Анализ матрицы переноса лучей - Ray transfer matrix analysis

Анализ матрицы переноса лучей (также известен как Матричный анализ ABCD) - математическая форма для выполнения трассировка лучей расчеты в достаточно простых задачах, которые можно решить, рассматривая только параксиальные лучи. Каждый оптический элемент (поверхность, интерфейс, зеркало или путь луча) описывается как 2 × 2 передача лучей матрица который работает на вектор описывая входящий луч света для расчета исходящего луча. Таким образом, умножение последовательных матриц дает краткую матрицу переноса лучей, описывающую всю оптическую систему. Та же математика используется в физика ускорителя отслеживать частицы через магнитные установки ускоритель частиц, увидеть электронная оптика.

Этот метод, описанный ниже, получен с использованием параксиальное приближение, что требует, чтобы все направления лучей (направления, нормальные к волновым фронтам) находились под малыми углами θ относительно оптическая ось системы, так что приближение ${ Displaystyle грех тета приблизительно тета}$ остается в силе. Малое значение θ также означает, что поперечная протяженность пучков лучей (Икс и у) мала по сравнению с длиной оптической системы (таким образом, «параксиальная»). Поскольку приличная система визуализации, где это нет если все лучи все равно должны правильно фокусировать параксиальные лучи, этот матричный метод будет правильно описывать положения фокальных плоскостей и увеличения, однако аберрации все еще необходимо оценить с использованием полной трассировка лучей техники.^[1]

Определение матрицы передачи луча

В матричном анализе с переносом луча (ABCD) оптический элемент (здесь толстая линза) дает преобразование между

{ displaystyle (x_ {1}, theta _ {1})}

на входной плоскости и

{ displaystyle (x_ {2}, theta _ {2})}

когда луч достигает выходной плоскости.

Техника трассировки лучей основана на двух опорных плоскостях, называемых Вход и вывод плоскости, каждая перпендикулярная оптической оси системы. В любой точке оптического поезда определяется оптическая ось, соответствующая центральному лучу; этот центральный луч распространяется, чтобы определить оптическую ось дальше в оптической цепочке, которая не обязательно должна быть в том же физическом направлении (например, при изгибе призмой или зеркалом). Поперечные направления Икс и у (ниже мы рассматриваем только Икс direction) затем определяются как ортогональные применяемым оптическим осям. Луч света входит в компонент, пересекая его входную плоскость на расстоянии. Икс₁ от оптической оси, двигаясь в направлении, составляющем угол θ₁ с оптической осью. После распространения на выходную плоскость этот луч находится на расстоянии Икс₂ от оптической оси и под углом θ₂ по отношению к нему. п₁ и п₂ являются показатели преломления медиа на входной и выходной плоскости соответственно.

Матрица ABCD, представляющая компонент или систему, связывает выходной луч со входом в соответствии с

{ displaystyle {x_ {2} choose theta _ {2}} = { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}} {x_ {1} choose theta _ {1}},}

где значения четырех матричных элементов, таким образом, определяются как

{ displaystyle A = {x_ {2} over x_ {1}} { bigg |} _ { theta _ {1} = 0} qquad B = {x_ {2} over theta _ {1} } { bigg |} _ {x_ {1} = 0},}

и

{ displaystyle C = { theta _ {2} over x_ {1}} { bigg |} _ { theta _ {1} = 0} qquad D = { theta _ {2} over theta _ {1}} { bigg |} _ {x_ {1} = 0}.}

Это связано с лучевые векторы на входной и выходной плоскостях матрица переноса лучей (RTM) M, который представляет оптический компонент или систему, находящуюся между двумя опорными плоскостями. А термодинамика аргумент, основанный на черное тело излучение можно использовать, чтобы показать, что детерминант RTM - это отношение показателей преломления:

{ displaystyle det ( mathbf {M}) = AD-BC = {n_ {1} over n_ {2}}.}

В результате, если входная и выходная плоскости расположены в одной среде или в двух разных средах, которые имеют одинаковые показатели преломления, то определитель M просто равно 1.

Другое соглашение^[2] для лучевых векторов могут быть использованы. Вместо использования θ≈sin θ второй элемент вектора луча равен п sin θ, который пропорционален углу луча как таковой а к поперечной составляющей волновой вектор Это изменяет матрицы ABCD, приведенные в таблице ниже, где присутствует рефракция на границе раздела.

Использование передаточных матриц таким образом аналогично матрицам 2 × 2, описывающим электронные двухпортовые сети, в частности, различные так называемые матрицы ABCD, которые можно аналогичным образом перемножать для решения каскадных систем.

