Квантовый гармонический осциллятор - Quantum harmonic oscillator

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

Некоторые траектории движения гармонический осциллятор в соответствии с Законы Ньютона из классическая механика (A – B), и согласно Уравнение Шредингера из квантовая механика (C – H). В A – B частица (представленная в виде шара, прикрепленного к весна ) колеблется вперед и назад. На C – H показаны некоторые решения уравнения Шредингера, где горизонтальная ось - положение, а вертикальная ось - действительная часть (синий) или мнимая часть (красный) волновая функция. C, D, E, F, но не G, H, являются собственные состояния энергии. H - это когерентное состояние - квантовое состояние, приближающееся к классической траектории.

В квантовый гармонический осциллятор это квантово-механический аналог классический гармонический осциллятор. Поскольку произвольная гладкая потенциал обычно можно аппроксимировать как гармонический потенциал в непосредственной близости от конюшни точка равновесия, это одна из самых важных модельных систем в квантовой механике. Кроме того, это одна из немногих квантово-механических систем, для которых точная, аналитическое решение известен.^[1][2][3]

Одномерный гармонический осциллятор

Гамильтониан и собственные состояния энергии

Представления волновых функций для первых восьми связанных собственных состояний, п = От 0 до 7. Горизонтальная ось показывает положение Икс.

Соответствующие плотности вероятности.

В Гамильтониан частицы составляет:

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + { frac {1} {2}} k { hat {x}} ^ {2} = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + { frac {1} {2}} m omega ^ {2} { hat {x}} ^ {2} ,,}$

куда м - масса частицы, k - силовая постоянная, ${ displaystyle omega = { sqrt { frac {k} {m}}}}$ это угловая частота осциллятора, ${ displaystyle { hat {x}}}$ это оператор позиции (предоставлено Икс), и ${ displaystyle { hat {p}}}$ это оператор импульса (предоставлено ${ displaystyle { hat {p}} = - я hbar { partial over partial x} ,}$). Первый член в гамильтониане представляет кинетическую энергию частицы, а второй член представляет ее потенциальную энергию, как в Закон Гука.

Можно написать не зависящий от времени Уравнение Шредингера,

${ displaystyle { hat {H}} left | psi right rangle = E left | psi right rangle ~,}$

куда E обозначает подлежащее определению действительное число, которое будет определять не зависящее от времени уровень энергии, или же собственное значение, а решение |ψ⟩ обозначает энергию этого уровня собственное состояние.

Можно решить дифференциальное уравнение, представляющее эту проблему собственных значений в координатном базисе, для волновая функция ⟨Икс|ψ⟩ = ψ(Икс), используя спектральный метод. Оказывается, есть семейство решений. На этой основе они составляют Функции Эрмита,

${ displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {1} { sqrt {2 ^ {n} , n!}}} cdot left ({ frac {m omega} { pi hbar}} right) ^ {1/4} cdot e ^ {- { frac {m omega x ^ {2}} {2 hbar}}} cdot H_ {n} left ({ sqrt { frac {m omega} { hbar}}} x right), qquad n = 0,1,2, ldots.}$

Функции ЧАС_п физики Полиномы Эрмита,

${ displaystyle H_ {n} (z) = (- 1) ^ {n} ~ e ^ {z ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} left ( e ^ {- z ^ {2}} right).}$

Соответствующие уровни энергии:

${ displaystyle E_ {n} = hbar omega left (n + {1 over 2} right) = (2n + 1) { hbar over 2} omega ~.}$

Этот энергетический спектр заслуживает внимания по трем причинам. Во-первых, энергии квантуются, что означает, что только дискретные значения энергии (целые плюс половину кратных ħω) возможны; это общая черта квантово-механических систем, когда частица удерживается. Во-вторых, эти дискретные уровни энергии расположены на одинаковом расстоянии, в отличие от Модель Бора атома, или частица в коробке. В-третьих, наименьшая достижимая энергия (энергия п = 0 государство, названное основное состояние ) не равна минимуму потенциальной ямы, но ħω/2 над ним; это называется энергия нулевой точки. Из-за энергии нулевой точки положение и импульс осциллятора в основном состоянии не фиксированы (как в классическом осцилляторе), но имеют небольшой диапазон отклонений в соответствии с Принцип неопределенности Гейзенберга.

