Гауссов пучок - Gaussian beam

Интенсивность смоделированного гауссова пучка вокруг фокуса в момент времени, показывая два пики интенсивности для каждого волновой фронт.

Вверху: поперечный профиль интенсивности гауссова луча, распространяющегося за пределы страницы. Синяя кривая: амплитуда электрического (или магнитного) поля в зависимости от радиального положения от оси луча. Черная кривая - соответствующая интенсивность.

Профиль луча зеленого лазерного указателя мощностью 5 мВт, показывающий ТЕМ₀₀ профиль.

В оптика, а Гауссов пучок это луч монохроматических электромагнитное излучение огибающая амплитуды которого в поперечной плоскости задается Функция Гаусса; это также означает гауссову интенсивность (освещенность) профиль. Этот фундаментальный (или ТЕМ₀₀) поперечный Гауссов режим описывает предполагаемую мощность большинства (но не всех) лазеров, поскольку такой луч может быть сфокусирован в наиболее концентрированное пятно. Когда такой луч перефокусируется линза поперечная фаза зависимость изменена; это приводит к разные Гауссов пучок. Профили амплитуды электрического и магнитного полей вдоль любого такого кругового гауссова пучка (для данного длина волны и поляризация ) определяются одним параметром: так называемыми Талия ш₀. На любой позиции z относительно перетяжки (фокуса) вдоль пучка, имеющего заданную ш₀, тем самым определяются амплитуды и фазы поля^[1] как подробно ниже.

В приведенных ниже уравнениях предполагается, что балка имеет круглое поперечное сечение при всех значениях z; это можно увидеть, отметив, что один поперечный размер, р, появляется. Балки с эллиптическим поперечным сечением или с перетяжками в разных положениях в z для двух поперечных размеров (астигматизм лучей) также можно описать как гауссовы лучи, но с различными значениями ш₀ и из z = 0 расположение для двух поперечных размеров Икс и у.

Произвольные решения параксиальное уравнение Гельмгольца можно выразить как комбинацию Моды Эрмита – Гаусса (чьи амплитудные профили разделимы в Икс и у с помощью Декартовы координаты ) или аналогично комбинации Моды Лагерра – Гаусса (чьи амплитудные профили разделимы в р и θ с помощью цилиндрические координаты ).^[2][3] В любой точке балки z эти режимы включают тот же фактор Гаусса, что и основная гауссова мода, умножая дополнительные геометрические факторы для указанной моды. Однако разные моды распространяются с разными Фаза Гуи поэтому чистый поперечный профиль из-за суперпозиция режимов развивается в z, а распространение любого Один Мода Эрмита – Гаусса (или Лагерра – Гаусса) сохраняет ту же форму вдоль пучка.

Хотя есть и другие возможные модальные разложения, эти семейства решений являются наиболее полезными для задач, связанных с компактными пучками, то есть, когда оптическая мощность довольно тесно ограничена вдоль оси. Даже когда лазер нет работая в основной гауссовой моде, ее мощность обычно будет найдена среди мод низшего порядка с использованием этих разложений, поскольку пространственная протяженность мод более высокого порядка будет иметь тенденцию выходить за пределы границ лазера. резонатор (полость). «Гауссов пучок» обычно подразумевает излучение, ограниченное основным (ТЕМ₀₀) Гауссовский режим.

Математическая форма

Профиль гауссова пучка с ш₀ = 2λ.

Гауссов пучок - это поперечный электромагнитный (ТЕМ) режим.^[4] Математическое выражение для амплитуды электрического поля является решением параксиальное уравнение Гельмгольца.^[1] Предполагая поляризацию в Икс направление и распространение в +z направление, электрическое поле в фазор (комплексное) обозначение дается:

${displaystyle {mathbf {E} (r, z)} = E_ {0}, {hat {mathbf {x}}}, {frac {w_ {0}} {w (z)}} exp left ({frac { -r ^ {2}} {w (z) ^ {2}}} ight) exp left (! - ileft (kz + k {frac {r ^ {2}} {2R (z)}} - psi (z ) ight)! ight)}$

куда^[1][5]

р радиальное расстояние от центральной оси балки,

z осевое расстояние от фокуса луча (или «талии»),

я это мнимая единица,

k = 2πn/λ это волновое число (в радианы на метр) для длины волны в свободном пространстве λ, и п - показатель преломления среды, в которой распространяется луч,

E₀ = E(0, 0), амплитуда (и фаза) электрического поля в начале координат в момент времени 0,

ш(z) - радиус, на котором амплитуды поля падают до 1/е их осевых значений (т.е., где значения интенсивности падают до 1/е² их осевых значений), на плоскости z по балке,

ш₀ = ш(0) это радиус талии,

р(z) это радиус кривизны луча волновые фронты в z, и

ψ(z) это Фаза Гуи в z, дополнительный фазовый срок сверх того, что связано с фазовая скорость света.

