-535
^ Швингер, Дж. (1952). "На угловом моменте", Неопубликованный отчет, Гарвардский университет, Nuclear Development Associates, Inc., Министерство энергетики США (через агентство-предшественник Комиссия по атомной энергии ), Номер отчета NYO-3071 (26 января 1952 г.).
^ Сакураи, Дж. Дж. И Наполитано, Дж. Дж. (2010), Современная квантовая механика, Пирсон ISBN 978-0805382914.

[1] Джордан, Паскуаль (1935). "Der Zusammenhang der symrischen und linearen Gruppen und das Mehrkörperproblem", Zeitschrift für Physik 94, Выпуск 7-8, 531-535

[2] Швингер, Дж. (1952). "На угловом моменте", Неопубликованный отчет, Гарвардский университет, Nuclear Development Associates, Inc., Министерство энергетики США (через агентство-предшественник Комиссия по атомной энергии ), Номер отчета NYO-3071 (26 января 1952 г.).

[3] Сакураи, Дж. Дж. И Наполитано, Дж. Дж. (2010), Современная квантовая механика, Пирсон ISBN 978-0805382914.

[1]

[2]

[3]