Функция Эйри - Википедия - Airy function

В физических науках Функция Эйри (или же Функция Эйри первого рода) Ай (Икс) это специальная функция назван в честь британского астронома Джордж Бидделл Эйри (1801–1892). Функция Ai (Икс) и связанная функция Би (Икс), являются линейно независимыми решениями дифференциальное уравнение

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - xy = 0, , !}$

известный как Уравнение Эйри или Уравнение Стокса. Это простейший второй порядок линейное дифференциальное уравнение с точкой поворота (точка, в которой характер решения меняется с колебательного на экспоненциальный).

Функция Эйри - это решение не зависящее от времени уравнение Шредингера для частицы, заключенной в треугольник потенциальная яма и для частицы в одномерном поле постоянной силы. По той же причине он также служит для обеспечения однородных полуклассических приближений вблизи точки поворота в Приближение ВКБ, когда потенциал может быть локально аппроксимирован линейной функцией положения. Решение с треугольной потенциальной ямой имеет прямое отношение к пониманию электронов, захваченных в полупроводнике. гетеропереходы.

Функция Эйри также лежит в основе формы интенсивности вблизи оптического направленного едкий, например, радуга. Исторически именно эта математическая проблема привела Эйри к разработке этой специальной функции.

А другая функция который также назван в честь Эйри, важен в микроскопия и астрономия; он описывает шаблон, из-за дифракция и вмешательство, произведенный точечный источник света (который намного меньше, чем предел разрешения микроскоп или же телескоп ).

Определения

Сюжет Ай (Икс) красным цветом и Bi (Икс) в синем

Для реальных значений Икс, функция Эйри первого рода может быть определена неподходящий Интеграл Римана:

${ displaystyle operatorname {Ai} (x) = { dfrac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} cos left ({ dfrac {t ^ {3}} { 3}} + xt right) , dt Equiv { dfrac {1} { pi}} lim _ {b to infty} int _ {0} ^ {b} cos left ({ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt right) , dt,}$

который сходится Тест Дирихле. Для любого реального числа ${ displaystyle x}$ есть положительное действительное число ${ displaystyle M}$ такая, что функция ${ displaystyle { dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$ является возрастающей, неограниченной и выпуклой с непрерывной и неограниченной производной на интервале ${ Displaystyle [М, infty)}$. Сходимость интеграла на этом интервале проверяется критерием Дирихле после подстановки ${ displaystyle u = { dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$.

у = Ai (Икс) удовлетворяет уравнению Эйри

${ displaystyle y '' - xy = 0.}$

Это уравнение имеет два линейно независимый решения. С точностью до скалярного умножения Ai (Икс) является решением с условием у → 0 как Икс → ∞. Стандартный выбор для другого решения - функция Эйри второго рода, обозначенная Bi (Икс). Он определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и Ai (Икс) в качестве Икс → −∞, отличающееся по фазе на π / 2:

${ displaystyle operatorname {Bi} (x) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} left [ exp left (- { tfrac {t ^ { 3}} {3}} + xt right) + sin left ({ tfrac {t ^ {3}} {3}} + xt right) , right] dt.}$

Характеристики

Значения Ai (Икс) и Bi (Икс) и их производные при Икс = 0 даются

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Ai} (0) & {} = { frac {1} {3 ^ { frac {2} {3}} Gamma ({ tfrac {2} { 3}})}}, & quad operatorname {Ai} '(0) & {} = - { frac {1} {3 ^ { frac {1} {3}} Gamma ({ tfrac { 1} {3}})}}, operatorname {Bi} (0) & {} = { frac {1} {3 ^ { frac {1} {6}} Gamma ({ tfrac { 2} {3}})}}, & quad operatorname {Bi} '(0) & {} = { frac {3 ^ { frac {1} {6}}} { Gamma ({ tfrac {1} {3}})}}. End {align}}}$

Здесь Γ обозначает Гамма-функция. Отсюда следует, что Вронскиан Ай (Икс) и Bi (Икс) равно 1 / π.

Когда Икс положительно, Ai (Икс) положительно, выпуклый, и экспоненциально убывает до нуля, а Bi (Икс) положительный, выпуклый и экспоненциально возрастающий. Когда Икс отрицательно, Ai (Икс) и Bi (Икс) колеблются около нуля с постоянно увеличивающейся частотой и постоянно уменьшающейся амплитудой. Это подтверждается приведенными ниже асимптотическими формулами для функций Эйри.

Функции Эйри ортогональны^[1] в том смысле, что

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {Ai} (t + x) operatorname {Ai} (t + y) dt = delta (x-y)}$

снова с использованием несобственного интеграла Римана.