Плотность вероятности основного состояния сосредоточена в начале координат, что означает, что частица проводит большую часть своего времени на дне потенциальной ямы, как и следовало ожидать от состояния с небольшой энергией. По мере увеличения энергии пик плотности вероятности приходится на классические "поворотные точки", где энергия состояния совпадает с потенциальной энергией. (См. Обсуждение высоковозбужденных состояний ниже.) Это согласуется с классическим гармоническим осциллятором, в котором частица проводит больше времени (и, следовательно, с большей вероятностью обнаруживается) вблизи точек поворота, где она перемещает самый медленный. В принцип соответствия таким образом удовлетворен. Кроме того, специальные недисперсные волновые пакеты, с минимальной неопределенностью, называемой когерентные состояния колеблются очень похоже на классические объекты, как показано на рисунке; они есть нет собственные состояния гамильтониана.

Метод лестничного оператора

Плотности вероятностей |ψ_п(Икс)|² для связанных собственных состояний, начиная с основного состояния (п = 0) внизу и возрастает по энергии кверху. Горизонтальная ось показывает положение Икс, а более яркие цвета представляют более высокую плотность вероятности.

"оператор лестницы "метод, разработанный Поль Дирак, позволяет извлекать собственные значения энергии без прямого решения дифференциального уравнения. Его можно обобщить на более сложные проблемы, особенно в квантовая теория поля. Следуя этому подходу, мы определяем операторы а и это прилегающий а^†,

${ displaystyle { begin {align} a & = { sqrt {m omega over 2 hbar}} left ({ hat {x}} + {i over m omega} { hat {p}) } right) a ^ { dagger} & = { sqrt {m omega over 2 hbar}} left ({ hat {x}} - {i over m omega} { hat {p}} right) end {align}}}$

Это приводит к полезному представлению ${ displaystyle { hat {x}}}$ и ${ displaystyle { hat {p}}}$,

${ displaystyle { begin {align} { hat {x}} & = { sqrt { frac { hbar} {2m omega}}} (a ^ { dagger} + a) { hat {p}} & = i { sqrt { frac { hbar m omega} {2}}} (a ^ { dagger} -a) ~. end {align}}}$

Оператор а не является Эрмитский, так как сам и прилегающий а^† не равны. Собственные состояния энергии |п⟩, при работе с этими операторами лестницы дают

${ displaystyle { begin {align} a ^ { dagger} | n rangle & = { sqrt {n + 1}} | n + 1 rangle a | n rangle & = { sqrt {n }} | n-1 rangle. end {align}}}$

Тогда очевидно, что а^†, по сути, добавляет к осциллятору единичный квант энергии, в то время как а убирает квант. По этой причине их иногда называют операторами «создания» и «уничтожения».

Из приведенных выше соотношений мы также можем определить числовой оператор N, который обладает следующим свойством:

${ displaystyle { begin {align} N & = a ^ { dagger} a N left | n right rangle & = n left | n right rangle. end {align}}}$

Следующее коммутаторы легко получить, подставив каноническое коммутационное соотношение,

${ displaystyle [a, a ^ { dagger}] = 1, qquad [N, a ^ { dagger}] = a ^ { dagger}, qquad [N, a] = - a,}$

А оператор Гамильтона можно выразить как

${ displaystyle { hat {H}} = hbar omega left (N + { frac {1} {2}} right),}$

так что собственное состояние N также является собственным состоянием энергии.

Свойство коммутации дает

${ displaystyle { begin {align} Na ^ { dagger} | n rangle & = left (a ^ { dagger} N + [N, a ^ { dagger}] right) | n rangle & = left (a ^ { dagger} N + a ^ { dagger} right) | n rangle & = (n + 1) a ^ { dagger} | n rangle, end {выровнено }}}$

и аналогично,

${ displaystyle Na | n rangle = (n-1) a | n rangle.}$

Это означает, что а действует на |п⟩ производить с точностью до мультипликативной постоянной |п–1⟩, и а^† действует на |п⟩ производить |п+1⟩. По этой причине, а называется оператор аннигиляции («оператор опускания»), и а^† а оператор создания («оператор повышения»). Два оператора вместе называются лестничные операторы. В квантовой теории поля а и а^† альтернативно называются операторами «аннигиляции» и «созидания», потому что они разрушают и создают частицы, которые соответствуют нашим квантам энергии.

