Функция распределения точки - Википедия - Point spread function

Формирование изображения в конфокальный микроскоп: центральный продольный (XZ) срез. Полученное трехмерное распределение возникает из свертка реальных источников света с PSF.

А точечный источник как показано системой с отрицательным (вверху), нулевым (в центре) и положительным (внизу) сферическая аберрация. Изображения слева расфокусированный внутрь, изображения справа - наружу.

В функция разброса точки (PSF) описывает реакцию системы визуализации на точечный источник или точечный объект. Более общий термин для PSF - системный импульсивный ответ, PSF - импульсная характеристика сфокусированной оптической системы. PSF во многих контекстах можно рассматривать как расширенный BLOB-объект в изображении, представляющий одноточечный объект. Функционально это пространственная область версия оптическая передаточная функция системы визуализации. Это полезная концепция в Фурье-оптика, астрономическое изображение, медицинская визуализация, электронная микроскопия и другие методы визуализации, такие как 3D микроскопия (как в конфокальная лазерная сканирующая микроскопия ) и флуоресцентная микроскопия.

Степень распространения (размытия) точечного объекта является мерой качества системы визуализации. В несвязный системы визуализации, такие как флуоресцентный микроскопы, телескопы или оптических микроскопов, процесс формирования изображения является линейным по интенсивности изображения и описывается линейная система теория. Это означает, что когда два объекта A и B отображаются одновременно, результирующее изображение равно сумме независимо отображаемых объектов. Другими словами: изображение A не зависит от изображения B и наоборот, из-за невзаимодействующего свойства фотонов. В пространственно-инвариантной системе, то есть PSF одинакова везде в пространстве изображения, изображение сложного объекта тогда является свертка истинного объекта и PSF.

Вступление

В силу свойства линейности оптических некогерентных систем формирования изображений, т. Е.

Изображение(Объект₁ + Объект₂) = Изображение(Объект₁) + Изображение(Объект₂)

изображение объекта в микроскопе или телескопе можно вычислить, выразив поле плоскости объекта как взвешенную сумму по двумерным импульсным функциям, а затем выразив поле плоскости изображения как взвешенную сумму по изображений этих импульсных функций. Это известно как принцип суперпозиции, Годен до линейные системы. Изображения отдельных импульсных функций объектной плоскости называются функциями рассеяния точки, что отражает тот факт, что математическая точка света в плоскости объекта составляет распространять , чтобы сформировать конечную область в плоскости изображения (в некоторых разделах математики и физики их можно назвать Функции Грина или же импульсивный ответ функции).

Применение PSF: Деконволюция математически смоделированного PSF и изображения с низким разрешением увеличивает разрешение.^[1]

Когда объект делится на дискретные точечные объекты различной интенсивности, изображение вычисляется как сумма PSF каждой точки. Поскольку PSF обычно полностью определяется системой формирования изображения (то есть микроскопом или телескопом), все изображение можно описать, зная оптические свойства системы. Этот процесс визуализации обычно формулируется свертка уравнение. В обработка изображений с микроскопа и астрономия, знание PSF измерительного устройства очень важно для восстановления (исходного) объекта с помощью деконволюция. В случае лазерных лучей PSF можно математически смоделировать с использованием концепций Гауссовы пучки.^[2] Например, деконволюция математически смоделированного PSF и изображения улучшает видимость функций и устраняет шум изображения.^[1]

Теория

Функция рассеяния точки может не зависеть от положения в плоскости объекта, и в этом случае она называется инвариант сдвига. Кроме того, если в системе нет искажений, координаты плоскости изображения линейно связаны с координатами плоскости объекта через увеличение M в качестве:

{ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}) = (Mx_ {o}, My_ {o})}

.

Если система формирования изображения создает перевернутое изображение, мы можем просто рассматривать оси координат плоскости изображения как перевернутые относительно осей плоскости объекта. С этими двумя предположениями, т.е. что PSF инвариантна относительно сдвига и Чтобы не было искажений, вычисление интеграла свертки плоскости изображения - простой процесс.