Также существует понятная зависимость от времени е^iωt умножение таких фазор количества; фактическое поле в определенный момент времени и пространства задается реальная часть этого сложного количества.

Поскольку это решение основано на параксиальном приближении, оно не является точным для очень сильно расходящихся лучей. Вышеуказанная форма действительна в большинстве практических случаев, когда ш₀ ≫ λ/п.

Соответствующие интенсивность (или же сияние ) распределение дается

${displaystyle I (r, z) = {| E (r, z) | ^ {2} над 2eta} = I_ {0} влево ({frac {w_ {0}} {w (z)}} ight) ^ {2} exp left ({frac {-2r ​​^ {2}} {w (z) ^ {2}}} ight),}$

где постоянная η это волновое сопротивление среды, в которой распространяется луч. За свободное место, η = η₀ ≈ 377 Ом. я₀ = |E₀|²/2η - интенсивность в центре луча на его перетяжке.

Если п₀ полная мощность луча,

${displaystyle I_ {0} = {2P_ {0} over pi w_ {0} ^ {2}}.}$

Увеличивающаяся ширина луча

В Функция Гаусса имеет 1/е² диаметр (2ш как используется в тексте) примерно в 1,7 раза больше FWHM.

На позиции z вдоль луча (от фокуса) параметр размера пятна ш дается гиперболическое отношение:^[1]

${displaystyle w (z) = w_ {0}, {sqrt {1+ {left ({frac {z} {z_ {mathrm {R}}}} ight)} ^ {2}}},}$

куда^[1]

${displaystyle z_ {mathrm {R}} = {frac {pi w_ {0} ^ {2} n} {lambda}}}$

называется Диапазон Рэлея как более подробно обсуждается ниже.

Радиус луча ш(z), в любой позиции z вдоль балки, связана с полная ширина на половине максимальной (FWHM) в этой позиции согласно:^[6]

${displaystyle w (z) = {гидроразрыв {{ext {FWHM}} (z)} {sqrt {2ln 2}}}}$.

Кривизна волнового фронта

Кривизна волновых фронтов наибольшая на расстоянии Рэлея, z = ±z_рпо обе стороны от талии, пересекая ноль на самой талии. За пределами расстояния Рэлея, |z| > z_р, она снова уменьшается по величине, приближаясь к нулю при z → ±∞. Кривизна часто выражается через ее обратную, р, то радиус кривизны; для основного гауссова пучка кривизна в положении z дан кем-то:

${displaystyle {frac {1} {R (z)}} = {frac {z} {z ^ {2} + z_ {mathrm {R}} ^ {2}}},}$

так что радиус кривизны р(z) является ^[1]

${displaystyle R (z) = zleft [{1+ {left ({frac {z_ {mathrm {R}}} {z}} ight)} ^ {2}} ight].}$

Радиус кривизны, обратный кривизне, меняет знак и является бесконечным в перетяжке балки, где кривизна проходит через ноль.

Фаза Гуи

В Гуи фаза - набег фазы, постепенно получаемый лучом вокруг фокальной области. На позиции z фаза Гуи основного гауссова пучка определяется выражением^[1]

${displaystyle psi (z) = arctan left ({frac {z} {z_ {mathrm {R}}}} ight).}$

Фаза Гуи.

Фаза Гуи приводит к увеличению видимой длины волны около перетяжки (z ≈ 0). Таким образом, фазовая скорость в этой области формально превышает скорость света. Это парадоксальное поведение следует понимать как ближнее поле явление, при котором отклонение от фазовой скорости света (что применимо именно к плоской волне) очень мало, кроме случая луча с большой числовая апертура, и в этом случае кривизна волновых фронтов (см. предыдущий раздел) существенно изменяется на расстоянии одной длины волны. Во всех случаях волновое уравнение доволен на каждой позиции.