Для любого собственного состояния энергии мы можем воздействовать на него с помощью понижающего оператора, а, чтобы создать другое собственное состояние с ħω меньше энергии. Путем многократного применения оператора понижения кажется, что мы можем получить собственные энергетические состояния вплоть до E = −∞. Однако, поскольку

${ displaystyle n = langle n | N | n rangle = langle n | a ^ { dagger} a | n rangle = { Bigl (} a | n rangle { Bigr)} ^ { dagger } a | n rangle geqslant 0,}$

наименьшее собственное число равно 0, и

${ displaystyle a left | 0 right rangle = 0.}$

В этом случае последующие применения оператора понижения просто произведут нулевые кеты вместо дополнительных собственных состояний энергии. Кроме того, мы показали выше, что

${ displaystyle { hat {H}} left | 0 right rangle = { frac { hbar omega} {2}} left | 0 right rangle}$

Наконец, воздействуя на | 0⟩ повышающим оператором и умножая на подходящие коэффициенты нормализации, мы можем создать бесконечный набор собственных состояний энергии

${ Displaystyle left { left | 0 right rangle, left | 1 right rangle, left | 2 right rangle, ldots, left | n right rangle, ldots right },}$

такой, что

${ displaystyle { hat {H}} left | n right rangle = hbar omega left (n + { frac {1} {2}} right) left | n right rangle,}$

что соответствует энергетическому спектру, приведенному в предыдущем разделе.

Произвольные собственные состояния могут быть выражены через | 0⟩,

${ displaystyle | n rangle = { frac {(a ^ { dagger}) ^ {n}} { sqrt {n!}}} | 0 rangle.}$

Доказательство:

${ displaystyle { begin {align} langle n | aa ^ { dagger} | n rangle & = langle n | left ([a, a ^ { dagger}] + a ^ { dagger} a right) | n rangle = langle n | (N + 1) | n rangle = n + 1 Rightarrow a ^ { dagger} | n rangle & = { sqrt {n + 1}} | n + 1 rangle Rightarrow | n rangle & = { frac {a ^ { dagger}} { sqrt {n}}} | n-1 rangle = { frac {(a ^ { dagger}) ^ {2}} { sqrt {n (n-1)}}} | n-2 rangle = cdots = { frac {(a ^ { dagger}) ^ {n}} { sqrt {n!}}} | 0 rangle. end {align}}}$

Аналитические вопросы

Предыдущий анализ является алгебраическим и использует только коммутационные соотношения между повышающими и понижающими операторами. После завершения алгебраического анализа следует перейти к аналитическим вопросам. Сначала нужно найти основное состояние, то есть решение уравнения ${ displaystyle a psi _ {0} = 0}$. В позиционном представлении это дифференциальное уравнение первого порядка

${ displaystyle left (x + { frac { hbar} {m omega}} { frac {d} {dx}} right) psi _ {0} = 0}$,

решение которой легко найти гауссовским^[4]

${ displaystyle psi _ {0} (x) = Ce ^ {- { frac {m omega x ^ {2}} {2 hbar}}}}$.

Концептуально важно, чтобы у этого уравнения было только одно решение; если бы было, скажем, два линейно независимых основных состояния, мы получили бы две независимые цепочки собственных векторов для гармонического осциллятора. После вычисления основного состояния можно индуктивно показать, что возбужденные состояния представляют собой полиномы Эрмита, умноженные на гауссово основное состояние, используя явную форму повышающего оператора в представлении положения. Можно также доказать, что, как и ожидалось из единственности основного состояния, собственные состояния энергии функций Эрмита ${ displaystyle psi _ {n}}$ построенные лестничным методом из полный ортонормированный набор функций.^[5]

Явно связываясь с предыдущим разделом, основное состояние | 0⟩ в представлении позиции определяется ${ displaystyle a | 0 rangle = 0}$,

${ displaystyle left langle x mid a mid 0 right rangle = 0 qquad Rightarrow left (x + { frac { hbar} {m omega}} { frac {d} {dx}) } right) left langle x mid 0 right rangle = 0 qquad Rightarrow}$

${ displaystyle left langle x mid 0 right rangle = left ({ frac {m omega} { pi hbar}} right) ^ { frac {1} {4}} exp left (- { frac {m omega} {2 hbar}} x ^ {2} right) = psi _ {0} ~,}$

следовательно

${ displaystyle langle x mid a ^ { dagger} mid 0 rangle = psi _ {1} (x) ~,}$

так что ${ displaystyle psi _ {1} (x, t) = langle x mid e ^ {- 3i omega t / 2} a ^ { dagger} mid 0 rangle}$, и так далее.