Математически мы можем представить поле плоскости объекта как:

{ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o}) = int ! ! int O (u, v) ~ delta (x_ {o} -u, y_ {o} -v) ~ du , dv}

то есть как сумма по взвешенным импульсным функциям, хотя на самом деле это также просто констатация свойства сдвига двумерных дельта-функций (подробнее обсуждается ниже). Переписав функцию пропускания объекта в приведенной выше форме, мы можем рассчитать поле плоскости изображения как суперпозицию изображений каждой из индивидуальных импульсных функций, то есть как суперпозицию над взвешенными функциями рассеяния точки в плоскости изображения с использованием одно и тоже весовая функция как в плоскости объекта, т. е. ${ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o})}$ . Математически изображение выражается как:

{ Displaystyle I (x_ {i}, y_ {i}) = int ! ! int O (u, v) ~ mathrm {PSF} (x_ {i} / Mu, y_ {i} / Mv ) , du , dv}

в котором ${ textstyle { mbox {PSF}} (x_ {i} / M-u, y_ {i} / M-v)}$ - образ импульсной функции δ (Икс_о − ты, у_о − v).

Двухмерную импульсную функцию можно рассматривать как предел (как боковой размер ш стремится к нулю) функции "квадратный столб", показанной на рисунке ниже.

Функция квадратной стойки

Мы представляем плоскость объекта как разложенную на квадратные области, подобные этой, с каждой из которых связана собственная функция квадратного столба. Если высота, час, поста поддерживается на уровне 1 / w², то в качестве бокового измерения ш стремится к нулю, высота, час, стремится к бесконечности таким образом, что объем (интеграл) остается постоянным на уровне 1. Это придает двумерному импульсу свойство просеивания (что подразумевается в приведенном выше уравнении), которое гласит, что когда двумерная импульсная функция, δ (Икс − ты,у − v), интегрируется с любой другой непрерывной функцией, ж(ты,v), он «отсеивает» значение ж в месте расположения импульса, я.е., в точке (Икс,у).

Идея идеального точечного источника является центральной в идее PSF. Однако в природе не существует идеального математического точечного излучателя; эта концепция полностью нефизическая и представляет собой скорее математическую конструкцию, используемую для моделирования и понимания систем оптического изображения. Полезность концепции точечного источника заключается в том, что точечный источник в плоскости 2D-объекта может излучать только идеальную сферическую волну с однородной амплитудой - волну, имеющую идеально сферические, бегущие наружу фазовые фронты с равномерной интенсивностью повсюду на сферах ( видеть Принцип Гюйгенса – Френеля ). Такой источник однородных сферических волн показан на рисунке ниже. Также отметим, что идеальный точечный излучатель будет не только излучать однородный спектр распространяющихся плоских волн, но и однородный спектр экспоненциально затухающих (мимолетный ) волны, и именно они отвечают за разрешение меньше одной длины волны (см. Фурье-оптика ). Это следует из следующего преобразование Фурье выражение для двумерной импульсной функции,

{ displaystyle delta (x, y) propto int ! ! int e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} , dk_ {x} , dk_ {y} }

Усечение сферической волны линзой

Квадратичный линза перехватывает часть сферической волны и перефокусирует ее на размытую точку на плоскости изображения. Для одного линза точечный источник на оси в плоскости объекта создает Воздушный диск PSF в плоскости изображения. Его можно показать (см. Фурье-оптика, Принцип Гюйгенса – Френеля, Фраунгофера дифракция ), что поле, излучаемое плоским объектом (или, посредством взаимности, поле, сходящееся к плоскому изображению), связано с его соответствующим распределением в плоскости источника (или изображения) через преобразование Фурье (FT) отношение. Кроме того, равномерная функция по круговой области (в одной области FT) соответствует Функция Эйри, J₁(Икс)/Икс в другом домене FT, где J₁(Икс) является первым Функция Бесселя первого вида. То есть равномерно освещенная круглая апертура, которая пропускает сходящуюся однородную сферическую волну, дает изображение функции Эйри в фокальной плоскости. График типовой двумерной функции Эйри показан на следующем рисунке.