Для основного гауссова луча фаза Гуи приводит к чистому расхождению фаз относительно скорости света, составляющему π радиан (таким образом, изменение фазы), когда человек перемещается от дальнего поля на одной стороне перетяжки к дальнему полю на другой стороне. Это изменение фазы не наблюдается в большинстве экспериментов. Однако это имеет теоретическое значение и принимает более широкий диапазон для гауссовские моды высшего порядка.^[7]

Эллиптические и астигматические лучи

Многие лазерные лучи имеют эллиптическое поперечное сечение. Также распространены лучи с положениями перетяжки, которые различаются для двух поперечных размеров, называемые астигматическими лучами. С этими пучками можно справиться, используя два приведенных выше уравнения эволюции, но с разными значениями каждого параметра для Икс и у и четкие определения z = 0 точка. Фаза Гуи - это одно значение, правильно вычисленное путем суммирования вкладов каждого измерения, при этом фаза Гуи находится в диапазоне ±π/4 вносится каждым измерением.

Эллиптический луч будет инвертировать свой коэффициент эллиптичности при распространении от дальнего поля к перетяжке. Размер, который был больше вдали от талии, будет меньше у талии.

Параметры луча

Геометрическая зависимость полей гауссова луча определяется длиной волны света. λ (в диэлектрическая среда, если не свободное пространство) и следующие параметры пучка, все из которых связаны, как подробно описано в следующих разделах.

Луч талии

Ширина гауссова луча ш(z) как функция расстояния z вдоль балки, образующей гипербола. ш₀: пучок перетяжки; б: глубина резкости; z_р: Диапазон Рэлея; Θ: общий угловой разброс

Форма гауссова луча заданной длины волны λ регулируется только одним параметром, луч талии ш₀. Это мера размера луча в точке его фокуса (z = 0 в приведенных выше уравнениях), где ширина луча ш(z) (как определено выше) является наименьшим (и аналогично, когда интенсивность на оси (р = 0) самый большой). По этому параметру определяются другие параметры, описывающие геометрию балки. Это включает Диапазон Рэлея z_р и асимптотическая расходимость пучка θ, как подробно описано ниже.

Диапазон Рэлея и конфокальный параметр

В Расстояние Рэлея или же Диапазон Рэлея z_р определяется с учетом размера перетяжки гауссова пучка:

${displaystyle z_ {mathrm {R}} = {frac {pi w_ {0} ^ {2} n} {lambda}}.}$

Здесь λ это длина волны света, п - показатель преломления. На расстоянии от талии, равном диапазону Рэлея z_р, ширина ш балки √2 больше, чем в фокусе, где ш = ш₀, пучок перетяжки. Это также означает, что на оси (р = 0) интенсивности составляет половину максимальной интенсивности (при z = 0). Эта точка вдоль луча также оказывается там, где кривизна волнового фронта (1/р) является наибольшим.^[1]

Расстояние между двумя точками z = ±z_р называется конфокальный параметр или же глубина резкости^{[нужна цитата ]} балки.

Расходимость луча

Хотя хвосты функции Гаусса на самом деле никогда не достигают нуля, для целей следующего обсуждения «кромкой» луча считается радиус, при котором р = ш(z). Вот где интенсивность упала до 1/е² от его значения на оси. Теперь для z ≫ z_р параметр ш(z) линейно возрастает с z. Это означает, что вдали от перетяжки «край» балки (в указанном выше смысле) имеет конусовидную форму. Угол между этим конусом (чей р = ш(z)) и оси пучка (р = 0) определяет расхождение балки:

${displaystyle heta = lim _ {zightarrow infty} arctan {Big (} {frac {w (z)} {z}} {Big)}.}$

В параксиальном случае, как мы уже рассматривали, θ (в радианах) тогда приблизительно^[1]

${displaystyle heta = {frac {lambda} {pi nw_ {0}}}}$

куда п - показатель преломления среды, через которую распространяется пучок, и λ длина волны в свободном пространстве. Полный угловой разброс расходящегося пучка, или угол при вершине описанного выше конуса, тогда определяется выражением

${displaystyle Theta = 2 heta.}$

Тогда этот конус содержит 86% полной мощности гауссова луча.

Поскольку расхождение обратно пропорционально размеру пятна, для данной длины волны λ, гауссов луч, сфокусированный в маленькое пятно, быстро расходится по мере удаления от фокуса. И наоборот, чтобы свести к минимуму При расходимости лазерного луча в дальней зоне (и увеличении его пиковой интенсивности на больших расстояниях) он должен иметь большое поперечное сечение (ш₀) на талии (и, следовательно, большого диаметра в месте запуска, так как ш(z) никогда не меньше чем ш₀). Эта связь между шириной луча и расходимостью является фундаментальной характеристикой дифракция, и из преобразование Фурье который описывает Фраунгофера дифракция. Луч с любым заданным профилем амплитуды также подчиняется этой обратной зависимости, но основная гауссова мода является особым случаем, когда произведение размера луча в фокусе и расходимости в дальней зоне меньше, чем в любом другом случае.