Естественная длина и шкала энергии

Квантовый гармонический осциллятор имеет естественные масштабы длины и энергии, которые можно использовать для упрощения проблемы. Их можно найти обезразмеривание.

В результате, если энергия измеряется в единицах ħω и расстояние в единицах √час/(mω), то гамильтониан упрощается до

${ displaystyle H = - { frac {1} {2}} {d ^ {2} over dx ^ {2}} + { frac {1} {2}} x ^ {2},}$

в то время как собственные функции энергии и собственные значения упрощаются до функций Эрмита и целых чисел, смещенных наполовину,

${ displaystyle psi _ {n} (x) = left langle x mid n right rangle = {1 over { sqrt {2 ^ {n} n!}}} ~ pi ^ {- 1/4} exp (-x ^ {2} / 2) ~ H_ {n} (x),}$

${ Displaystyle E_ {п} = п + { tfrac {1} {2}} ~,}$

куда ЧАС_п(Икс) являются Полиномы Эрмита.

Во избежание недоразумений, эти «натуральные единицы» в данной статье не используются. Однако они часто пригодятся при выполнении расчетов, избегая беспорядка.

Например, фундаментальное решение (пропагатор ) из H − i∂_т, зависящий от времени оператор Шредингера для этого осциллятора просто сводится к Ядро Мелера,^[6][7]

${ displaystyle langle x mid exp (-itH) mid y rangle Equiv K (x, y; t) = { frac {1} { sqrt {2 pi i sin t}}} exp left ({ frac {i} {2 sin t}} left ((x ^ {2} + y ^ {2}) cos t-2xy right) right) ~,}$

куда K(Икс,у;0) =δ(Икс − у). Наиболее общее решение для данной начальной конфигурации ψ(Икс,0) тогда просто

${ Displaystyle psi (x, t) = int dy ~ K (x, y; t) psi (y, 0) ~.}$

Когерентные состояния

Эволюция во времени распределения вероятностей (и фазы, показанной цветом) когерентного состояния с |α|=3.

В когерентные состояния гармонического осциллятора являются специальными недисперсными волновые пакеты, с минимальной неопределенностью σ_Икс σ_п = ​^ℏ⁄₂, чей наблюдаемые ' ожидаемые значения развиваться как классическая система. Они являются собственными векторами оператора уничтожения, нет гамильтониан и образуют переполнен основание, которое, следовательно, не имеет ортогональности.

Когерентные состояния индексируются α ∈ ℂ и выражается в | n⟩ основа как

${ displaystyle | alpha rangle = sum _ {n = 0} ^ { infty} | n rangle langle n | alpha rangle = e ^ {- { frac {1} {2}} | alpha | ^ {2}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { alpha ^ {n}} { sqrt {n!}}} | n rangle = e ^ {- { frac {1} {2}} | alpha | ^ {2}} e ^ { alpha a ^ { dagger}} | 0 rangle}$.

Потому что ${ Displaystyle а влево | 0 вправо rangle = 0}$ и через тождество Кермака-МакКрея последняя форма эквивалентна унитарный оператор смещения действующие на основном состоянии: ${ displaystyle | alpha rangle = e ^ { alpha { hat {a}} ^ { dagger} - alpha ^ {*} { hat {a}}} | 0 rangle = D ( alpha ) | 0 rangle}$. В позиционное пространство волновые функции

${ displaystyle psi _ { alpha} (x ') = left ({ frac {m omega} { pi hbar}} right) ^ { frac {1} {4}} e ^ { { frac {i} { hbar}} langle { hat {p}} rangle _ { alpha} x '- { frac {m omega} {2 hbar}} (x' - langle { hat {x}} rangle _ { alpha}) ^ {2}}}$.

Поскольку когерентные состояния не являются собственными состояниями энергии, их эволюция во времени не является простым сдвигом фазы волновой функции. Состояния с временной эволюцией, однако, также являются когерентными, но с параметром сдвига фазы α вместо: ${ Displaystyle альфа (T) = альфа (0) ехр (-i omega t)}$.

Сильновозбужденные состояния

Возбужденное состояние с п= 30, с вертикальными линиями, указывающими точки поворота

Когда п велико, собственные состояния локализованы в классической разрешенной области, то есть в области, в которой классическая частица с энергией E_п может двигаться. Собственные состояния достигают максимума около поворотных точек: точек на концах классически разрешенной области, где классическая частица меняет направление. Это явление можно проверить с помощью асимптотика полиномов Эрмита, а также через Приближение ВКБ.