Асимптотические формулы

Ai (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Ai (пурпурный)

Bi (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Bi (пурпурный)

Как объясняется ниже, функции Эйри могут быть расширены до комплексной плоскости, давая целые функции. Асимптотика функций Эйри при | z | уходит в бесконечность при постоянном значении аргумент (z) зависит от arg (z): это называется Феномен Стокса. Для | arg (z) | <π имеем асимптотическая формула для Ai (z):^[2]

${ displaystyle operatorname {Ai} (z) sim { dfrac {e ^ {- { frac {2} {3}} z ^ { frac {3} {2}}}} {2 { sqrt { pi}} , z ^ { frac {1} {4}}}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {(-1) ^ {n} Гамма (n + { frac {5} {6}}) Gamma (n + { frac {1} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {n}} {2 pi n! Z ^ {3n / 2}}} right].}$

и аналогичный для Bi (z), но применимо только когда | arg (z) | <π / 3:

${ displaystyle operatorname {Bi} (z) sim { frac {e ^ {{ frac {2} {3}} z ^ { frac {3} {2}}}} {{ sqrt { pi}} , z ^ { frac {1} {4}}}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac { Gamma (n + { frac {5} { 6}}) Gamma (n + { frac {1} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {n}} {2 pi n! Z ^ {3n / 2}}} right].}$

Более точная формула для Ai (z) и формулу для Bi (z), когда π / 3 <| arg (z) | <π или, что то же самое, для Ai (-z) и Bi (-z), когда | arg (z) | <2π / 3, но не равны нулю:^[2][3]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Ai} (-z) sim & {} { frac { sin left ({ frac {2} {3}} z ^ { frac {3}) {2}} + { frac { pi} {4}} right)} {{ sqrt { pi}} , z ^ { frac {1} {4}}}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {(-1) ^ {n} Gamma (2n + { frac {5} {6}}) Gamma (2n + { frac {1} {6 }}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {2n}} {2 pi (2n)! z ^ {3n}}} right] [6pt] & {} - { frac { cos left ({ frac {2} {3}} z ^ { frac {3} {2}} + { frac { pi} {4}} right)} {{ sqrt { pi}} , z ^ { frac {1} {4}}}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {(-1) ^ {n } Gamma (2n + { frac {11} {6}}) Gamma (2n + { frac {7} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {2n +1}} {2 pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} right] [6pt] operatorname {Bi} (-z) sim & {} { frac { cos left ({ frac {2} {3}} z ^ { frac {3} {2}} + { frac { pi} {4}} right)} {{ sqrt { pi}} , z ^ { frac {1} {4}}}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {(-1) ^ {n} Gamma ( 2n + { frac {5} {6}}) Gamma (2n + { frac {1} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {2n}} {2 pi (2n)! z ^ {3n}}} right] [6pt] & {} + { frac { sin left ({ frac {2} {3}} z ^ { frac { 3} {2}} + { frac { pi} {4}} right) } {{ sqrt { pi}} , z ^ { frac {1} {4}}}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {(-1) ^ {n} Gamma (2n + { frac {11} {6}}) Gamma (2n + { frac {7} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {2n + 1}} {2 pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} right]. End {выравнивается}}}$

Когда | arg (z) | = 0 это хорошие приближения, но они не являются асимптотическими, потому что отношение между Ai (-z) или Bi (-z), и указанное выше приближение стремится к бесконечности всякий раз, когда синус или косинус стремится к нулю.Асимптотические разложения для этих лимитов также доступны. Они перечислены в (Abramowitz and Stegun, 1954) и (Olver, 1974).

Также можно получить асимптотические выражения для этих производных Ai '(z) и Bi' (z). Как и раньше, когда | arg (z) | <π:^[3]

${ displaystyle operatorname {Ai} '(z) sim - { dfrac {z ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac {2} {3}} z ^ { frac {3} {2}}}} {2 { sqrt { pi}} ,}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1 + 6n} {1- 6n}} { dfrac {(-1) ^ {n} Gamma (n + { frac {5} {6}}) Gamma (n + { frac {1} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {n}} {2 pi n! z ^ {3n / 2}}} right].}$

Когда | arg (z) | <π / 3, мы имеем:^[3]

${ displaystyle operatorname {Bi} '(z) sim { frac {z ^ { frac {1} {4}} e ^ {{ frac {2} {3}} z ^ { frac {3 } {2}}}} {{ sqrt { pi}} ,}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1 + 6n} {1-6n}} { dfrac { Gamma (n + { frac {5} {6}}) Gamma (n + { frac {1} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {n}} {2 pi n! z ^ {3n / 2}}} right].}$