Функция Эйри

Следовательно, сходящиеся (частичный) сферическая волна, показанная на рисунке выше, создает Воздушный диск в плоскости изображения. Аргумент функции Эйри важен, потому что он определяет масштабирование диска Эйри (другими словами, насколько велик диск в плоскости изображения). Если Θ_{Максимум} - максимальный угол, под которым сходящиеся волны образуют ось линзы, р - радиальное расстояние в плоскости изображения, а волновое число k = 2π / λ, где λ = длина волны, тогда аргумент функции Эйри равен: кр тан (Θ_{Максимум}). Если Θ_{Максимум} мала (для формирования изображения доступна лишь небольшая часть сходящейся сферической волны), тогда радиальное расстояние r должно быть очень большим, прежде чем полный аргумент функции Эйри удалится от центрального пятна. Другими словами, если Θ_{Максимум} маленький, диск Эйри большой (что является еще одним утверждением Гейзенберга принцип неопределенности для пар преобразования Фурье, а именно, что небольшая протяженность в одной области соответствует большой протяженности в другой области, и эти две области связаны через произведение на ширину полосы частот). В силу этого высокий увеличение системы, которые обычно имеют небольшие значения Θ_{Максимум} (посредством Условие синуса Аббе ), изображение может иметь большее размытие из-за более широкого PSF. Размер PSF пропорционален увеличение, так что размытие не хуже в относительном смысле, но определенно хуже в абсолютном.

На рисунке выше показано усечение падающей сферической волны линзой. Чтобы измерить функцию рассеяния точки - или функцию импульсной характеристики - линзы, идеальный точечный источник, излучающий идеальную сферическую волну во всех направлениях пространства, не нужен. Это потому, что линза имеет только конечную (угловую) ширину полосы или конечный угол пересечения. Следовательно, любая угловая полоса пропускания, содержащаяся в источнике, которая простирается за краевой угол линзы (т. Е. Лежит за пределами ширины полосы пропускания системы), по существу является потраченной впустую полосой пропускания источника, потому что линза не может ее перехватить, чтобы обработать. В результате для измерения идеальной функции рассеяния точки не требуется идеальный точечный источник. Все, что нам нужно, - это источник света, который имеет по крайней мере такую же угловую ширину, как тестируемая линза (и, конечно же, однородный в этом угловом секторе). Другими словами, нам нужен только точечный источник, который создается сходящейся (однородной) сферической волной, половина угла которой больше угла кромки линзы.

Из-за внутреннего ограниченного разрешения систем визуализации измеренные PSF не свободны от погрешности.^[3] При формировании изображения желательно подавить боковые лепестки луча изображения путем аподизация техники. В случае систем передачи изображений с гауссовым распределением пучка, PSF моделируется следующим уравнением^[4]:

${ displaystyle PSF (f, z) = I_ {r} (0, z, f) exp (-z alpha (f)) - { dfrac {2 rho ^ {2}} {0.36 { frac {cka} {{ text {NA}} f}} { sqrt {{1+ left ({ frac {2 ln 2} {c pi}} left ({ frac { text {NA }} {0,56k}} right) ^ {2} fz right)} ^ {2}}}}},}$

куда k-фактор зависит от коэффициента усечения и уровня освещенности, NA числовая апертура, c это скорость света, ж - частота фотонов луча изображения, я_р интенсивность эталонного пучка, а коэффициент настройки и радиальное положение от центра луча на соответствующем z-плоскость.

История и методы

Теория дифракции функций рассеяния точки была впервые изучена Воздушный В девятнадцатом веке. Он разработал выражение для амплитуды и интенсивности функции рассеяния точки идеального инструмента без аберраций (так называемая Воздушный диск ). Теория аберрированных функций рассеяния точки вблизи оптимальной фокальной плоскости была изучена Зернике и Nijboer в 1930–40-х гг. Центральную роль в их анализе играет Зернике. круговые многочлены которые позволяют эффективно отображать аберрации любой оптической системы с вращательной симметрией. Недавние аналитические результаты позволили расширить подход Ниджбора и Зернике для оценки функции рассеяния точки на большой объем вокруг оптимальной точки фокусировки. Эта расширенная теория Нейбура-Цернике (ENZ) позволяет изучать несовершенное отображение трехмерных объектов в конфокальная микроскопия или астрономия в неидеальных условиях изображения. Теория ENZ также применялась для определения характеристик оптических инструментов в отношении их аберрации путем измерения распределения интенсивности в сквозном фокусе и решения подходящей обратная задача.