Частота колебаний при Икс пропорциональна импульсу п(Икс) классической частицы энергии E_п и положение Икс. Кроме того, квадрат амплитуды (определяющий плотность вероятности) равен обратно пропорционально п(Икс), отражающий время, в течение которого классическая частица проводит около Икс. Поведение системы в небольшой окрестности точки поворота не имеет простого классического объяснения, но может быть смоделировано с помощью Функция Эйри. Используя свойства функции Эйри, можно приблизительно оценить вероятность нахождения частицы за пределами классически разрешенной области.

${ displaystyle { frac {2} {n ^ {1/3} 3 ^ {2/3} Gamma ^ {2} ({ tfrac {1} {3}})}} = { frac {1 } {п ^ {1/3} cdot 7.46408092658 ...}}}$

Это также асимптотически задается интегралом

${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {(2n + 1) left (x - { tfrac {1} {2}} sinh (2x) right)} dx ~.}$

Решения в фазовом пространстве

в формулировка фазового пространства квантовой механики, собственные состояния квантового гармонического осциллятора в несколько разных представлений из распределение квазивероятностей можно записать в закрытом виде. Наиболее широко используются для Распределение квазивероятностей Вигнера.

Распределение квазивероятностей Вигнера для собственного состояния энергии |п⟩ в натуральных единицах, описанных выше,^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle F_ {n} (x, p) = { frac {(-1) ^ {n}} { pi hbar}} L_ {n} left (2 (x ^ {2} + p ^ {2}) right) e ^ {- (x ^ {2} + p ^ {2})} ~,}$

куда L_п являются Полиномы Лагерра. Этот пример показывает, как полиномы Эрмита и Лагерра связаны сквозь Карта Вигнера.

Между тем Функция Хусими Q собственных состояний гармонического осциллятора имеют еще более простой вид. Если мы работаем в натуральных единицах, описанных выше, мы имеем

${ displaystyle Q_ {n} (x, p) = { frac {(x ^ {2} + p ^ {2}) ^ {n}} {n!}} { frac {e ^ {- (x ^ {2} + p ^ {2})}} { pi}}}$

Это утверждение можно проверить с помощью Преобразование Сегала – Баргмана. В частности, поскольку поднимающий оператор в представлении Сигала – Баргмана просто умножение на ${ displaystyle z = x + ip}$ а основное состояние - постоянная функция 1, нормированные состояния гармонического осциллятора в этом представлении просто ${ displaystyle z ^ {n} / { sqrt {n!}}}$ . На этом этапе мы можем обратиться к формуле для функции Хусими Q в терминах преобразования Сигала – Баргмана.

N-мерный изотропный гармонический осциллятор

Одномерный гармонический осциллятор легко обобщается на N размеры, где N = 1, 2, 3, .... В одном измерении положение частицы задавалось одним координировать, Икс. В N размеры, это заменено на N координаты позиции, которые мы помечаем Икс₁, ..., Икс_N. Каждой координате положения соответствует импульс; мы маркируем это п₁, ..., п_N. В канонические коммутационные соотношения между этими операторами

${ displaystyle { begin {align} {[} x_ {i}, p_ {j} {]} & = i hbar delta _ {i, j} {[} x_ {i}, x_ {j } {]} & = 0 {[} p_ {i}, p_ {j} {]} & = 0 end {align}}}$

Гамильтониан этой системы равен

${ displaystyle H = sum _ {i = 1} ^ {N} left ({p_ {i} ^ {2} over 2m} + {1 over 2} m omega ^ {2} x_ {i) } ^ {2} right).}$

Как ясно из вида этого гамильтониана, N-мерный гармонический осциллятор в точности аналогичен N независимые одномерные гармонические осцилляторы с одинаковой массой и жесткостью пружины. В этом случае величины Икс₁, ..., Икс_N будет относиться к позициям каждого из N частицы. Это удобное свойство ${ displaystyle r ^ {2}}$ потенциал, который позволяет разделить потенциальную энергию на члены в зависимости от каждой координаты.