Поскольку модель гауссова пучка использует параксиальное приближение, она не работает, когда волновые фронты наклонены более чем на 30 ° от оси пучка.^[8] Из приведенного выше выражения для расходимости это означает, что модель гауссова пучка точна только для балок с перетяжкой больше, чем примерно 2λ/π.

Качество лазерного луча количественно оценивается произведение параметров пучка (БПП). Для гауссова пучка BPP является произведением расходимости пучка и размера перетяжки. ш₀. BPP реального луча получается путем измерения минимального диаметра луча и расходимости в дальней зоне и получения их произведения. Отношение BPP реального луча к таковому у идеального гауссова луча на той же длине волны известно как M² ("М в квадрате "). M² для гауссова пучка - единица. Все настоящие лазерные лучи имеют M² значения больше единицы, хотя лучи очень высокого качества могут иметь значения, очень близкие к единице.

В числовая апертура гауссова пучка определяется как NA = п грех θ, куда п это показатель преломления среды, в которой распространяется луч. Это означает, что диапазон Рэлея связан с числовой апертурой соотношением

${displaystyle z_ {mathrm {R}} = nw_ {0} / mathrm {NA}.}$

Мощность и интенсивность

Мощность через апертуру

С лучом, центрированным на отверстие, то мощность п проходящий через круг радиуса р в поперечной плоскости в положении z является^[9]

${displaystyle P (r, z) = P_ {0} left [1-e ^ {- 2r ^ {2} / w ^ {2} (z)} ight],}$

куда

${displaystyle P_ {0} = {1 больше 2} пи I_ {0} w_ {0} ^ {2}}$

- полная мощность, передаваемая лучом.

Для круга радиуса р = ш(z), доля мощности, передаваемой через круг, равна

${displaystyle {P (z) over P_ {0}} = 1-e ^ {- 2} приблизительно 0,865.}$

Точно так же около 90% мощности луча будет проходить через круг радиуса р = 1.07 × ш(z), 95% по кругу радиуса р = 1.224 × ш(z), и 99% по кругу радиуса р = 1.52 × ш(z).^[9]

Пиковая интенсивность

Пиковая интенсивность на осевом расстоянии z от перетяжки луча можно рассчитать как предел вложенной мощности в круге радиуса р, разделенная на площадь круга πr² когда круг сжимается:

${displaystyle I (0, z) = lim _ {r o 0} {frac {P_ {0} left [1-e ^ {- 2r ^ {2} / w ^ {2} (z)} ight]} { пи г ^ {2}}}.}$

Предел можно оценить с помощью Правило L'Hôpital:

${displaystyle I (0, z) = {frac {P_ {0}} {pi}} lim _ {r o 0} {frac {left [- (- 2) (2r) e ^ {- 2r ^ {2}} / w ^ {2} (z)} ight]} {w ^ {2} (z) (2r)}} = {2P_ {0} над pi w ^ {2} (z)}.}$

Комплексный параметр пучка

Размер пятна и кривизна гауссова пучка в зависимости от z вдоль луча также можно закодировать в комплексном параметре луча q(z)^[10][11] предоставлено:

${displaystyle q (z) = z + iz_ {mathrm {R}}.}$

Введение этого усложнения приводит к упрощению уравнения поля гауссова пучка, как показано ниже. Видно, что величина, обратная q(z) содержит кривизну волнового фронта и относительную осевую интенсивность в его действительной и мнимой частях соответственно:^[10]

${displaystyle {1 over q (z)} = {1 over z + iz_ {mathrm {R}}} = {z over z ^ {2} + z_ {mathrm {R}} ^ {2}} - я {z_ {mathrm {R}} над z ^ {2} + z_ {mathrm {R}} ^ {2}} = {1 над R (z)} - i {лямбда над npi w ^ {2} (z)}. }$

Комплексный параметр луча упрощает математический анализ распространения гауссова луча, особенно при анализе оптические резонаторы с помощью матрицы переноса лучей.