Аналогично, выражение для Ai '(-z) и Bi '(-z), когда | arg (z) | <2π / 3, но не равны нулю.^[3]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Ai} '(-z) sim & {} - { frac {z ^ { frac {1} {4}} cos left ({ frac { 2} {3}} z ^ { frac {3} {2}} + { frac { pi} {4}} right)} {{ sqrt { pi}} ,}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1 + 12n} {1-12n}} { dfrac {(-1) ^ {n} Gamma (2n + { frac {5} { 6}}) Gamma (2n + { frac {1} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {2n}} {2 pi (2n)! Z ^ {3n}}} right] [6pt] & {} - { frac {z ^ { frac {1} {4}} sin left ({ frac {2} {3}} z ^ { frac {3} {2}} + { frac { pi} {4}} right)} {{ sqrt { pi}} ,}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {7 + 12n} {- 5-12n}} { dfrac {(-1) ^ {n} Gamma (2n + { frac {11} {6}}) Gamma ( 2n + { frac {7} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {2n + 1}} {2 pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} right] [6pt] operatorname {Bi} '(-z) sim & {} { frac {z ^ { frac {1} {4}} sin left ( { frac {2} {3}} z ^ { frac {3} {2}} + { frac { pi} {4}} right)} {{ sqrt { pi}} ,} } left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1 + 12n} {1-12n}} { dfrac {(-1) ^ {n} Gamma (2n + { frac {5} {6}}) Gamma (2n + { frac {1} {6}}) left ({ frac {3} {4}} right) ^ {2n}} {2 pi (2n )! z ^ {3n}}} right] [6pt] & {} - { fr ac {z ^ { frac {1} {4}} cos left ({ frac {2} {3}} z ^ { frac {3} {2}} + { frac { pi} { 4}} right)} {{ sqrt { pi}} ,}} left [ sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {7 + 12n} {- 5-12n} } { dfrac {(-1) ^ {n} Gamma (2n + { frac {11} {6}}) Gamma (2n + { frac {7} {6}}) left ({ frac { 3} {4}} right) ^ {2n + 1}} {2 pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} right] [6pt] end {выровнено} }}$

Сложные аргументы

Мы можем расширить определение функции Эйри на комплексную плоскость следующим образом:

${ displaystyle operatorname {Ai} (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {C} exp left ({ tfrac {t ^ {3}} {3}} -zt right) , dt,}$

где интеграл по пути C начиная с бесконечности с аргументом −π / 3 и заканчивая бесконечной точкой с аргументом π / 3. В качестве альтернативы мы можем использовать дифференциальное уравнение у′′ − ху = 0 для продолжения Ai (Икс) и Bi (Икс) к целые функции на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai (Икс) по-прежнему действует в комплексной плоскости, если главное значение Икс^2/3 взят и Икс отделен от отрицательной действительной оси. Формула для Bi (Икс) действительно при условии Икс находится в секторе {Икс ∈ C : | arg (Икс) | <(π / 3) −δ} для некоторого положительного δ. Наконец, формулы для Ai (-Икс) и Bi (-Икс) действительны, если Икс находится в секторе {Икс ∈ C : | arg (Икс) | <(2π / 3) −δ}.

Из асимптотики функций Эйри следует, что как Ai (Икс) и Bi (Икс) имеют бесконечное количество нулей на отрицательной действительной оси. Функция Ai (Икс) других нулей на комплексной плоскости нет, а функция Bi (Икс) также имеет бесконечно много нулей в секторе {z ∈ C : π / 3 <| arg (z) | <π / 2}.

Сюжеты

${ Displaystyle Re left [ OperatorName {Ai} (x + iy) right]}$	${ Displaystyle Im left [ OperatorName {Ai} (x + iy) right]}$	${ Displaystyle | OperatorName {Ai} (x + iy) | ,}$	${ displaystyle operatorname {arg} left [ operatorname {Ai} (x + iy) right] ,}$

${ Displaystyle Re left [ OperatorName {Bi} (x + iy) right]}$	${ Displaystyle Im left [ OperatorName {Bi} (x + iy) right]}$	${ Displaystyle | OperatorName {Bi} (х + iy) | ,}$	${ displaystyle operatorname {arg} left [ operatorname {Bi} (x + iy) right] ,}$

Отношение к другим специальным функциям

Для положительных аргументов функции Эйри связаны с модифицированные функции Бесселя:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Ai} (x) & {} = { frac {1} { pi}} { sqrt { frac {x} {3}}} , K_ { frac {1} {3}} left ({ tfrac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}} right), operatorname {Bi} (x) & { } = { sqrt { frac {x} {3}}} left (I _ { frac {1} {3}} left ({ tfrac {2} {3}} x ^ { frac {3 } {2}} right) + I _ {- { frac {1} {3}}} left ({ tfrac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}} right ) right). end {align}}}$