Это наблюдение делает решение простым. Для определенного набора квантовых чисел ${ Displaystyle {п } эквив {п_ {1}, п_ {2}, точки, п_ {N} }}$ собственные функции энергии для N-мерный осциллятор выражается через одномерные собственные функции как:

${ displaystyle langle mathbf {x} | psi _ { {n }} rangle = prod _ {i = 1} ^ {N} langle x_ {i} mid psi _ {n_ { i}} rangle}$

В методе лестничного оператора мы определяем N наборы лестничных операторов,

${ displaystyle { begin {align} a_ {i} & = { sqrt {m omega over 2 hbar}} left (x_ {i} + {i over m omega} p_ {i} справа), a_ {i} ^ { dagger} & = { sqrt {m omega over 2 hbar}} left (x_ {i} - {i over m omega} p_ {i} right). end {align}}}$

Затем, аналогично одномерному случаю, мы можем показать, что каждый из а_я и а^†_я операторы понижают и увеличивают энергию на ℏω соответственно. Гамильтониан

${ displaystyle H = hbar omega , sum _ {i = 1} ^ {N} left (a_ {i} ^ { dagger} , a_ {i} + { frac {1} {2 }}верно).}$

Этот гамильтониан инвариантен относительно группы динамической симметрии U(N) (унитарная группа в N размеры), определяемые

${ Displaystyle U , a_ {i} ^ { dagger} , U ^ { dagger} = sum _ {j = 1} ^ {N} a_ {j} ^ { dagger} , U_ {ji } quad { text {для всех}} quad U in U (N),}$

куда ${ displaystyle U_ {ji}}$ является элементом определяющего матричного представления U(N).

Уровни энергии системы

${ displaystyle E = hbar omega left [(n_ {1} + cdots + n_ {N}) + {N over 2} right].}$

${ displaystyle n_ {i} = 0,1,2, dots quad ({ text {уровень энергии в измерении}} i).}$

Как и в одномерном случае, квантуется энергия. Энергия основного состояния равна N умноженной на одномерную энергию земли, как и следовало ожидать, используя аналогию с N независимые одномерные осцилляторы. Есть еще одно отличие: в одномерном случае каждому энергетическому уровню соответствует уникальное квантовое состояние. В N-размерности, кроме основного состояния, уровни энергии выродиться, что означает наличие нескольких состояний с одинаковой энергией.

Вырождение можно вычислить относительно легко. В качестве примера рассмотрим трехмерный случай: Определить п = п₁ + п₂ + п₃. Все государства с одинаковым п будет иметь такую ​​же энергию. Для данного п, мы выбираем конкретный п₁. потом п₂ + п₃ = п − п₁. Есть п − п₁ + 1 возможная пара {п₂, п₃}. п₂ может принимать значения от 0 до п − п₁, и для каждого п₂ значение п₃ фиксированный. Следовательно, степень вырождения составляет:

${ displaystyle g_ {n} = sum _ {n_ {1} = 0} ^ {n} n-n_ {1} +1 = { frac {(n + 1) (n + 2)} {2} }}$

Формула для общего N и п [грамм_п размерность симметричной неприводимой п^th степенное представление унитарной группы U(N)]:

${ displaystyle g_ {n} = { binom {N + n-1} {n}}}$

Особый случай N = 3, приведенное выше, непосредственно следует из этого общего уравнения. Однако это верно только для различимых частиц или одной частицы в N измерениях (поскольку размеры различимы). В случае N бозонов в одномерной гармонической ловушке, вырождение масштабируется как количество способов разбить целое число п с использованием целых чисел, меньших или равных N.

${ displaystyle g_ {n} = p (N _ {-}, n)}$

Это возникает из-за ограничения размещения N квантов в состояние кет, где ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} kn_ {k} = n}$ и ${ Displaystyle сумма _ {к = 0} ^ { infty} п_ {к} = N}$, которые являются теми же ограничениями, что и в целочисленном разделе.

Пример: трехмерный изотропный гармонический осциллятор

Решения Шредингера для трехмерных сферических гармонических орбиталей на двухмерных графиках плотности; то Mathematica исходный код, который использовался для создания графиков, находится вверху

Уравнение Шредингера сферически-симметричного трехмерного гармонического осциллятора может быть решено явно путем разделения переменных; видеть Эта статья для настоящего дела. Эта процедура аналогична разделению, проводимому в водородоподобный атом проблема, но с сферически симметричный потенциал

${ Displaystyle V (г) = {1 более 2} му омега ^ {2} г ^ {2},}$

куда μ это масса проблемы. Потому что м будет использоваться ниже для магнитного квантового числа, масса обозначена μ, вместо м, как и ранее в этой статье.