Приложения

Микроскопия

Пример экспериментально полученной функции рассеяния точки с помощью конфокального микроскопа с масляным объективом 63x 1.4NA. Он был создан с использованием программы деконволюции Huygens Professional. Показаны виды в xz, xy, yz и трехмерное представление.

В микроскопии для экспериментального определения PSF требуются источники излучения суб-разрешения (точечные). Квантовые точки и флуоресцентный бусы обычно рассматриваются для этой цели.^[5]^[6] С другой стороны, описанные выше теоретические модели позволяют детально рассчитать PSF для различных условий визуализации. Самый компактный ограниченная дифракция форма PSF обычно является предпочтительной. Однако при использовании соответствующих оптических элементов (например, пространственный модулятор света ) форма PSF может быть адаптирована для различных приложений.

Астрономия

Функция разброса точки Космический телескоп Хаббла с WFPC камеры до внесения поправок в ее оптическую систему.

В наблюдательная астрономия, экспериментальное определение PSF часто бывает очень простым из-за большого количества точечных источников (звезды или же квазары ). Форма и источник PSF могут широко варьироваться в зависимости от инструмента и контекста, в котором он используется.

За радиотелескопы и дифракционно ограниченный Космос телескопы, о доминирующих членах в PSF можно судить по конфигурации апертуры в Область Фурье. На практике различные компоненты сложной оптической системы могут включать несколько элементов. Полное описание PSF будет также включать диффузию света (или фотоэлектронов) в детекторе, а также отслеживание ошибки в космическом корабле или телескопе.

Для наземных оптических телескопов атмосферная турбулентность (известная как астрономическое видение ) доминирует над вкладом в PSF. При построении наземных изображений с высоким разрешением PSF часто меняется в зависимости от положения на изображении (эффект, называемый анизопланатизмом). В наземных адаптивная оптика систем, PSF представляет собой комбинацию апертуры системы с остаточными нескорректированными атмосферными условиями.^[7]

Литография

Перекрытие пиков PSF. Когда пики близки к ~ 1 длине волны / числовая апертура, они эффективно объединяются. На данный момент FWHM составляет ~ 0,6 длины волны / числовая апертура.

PSF также является фундаментальным ограничением для обычного сфокусированного изображения отверстия,^[8] при минимальном размере печати в диапазоне 0,6-0,7 длины волны / числовая апертура, при этом числовая апертура является числовая апертура системы визуализации.^[9]^[10] Например, в случае EUV В системе с длиной волны 13,5 нм и NA = 0,33 минимальный размер отдельных отверстий, которые могут быть отображены, находится в диапазоне 25-29 нм. А фазовая маска имеет фазовые фронты 180 градусов, что обеспечивает более точное разрешение.^[8]

Офтальмология

Функции распределения точек недавно стали полезным диагностическим инструментом в клинической практике. офтальмология. Пациенты измеряются с помощью Шак-Хартманн датчик волнового фронта, а специальное программное обеспечение рассчитывает PSF для глаза пациента. Этот метод позволяет врачу смоделировать потенциальное лечение пациента и оценить, как эти методы лечения повлияют на PSF пациента. Кроме того, после измерения PSF можно минимизировать с помощью системы адаптивной оптики. Это в сочетании с CCD камера и система адаптивной оптики могут использоваться для визуализации анатомических структур, которые иначе не видны in vivo, например, фоторецепторы колбочки.^[11]

Смотрите также

Круг замешательства, для тесно связанной темы в общей фотографии.
Воздушный диск
Окруженная энергия
Лаборатория PSF
Деконволюция
Микроскоп
Микросфера