Затем, используя эту форму, более раннее уравнение для электрического (или магнитного) поля значительно упрощается. Если мы позвоним ты относительная напряженность поля эллиптического гауссова пучка (с эллиптическими осями в Икс и у направления), то его можно разделить на Икс и у в соответствии с:

${displaystyle u (x, y, z) = u_ {x} (x, z), u_ {y} (y, z),}$

куда

${displaystyle {egin {align} u_ {x} (x, z) & = {frac {1} {sqrt {{q} _ {x} (z)}}} exp left (-ik {frac {x ^ { 2}} {2 {q} _ {x} (z)}} ight), u_ {y} (y, z) & = {frac {1} {sqrt {{q} _ {y} (z) }}} exp left (-ik {frac {y ^ {2}} {2 {q} _ {y} (z)}} ight), конец {выровнен}}}$

куда q_Икс(z) и q_у(z) - комплексные параметры пучка в Икс и у направления.

В общем случае круговой профиль балки, q_Икс(z) = q_у(z) = q(z) и Икс² + у² = р², что дает^[12]

${displaystyle u (r, z) = {frac {1} {q (z)}} exp left (-ik {frac {r ^ {2}} {2q (z)}} ight).}$

Волновое уравнение

Как частный случай электромагнитное излучение, Гауссовы пучки (и гауссовы моды более высокого порядка, подробно описанные ниже) являются решениями волновое уравнение для электромагнитного поля в свободном пространстве или в однородной диэлектрической среде,^[13] полученное объединением уравнений Максвелла для ротора E и завиток ЧАС, в результате чего:

${displaystyle abla ^ {2} U = {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {partial ^ {2} U} {partial t ^ {2}}},}$

куда c это скорость света в среде, и U может относиться к вектору электрического или магнитного поля, поскольку любое конкретное решение для любого из них определяет другое. Решение с гауссовым пучком справедливо только в параксиальный приближение, то есть, когда распространение волны ограничено направлениями в пределах небольшого угла оси. Без ограничения общности примем это направление за +z направление, в этом случае решение U обычно можно записать в терминах ты который не имеет зависимости от времени и относительно плавно изменяется в пространстве, причем основное изменение пространственно соответствует волновое число k в z направление:^[13]

${displaystyle U (x, y, z, t) = u (x, y, z) e ^ {- i (kz-omega t)}, {hat {mathbf {x}}} ;.}$

Используя эту форму вместе с параксиальным приближением, ∂²ты/∂z² тогда им можно по существу пренебречь. Поскольку решения уравнения электромагнитной волны справедливы только для поляризаций, ортогональных направлению распространения (z) мы без ограничения общности считали, что поляризация Икс направлении, так что теперь мы решаем скалярное уравнение для ты(Икс, у, z).

Подставляя это решение в приведенное выше волновое уравнение, получаем параксиальное приближение к скалярному волновому уравнению:^[13]

${displaystyle {frac {partial ^ {2} u} {partial x ^ {2}}} + {frac {partial ^ {2} u} {partial y ^ {2}}} = 2ik {frac {partial u} { частичный z}}.}$

Примечательно, что в Поль Дирак с координаты светового конуса, ${displaystyle x ^ {pm} = {frac {1} {sqrt {2}}} (zpm ct)}$ , волновое уравнение ${displaystyle abla ^ {2} U = {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {partial ^ {2} U} {partial t ^ {2}}}}$ преобразуется в:

${displaystyle abla ^ {2} U = 2 {frac {partial ^ {2} U} {partial x ^ {-} partial x ^ {+}}}.}$

Итак, для волны в виде ${displaystyle U (x, y, x ^ {+}, x ^ {-}) = u (x, y, x ^ {+}) e ^ {ikx ^ {-}}, {hat {mathbf {x} }};}$ получается точное уравнение

${displaystyle {frac {partial ^ {2} u} {partial x ^ {2}}} + {frac {partial ^ {2} u} {partial y ^ {2}}} = 2ik {frac {partial u} { частичный x ^ {+}}}.}$

Таким образом, параксиальные решения оказываются точными в координаты светового конуса.^[14]

Гауссовы пучки любой перетяжки ш₀ удовлетворяют этому волновому уравнению; в этом легче всего убедиться, выразив волну при z по комплексному параметру пучка q(z) как определено выше. Есть много других решений. Как решения линейная система, любая комбинация решений (с использованием сложения или умножения на константу) также является решением. Как отмечалось выше, фундаментальный гауссиан сводит к минимуму произведение минимального размера пятна и расходимости в дальней зоне. При поиске параксиальных решений, в частности, описывающих лазерное излучение нет в основном гауссовском режиме мы будем искать семейства решений с постепенно увеличивающимися произведениями их расходимостей и минимальных размеров пятна. Два важных ортогональных разложения этого типа - это моды Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса, соответствующие прямоугольной и круговой симметрии соответственно, как подробно описано в следующем разделе. В обоих случаях основной гауссов пучок, который мы рассматривали, является модой низшего порядка.