Решение гласит^[8]

${ displaystyle psi _ {klm} (r, theta, phi) = N_ {kl} r ^ {l} e ^ {- nu r ^ {2}} L_ {k} ^ {(l + {1 over 2})} (2 nu r ^ {2}) Y_ {lm} ( theta, phi)}$

куда

${ displaystyle N_ {kl} = { sqrt {{ sqrt { frac {2 nu ^ {3}} { pi}}} { frac {2 ^ {k + 2l + 3} ; k! ; nu ^ {l}} {(2k + 2l + 1) !!}}}} ~~}$ - нормировочная константа; ${ Displaystyle Nu Equiv { му omega более 2 hbar} ~}$;

${ displaystyle {L_ {k}} ^ {(l + {1 over 2})} (2 nu r ^ {2})}$

находятся обобщенные полиномы Лагерра; Приказ k полинома - целое неотрицательное число;

${ Displaystyle Y_ {lm} ( theta, phi) ,}$ это сферическая гармоническая функция;

час сокращенный Постоянная Планка:   ${ displaystyle hbar Equiv { frac {h} {2 pi}} ~.}$

Собственное значение энергии

${ displaystyle E = hbar omega left (2k + l + { frac {3} {2}} right) ~.}$

Энергия обычно описывается одним квантовое число

${ Displaystyle п эквив 2к + л ~.}$

Потому что k является неотрицательным целым числом для каждого четного п у нас есть ℓ = 0, 2, ..., п − 2, п и на каждый лишний п у нас есть ℓ = 1, 3, ..., п − 2, п . Магнитное квантовое число м целое число, удовлетворяющее −ℓ ≤ м ≤ ℓ, поэтому для каждого п и ℓ есть 2ℓ + 1 другой квантовые состояния, помеченный м . Таким образом, вырождение на уровне п является

${ displaystyle sum _ {l = ldots, n-2, n} (2l + 1) = {(n + 1) (n + 2) over 2} ~,}$

где сумма начинается с 0 или 1, в зависимости от того, п является четным или нечетным. Этот результат соответствует приведенной выше формуле размерности и составляет размерность симметричного представления SU(3),^[9] соответствующая группа вырождения.

Приложения

Решетка гармонических осцилляторов: фононы

Мы можем расширить понятие гармонического осциллятора на одномерную решетку многих частиц. Рассмотрим одномерную квантово-механическую гармоническая цепочка из N одинаковые атомы. Это простейшая квантово-механическая модель решетки, и мы увидим, как фононы возникают из этого. Формализм, который мы разработаем для этой модели, легко обобщается для двух и трех измерений.

Как и в предыдущем разделе, обозначим положение масс через Икс₁,Икс₂,..., как измерено от их положений равновесия (т.е. Икс_я = 0, если частица я находится в положении равновесия). В двух или более измерениях Икс_я - векторные величины. В Гамильтониан для этой системы

${ displaystyle mathbf {H} = sum _ {i = 1} ^ {N} {p_ {i} ^ {2} over 2m} + {1 over 2} m omega ^ {2} sum _ { {ij } (nn)} (x_ {i} -x_ {j}) ^ {2} ~,}$

куда м - (предполагаемая однородная) масса каждого атома, и Икс_я и п_я положение и импульс операторов для я th атом, и сумма ведется по ближайшим соседям (nn). Однако гамильтониан принято переписывать в терминах нормальные режимы из волновой вектор а не в терминах координат частиц, чтобы можно было работать в более удобном Пространство Фурье.

Затем мы вводим набор N "нормальные координаты" Q_k, определяемый как дискретные преобразования Фурье из Икспесок N "сопряженные импульсы" Π определяется как преобразования Фурье пс,

${ displaystyle Q_ {k} = {1 over { sqrt {N}}} sum _ {l} e ^ {ikal} x_ {l}}$

${ displaystyle Pi _ {k} = {1 over { sqrt {N}}} sum _ {l} e ^ {- ikal} p_ {l} ~.}$

Количество k_п окажется волновое число фонона, т.е. 2π разделенный на длина волны. Он принимает квантованные значения, потому что количество атомов конечно.

Это сохраняет желаемые коммутационные соотношения либо в реальном пространстве, либо в пространстве волновых векторов.