Здесь, я_±1/3 и K_1/3 являются решениями

${ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '- left (x ^ {2} + { tfrac {1} {9}} right) y = 0.}$

Первая производная функции Эйри равна

${ displaystyle operatorname {Ai '} (x) = - { frac {x} { pi { sqrt {3}}}} , K _ { frac {2} {3}} left ({ tfrac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}} right).}$

Функции K_1/3 и K_2/3 можно представить в виде быстро сходящихся интегралов^[4] (смотрите также модифицированные функции Бесселя )

Для отрицательных аргументов функция Эйри связана с Функции Бесселя:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Ai} (-x) & {} = { sqrt { frac {x} {9}}} left (J _ { frac {1} {3}} left ({ tfrac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}} right) + J _ {- { frac {1} {3}}} left ({ tfrac { 2} {3}} x ^ { frac {3} {2}} right) right), operatorname {Bi} (-x) & {} = { sqrt { frac {x} { 3}}} left (J _ {- { frac {1} {3}}} left ({ tfrac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}} right) - J _ { frac {1} {3}} left ({ tfrac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}} right) right). End {выравнивается}}}$

Здесь, J_±1/3 являются решениями

${ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ left (x ^ {2} - { tfrac {1} {9}} right) y = 0.}$

В Функции секретаря Здравствуй(x) и -Gi(x) решить уравнение у′′ − ху = 1 / π. Их также можно выразить в терминах функций Эйри:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Gi} (x) & {} = operatorname {Bi} (x) int _ {x} ^ { infty} operatorname {Ai} (t) , dt + operatorname {Ai} (x) int _ {0} ^ {x} operatorname {Bi} (t) , dt, operatorname {Hi} (x) & {} = operatorname {Bi} (x) int _ {- infty} ^ {x} operatorname {Ai} (t) , dt- operatorname {Ai} (x) int _ {- infty} ^ {x} operatorname { Bi} (t) , dt. End {выравнивается}}}$

преобразование Фурье

Используя определение функции Эйри Ai (Икс) несложно показать его преобразование Фурье дан кем-то

${ displaystyle { mathcal {F}} ( operatorname {Ai}) (k): = int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {Ai} (x) e ^ {- 2 pi ikx} , dx = e ^ {{ frac {i} {3}} (2 pi k) ^ {3}}.}$

Другие варианты использования термина функция Эйри

Коэффициент пропускания интерферометра Фабри – Перо.

«Функция Эйри» в смысле пропускания интерферометра Фабри-Перо.

Функция пропускания Интерферометр Фабри – Перо также называется Воздушная функция:^[5]

${ displaystyle T_ {e} = { frac {1} {1 + F sin ^ {2} ({ frac { delta} {2}})}},}$

где обе поверхности имеют отражательную способность р и

${ displaystyle F = { frac {4R} {(1-R) ​​^ {2}}}}$

это коэффициент ловкости.

Дифракция на круглом отверстии

«Функция Эйри» в смысле дифракции на круговой апертуре.

Самостоятельно, как третье значение термина, форма Диск Эйри в результате волны дифракция на круглой апертуре иногда также обозначается как Функция Эйри (см., например, здесь ). Эта функция тесно связана с Функция Бесселя.

История

Функция Эйри названа в честь Британский астроном и физик Джордж Бидделл Эйри (1801–1892), который столкнулся с этим в своем раннем исследовании оптика по физике (Эйри 1838). Обозначение Ai (Икс) был представлен Гарольд Джеффрис. Эйри стал британцем Королевский астроном в 1835 году и занимал этот пост до выхода на пенсию в 1881 году.

Смотрите также

• Доказательство Гипотеза Виттена использовал матричнозначное обобщение функции Эйри.
• Дзета-функция Эйри

Примечания

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 10». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972); первое изд.) Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 446. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Эйри (1838), «Об интенсивности света в окрестности каустики», Труды Кембриджского философского общества, University Press, 6: 379–402, Bibcode:1838TCaPS ... 6..379A
• Фрэнк Уильям Джон Олвер (1974). Асимптотики и специальные функции, Глава 11. Academic Press, Нью-Йорк.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.6.3. Функции Эйри», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8
• Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), Функции Эйри и приложения к физике, Лондон: Imperial College Press, ISBN  978-1-86094-478-9, МИСТЕР  2114198, заархивировано из оригинал на 13.01.2010, получено 2010-05-14

внешняя ссылка

• «Функции Эйри», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Эйри». MathWorld.
• Страницы функций Wolfram для Ай и Би функции. Включает формулы, средство оценки функций и калькулятор построения графиков.
• Олвер, Ф. В. Дж. (2010), «Эйри и родственные функции», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248