Моды высшего порядка

Режимы Эрмита-Гаусса

Двенадцать мод Эрмита-Гаусса

Можно разложить когерентный параксиальный пучок, используя ортогональный набор так называемых Режимы Эрмита-Гаусса, любые из которых даются произведением фактора в Икс и фактор у. Такое решение возможно благодаря разделимости в Икс и у в параксиальное уравнение Гельмгольца как написано в Декартовы координаты.^[15] Таким образом, данный режим порядка (л, м) ссылаясь на Икс и у направлений, амплитуда электрического поля при Икс, у, z может быть выдан:

${displaystyle E (x, y, z) = u_ {l} (x, z), u_ {m} (y, z), exp (-ikz),}$

где факторы для Икс и у зависимости каждый определяется как:

${displaystyle u_ {J} (x, z) = left ({frac {sqrt {2 / pi}} {2 ^ {J}, J!; w_ {0}}} ight) ^ {!! 1/2} !! left ({frac {{q} _ {0}} {{q} (z)}} ight) ^ {!! 1/2} !! left (- {frac {{q} ^ {ast} ( z)} {{q} (z)}} ight) ^ {!! J / 2} !! H_ {J}! left ({frac {{sqrt {2}} x} {w (z)}} ight ), exp left (! - i {frac {kx ^ {2}} {2 {q} (z)}} ight),}$

где мы использовали комплексный параметр пучка q(z) (как определено выше) для пучка талии ш₀ в z из фокуса. В этой форме первый фактор - это просто нормализующая константа, чтобы сделать набор ты_J ортонормированный. Второй фактор - дополнительная нормализация, зависящая от z который компенсирует расширение пространственной протяженности моды согласно ш(z)/ш₀ (из-за двух последних факторов). Он также содержит часть фазы Гуи. Третий фактор - это чистая фаза, которая увеличивает фазовый сдвиг Гуи для более высоких порядков. J.

Последние два фактора объясняют пространственные вариации на Икс (или же у). Четвертый фактор - это Многочлен Эрмита порядка J («форма физиков», т.е. ЧАС₁(Икс) = 2Икс), а пятая учитывает спад амплитуды по Гауссу ехр (-Икс²/ш(z)²), хотя это не очевидно при использовании сложного q в экспоненте. Расширение этой экспоненты также дает фазовый фактор в Икс который учитывает кривизну волнового фронта (1/р(z)) в z по балке.

Моды Эрмита-Гаусса обычно обозначаются как ТЕМ_lm"; основной гауссов пучок, таким образом, может называться ТЕМ₀₀ (куда ТЕМ означает Поперечный электромагнитный ). Умножение ты_л(Икс, z) и ты_м(у, z) чтобы получить профиль режима 2-D, и удаление нормализации так, чтобы ведущий фактор просто вызывался E₀, мы можем написать (л, м) режим в более доступной форме:

${displaystyle {egin {align} E_ {l, m} (x, y, z) = & E_ {0} {frac {w_ {0}} {w (z)}}, H_ {l}! {Bigg (}} {frac {{sqrt {2}}, x} {w (z)}} {Bigg)}, H_ {m}! {Bigg (} {frac {{sqrt {2}}, y} {w (z) }} {Bigg)} imes & exp {Bigg (} {- {frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {w ^ {2} (z)}}} {Bigg)} exp {Bigg ( } {- я {гидроразрыв {k (x ^ {2} + y ^ {2})} {2R (z)}}} {Bigg)} imes & exp {ig (} ipsi (z) {ig)} exp (-ikz) .end {выровнено}}}$

В таком виде параметр ш₀, как и раньше, определяет семейство мод, в частности, масштабирование пространственной протяженности перетяжки основной моды и всех других модовых структур на z = 0. При условии ш₀, ш(z) и р(z) имеют те же определения, что и описанный фундаментальный гауссов пучок над. Видно, что с л = м = 0 получаем описанный ранее фундаментальный гауссов пучок (поскольку ЧАС₀ = 1). Единственное отличие в Икс и у профили в любом z обусловлены полиномиальными множителями Эрмита для порядковых номеров л и м. Тем не менее, наблюдается изменение в эволюции фазы Гуи мод по сравнению с z:

${displaystyle psi (z) = (N + 1), arctan left ({frac {z} {z_ {mathrm {R}}}} ight),}$