${ displaystyle { begin {align} left [x_ {l}, p_ {m} right] & = i hbar delta _ {l, m} left [Q_ {k}, Pi _ {k '} right] & = {1 over N} sum _ {l, m} e ^ {ikal} e ^ {- ik'am} [x_ {l}, p_ {m}] & = {i hbar over N} sum _ {m} e ^ {iam (k-k ')} = i hbar delta _ {k, k'} left [Q_ {k}, Q_ {k '} right] & = left [ Pi _ {k}, Pi _ {k'} right] = 0 ~. end {выравнивается}}}$

Из общего результата

${ displaystyle { begin {align} sum _ {l} x_ {l} x_ {l + m} & = {1 over N} sum _ {kk '} Q_ {k} Q_ {k'} sum _ {l} e ^ {ial left (k + k ' right)} e ^ {iamk'} = sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} e ^ {iamk} сумма _ {l} {p_ {l}} ^ {2} & = sum _ {k} Pi _ {k} Pi _ {- k} ~, end {align}}}$

с помощью элементарной тригонометрии легко показать, что член потенциальной энергии

${ displaystyle {1 over 2} m omega ^ {2} sum _ {j} (x_ {j} -x_ {j + 1}) ^ {2} = {1 over 2} m omega ^ {2} sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} (2-e ^ {ika} -e ^ {- ika}) = {1 over 2} m sum _ {k} { омега _ {k}} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k} ~,}$

куда

${ displaystyle omega _ {k} = { sqrt {2 omega ^ {2} (1- cos (ka))}} ~.}$

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

${ displaystyle mathbf {H} = {1 over {2m}} sum _ {k} left ({ Pi _ {k} Pi _ {- k}} + m ^ {2} omega _ {k} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k} right) ~.}$

Обратите внимание, что связи между переменными позиции были преобразованы; если Qпесок Πбыли эрмитский (а это не так), преобразованный гамильтониан описал бы N несвязанный гармонические осцилляторы.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты налагаем периодический граничные условия, определяющие (N + 1)-й атом как эквивалент первого атома. Физически это соответствует соединению цепочки на концах. Результирующее квантование

${ displaystyle k = k_ {n} = {2n pi over Na} quad { hbox {for}} n = 0, pm 1, pm 2, ldots, pm {N over 2 }. }$

Верхняя граница п исходит от минимальной длины волны, которая в два раза больше шага решетки а, как обсуждалось выше.

Собственные значения гармонического осциллятора или уровни энергии для моды ω_k находятся

${ displaystyle E_ {n} = left ({1 over 2} + n right) hbar omega _ {k} quad { hbox {for}} quad n = 0,1,2,3 , ldots}$

Если мы проигнорируем энергия нулевой точки тогда уровни равномерно расположены на

${ displaystyle hbar omega, , 2 hbar omega, , 3 hbar omega, , ldots}$

Так что точный количество энергия ħω, необходимо подать на решетку гармонического осциллятора, чтобы подтолкнуть ее к следующему уровню энергии. По сравнению с фотон случай, когда электромагнитное поле квантован, квант колебательной энергии называется фонон.

Все квантовые системы проявляют волнообразные свойства и свойства частиц. Частично-подобные свойства фонона лучше всего понять, используя методы второе квантование и операторские методы, описанные ниже.^[10]

В континуальном пределе а→0, N→ ∞, а Na фиксируется. Канонические координаты Q_k переходят к несвязанным импульсным модам скалярного поля, ${ displaystyle phi _ {k}}$, в то время как индекс местоположения я (не динамическая переменная смещения) становится параметр Икс аргумент скалярного поля, ${ Displaystyle фи (х, т)}$.

Молекулярные колебания

• Колебания двухатомная молекула являются примером двухчастичной версии квантового гармонического осциллятора. В этом случае угловая частота определяется выражением

${ displaystyle omega = { sqrt { frac {k} { mu}}}}$

куда ${ displaystyle mu = { frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$ это уменьшенная масса и ${ displaystyle m_ {1}}$ и ${ displaystyle m_ {2}}$ - массы двух атомов.^[11]

• В Атом Гука простая модель гелий атом с помощью квантового гармонического осциллятора.
• Моделирование фононов, о чем говорилось выше.
• Заряд ${ displaystyle q}$, с массой ${ displaystyle m}$, в однородном магнитном поле ${ displaystyle mathbf {B}}$, является примером одномерного квантового гармонического осциллятора: Квантование Ландау.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

• Квантовый гармонический осциллятор
• Обоснование выбора лестничных операторов
• Живые трехмерные графики интенсивности квантового гармонического осциллятора
• Управляемый и затухающий квантовый гармонический осциллятор (конспекты лекций по курсу «Квантовая оптика в электрических цепях»)