где комбинированный порядок режима N определяется как N = л + м. В то время как фазовый сдвиг Гуи для основной (0,0) гауссовой моды изменяется только на ±π/2 радианы по всем z (и только ±π/4 радианы между ±z_р), это увеличивается в раз N + 1 для мод более высокого порядка.^[7]

Гауссовы моды Эрмита с их прямоугольной симметрией особенно подходят для модального анализа излучения лазеров, конструкция резонатора которых асимметрична и имеет прямоугольную форму. С другой стороны, с лазерами и системами с круговой симметрией лучше обращаться с использованием набора мод Лагерра-Гаусса, представленного в следующем разделе.

Лагерро-гауссовские моды

Кругосимметричные профили пучка (или лазеры с цилиндрически симметричными полостями) часто лучше всего решаются с помощью модального разложения Лагерра-Гаусса.^[3] Эти функции написаны на цилиндрические координаты с помощью обобщенные полиномы Лагерра. Каждая поперечная мода снова обозначается двумя целыми числами, в данном случае радиальным индексом п ≥ 0 и азимутальный индекс л который может быть положительным или отрицательным (или нулевым):^[16]

${displaystyle {egin {align} {u} (r, phi, z) = & C_ {lp} ^ {LG} {frac {w_ {0}} {w (z)}} left ({frac {r {sqrt { 2}}} {w (z)}} ight) ^ {! | L |} exp! Left (! - {frac {r ^ {2}} {w ^ {2} (z)}} ight) L_ { p} ^ {| l |}! left ({frac {2r ^ {2}} {w ^ {2} (z)}} ight) imes & exp! left (! - ik {frac {r ^ {2}) } {2R (z)}} ight) exp (-ilphi), exp (ipsi (z)), конец {выровнен}}}$

куда L_п^л являются обобщенные полиномы Лагерра.C^LG
_lp - необходимая константа нормализации:

${displaystyle C_ {lp} ^ {LG} = {sqrt {frac {2p!} {pi (p + | l |)!}}} Стрелка вправо int _ {0} ^ {2pi} dphi int _ {0} ^ {infty } rdr | u (r, phi, z) | ^ {2} = 1}$.

ш(z) и р(z) имеют те же определения, что и над. Как и в случае мод Эрмита-Гаусса более высокого порядка, величина фазового сдвига Гуи мод Лагерра-Гаусса преувеличена на коэффициент N + 1:

${displaystyle psi (z) = (N + 1), arctan left ({frac {z} {z_ {mathrm {R}}}} ight),}$

где в этом случае номер комбинированной моды N = |л| + 2п. Как и прежде, вариации поперечной амплитуды содержатся в последних двух факторах в верхней строке уравнения, которое снова включает основной гауссов спад в р но теперь умноженный на многочлен Лагерра. Эффект от режим вращения номер л, помимо влияния на полином Лагерра, в основном содержится в фаза фактор ехр (-ilφ), в котором профиль пучка опережает (или замедляет) на л полный 2π фаз за один оборот вокруг луча (в φ). Это пример оптический вихрь топологического заряда л, и может быть связан с орбитальный угловой момент света в этом режиме.

Инс-гауссовские режимы

В эллиптические координаты, можно записать моды более высокого порядка, используя Полиномы инса. Четные и нечетные инс-гауссовские моды задаются формулами^[17]

${displaystyle u_ {varepsilon} left (xi, eta, zight) = {frac {w_ {0}} {wleft (zight)}} mathrm {C} _ {p} ^ {m} left (ixi, varepsilon ight) mathrm {C} _ {p} ^ {m} left (eta, varepsilon ight) exp left [-ik {frac {r ^ {2}} {2qleft (zight)}} - left (p + 1ight) zeta left (zight ) ight],}$

куда ξ и η - радиальные и угловые эллиптические координаты, определяемые

${displaystyle {egin {align} x & = {sqrt {varepsilon / 2}}; w (z) cosh xi cos eta, y & = {sqrt {varepsilon / 2}}; w (z) sinh xi sin eta .end { выровнено}}}$

C^м
_п(η, ε) - четные полиномы Айнса порядка п и степень м куда ε - параметр эллиптичности. Режимы Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса являются частным случаем инс-гауссовых мод для ε = ∞ и ε = 0 соответственно.^[17]

Гипергеометрическо-гауссовские моды

Есть еще один важный класс параксиальных волновых мод в цилиндрические координаты в которой комплексная амплитуда пропорциональна конфлюэнтная гипергеометрическая функция.

Эти режимы имеют единственное число фазовый профиль и собственные функции из орбитальный угловой момент фотона. Их профили интенсивности характеризуются одним бриллиантовым кольцом; как и моды Лагерра – Гаусса, их интенсивности падают до нуля в центре (на оптической оси), за исключением основной (0,0) моды. Комплексную амплитуду моды можно записать через нормированную (безразмерную) радиальную координату ρ = р/ш₀ и нормированная продольная координата Ζ = z/z_р следующее:^[18]

${displaystyle {egin {align} u _ {{mathsf {p}} m} (ho, heta, mathrm {Z}) = & {sqrt {frac {2 ^ {{mathsf {p}} + | m | +1}) } {pi Gamma ({mathsf {p}} + | m | +1)}}}; {frac {Gamma (1+ | m | + {frac {mathsf {p}} {2}})} {Gamma ( | m | +1)}} ,, i ^ {| m | +1} ;; imes & mathrm {Z} ^ {frac {mathsf {p}} {2}}; (mathrm {Z} + i) ^ {- (1+ | m | + {frac {mathsf {p}} {2}}) )}; ho ^ {| m |} ;; imes & exp left (- {frac {iho ^ {2}} {(mathrm {Z} + i)}} ight); e ^ {imphi}; {} _ {1} F_ {1} left (- {frac {mathsf {p}} {2}}, | m | +1; {frac {ho ^ {2}} {mathrm {Z} (mathrm {Z} + i)}} ight) конец {выровнено}}}$

где индекс вращения м целое число, а ${displaystyle {mathsf {p}} geq - | m |}$ ценный, Γ (Икс) - гамма-функция и ₁F₁(а, б; Икс) является конфлюэнтной гипергеометрической функцией.

Некоторые подсемейства гипергеометрическо-гауссовых (HyGG) мод могут быть перечислены как модифицированные моды Бесселя-Гаусса, модифицированные экспоненциальные гауссовы моды,^[19] и модифицированные моды Лагерра – Гаусса.

Набор гипергеометрическо-гауссовых мод является избыточным и не является ортогональным набором мод. Несмотря на сложный профиль поля, моды HyGG имеют очень простой профиль на перетяжке пучка (z = 0):

${displaystyle u (ho, phi, 0) propto ho ^ {{mathsf {p}} + | m |} e ^ {- ho ^ {2} + imphi}.}$

Смотрите также

• Бесселева балка
• Луч Tophat
• Профилировщик лазерного луча

Примечания

Рекомендации

• Bandres, Miguel A .; Гутиеррес-Вега, Хулио К. (2004). "Ince гауссовы лучи". Опт. Латыш. OSA. 29 (2): 144–146. Bibcode:2004OptL ... 29..144B. Дои:10.1364 / OL.29.000144. PMID  14743992.
• Гарг, Анупам (2012). Классический электромагнетизм в двух словах. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0691130187.
• Goubau, G .; Шверинг, Ф. (1961). «О направленном распространении пучков электромагнитных волн». IRE Trans. 9 (3): 248–256. Bibcode:1961ITAP .... 9..248G. Дои:10.1109 / TAP.1961.1144999. МИСТЕР  0134166.
• Карими, Э .; Zito, G .; Piccirillo, B .; Marrucci, L .; Сантамато, Э. (2007). «Гипергеометрическо-гауссовы пучки». Опт. Латыш. OSA. 32 (21): 3053–3055. arXiv:0712.0782. Bibcode:2007OptL ... 32,3053K. Дои:10.1364 / OL.32.003053. PMID  17975594.
• Мандель, Леонард; Вольф, Эмиль (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41711-2. Глава 5, «Оптические лучи», стр. 267.
• Pampaloni, F .; Эндерлейн, Дж. (2004). "Гауссовы, Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса пучки: Праймер". arXiv:физика / 0410021.
• Салех, Бахаа Э. А .; Тейч, Малвин Карл (1991). Основы фотоники. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-83965-5. Глава 3, «Лучевая оптика», стр. 80–107.
• Сигман, Энтони Э. (1986). Лазеры. Книги университетских наук. ISBN  0-935702-11-3. Глава 16.
• Свелто, Орацио (2010). Принципы лазеров (5-е изд.).
• Ярив, Амнон (1989). Квантовая электроника (3-е изд.). Вайли. ISBN  0-471-60997-8.

внешняя ссылка

• Учебное пособие по гауссовской оптике, Ньюпорт