Несколько примеров

Например, если между двумя плоскостями есть свободное пространство, матрица переноса луча определяется как:

{ Displaystyle mathbf {S} = { begin {pmatrix} 1 & d 0 & 1 end {pmatrix}}}

,

где d расстояние (измеренное по оптической оси) между двумя опорными плоскостями. Таким образом, уравнение переноса луча принимает следующий вид:

{ displaystyle {x_ {2} choose theta _ {2}} = mathbf {S} {x_ {1} choose theta _ {1}}}

,

и это связывает параметры двух лучей как:

{ displaystyle { begin {matrix} x_ {2} & = & x_ {1} + d theta _ {1} theta _ {2} & = & theta _ {1} end {matrix}} }

Другой простой пример - это тонкая линза. Его RTM предоставляется:

{ displaystyle mathbf {L} = { begin {pmatrix} 1 & 0 { frac {-1} {f}} & 1 end {pmatrix}}}

,

где ж это фокусное расстояние линзы. Для описания комбинаций оптических компонентов матрицы переноса лучей могут быть перемножены, чтобы получить полную RTM для составной оптической системы. На примере свободного пространства длины d затем следует линза фокусного расстояния ж:

{ displaystyle mathbf {L} mathbf {S} = { begin {pmatrix} 1 & 0 { frac {-1} {f}} & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & d 0 & 1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & d { frac {-1} {f}} & 1 - { frac {d} {f}} end {pmatrix}}}

.

Обратите внимание, что, поскольку умножение матриц не являетсякоммутативный, это не та же RTM, что и для линзы, за которой следует свободное пространство:

{ displaystyle mathbf {SL} = { begin {pmatrix} 1 & d 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 { frac {-1} {f}} & 1 end {pmatrix }} = { begin {pmatrix} 1 - { frac {d} {f}} & d { frac {-1} {f}} & 1 end {pmatrix}}}

.

Таким образом, матрицы должны быть упорядочены соответствующим образом, причем последняя матрица умножается на вторую, и так далее, пока первая матрица не будет предварительно умножена на вторую. Другие матрицы могут быть построены для представления интерфейсов с различными средами. показатели преломления, отражение от зеркала, так далее.

Таблица матриц переноса лучей

для простых оптических компонентов

Элемент	Матрица	Замечания
Распространение в свободном пространстве или в среде с постоянным показателем преломления.	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & d 0 & 1 end {pmatrix}}}$	d = расстояние
Преломление на плоской поверхности раздела	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & { frac {n_ {1}} {n_ {2}}} end {pmatrix}}}$	п₁ = начальный показатель преломления п₂ = окончательный показатель преломления.
Преломление на изогнутой поверхности раздела	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 { frac {n_ {1} -n_ {2}} {R cdot n_ {2}}} & { frac {n_ {1}} {n_ {2} }}} end {pmatrix}}}$	р = радиус кривизны, р > 0 для выпуклого (центр кривизны после границы раздела) п₁ = начальный показатель преломления п₂ = окончательный показатель преломления.
Отражение от плоского зеркала	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$	Действительно только для неподвижных зеркал, перпендикулярных оптической оси.
Отражение от изогнутого зеркала	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 - { frac {2} {R_ {e}}} & 1 end {pmatrix}}}$	${ Displaystyle R_ {е} = R соз тета}$ эффективный радиус кривизны в тангенциальной плоскости (горизонтальное направление) ${ Displaystyle R_ {е} = R / соз тета}$ эффективный радиус кривизны в сагиттальной плоскости (вертикальное направление) р = радиус кривизны, R> 0 для вогнутости, справедливо в параксиальном приближении ${ displaystyle theta}$ - угол падения зеркала в горизонтальной плоскости.
Тонкая линза	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 - { frac {1} {f}} & 1 end {pmatrix}}}$	ж = фокусное расстояние объектива, где ж > 0 для выпуклой / положительной (собирающей) линзы. Действительно, только если фокусное расстояние намного больше толщины объектива.
Толстая линза	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 { frac {n_ {2} -n_ {1}} {R_ {2} n_ {1}}} & { frac {n_ {2}} {n_ { 1}}} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & t 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 { frac {n_ {1} -n_ {2}} { R_ {1} n_ {2}}} & { frac {n_ {1}} {n_ {2}}} end {pmatrix}}}$	п₁ = показатель преломления вне линзы. п₂ = показатель преломления самой линзы (внутри линзы). р₁ = Радиус кривизны Первой поверхности. р₂ = Радиус кривизны Второй поверхности. т = центральная толщина линзы.
Одинарная призма	${ displaystyle { begin {pmatrix} k & { frac {d} {nk}} 0 & { frac {1} {k}} end {pmatrix}}}$	k = (cos ${ displaystyle psi}$ / cos ${ displaystyle phi}$ ) это расширение луча фактор, где ${ displaystyle phi}$ угол падения, ${ displaystyle psi}$ угол преломления, d = длина пути призмы, п = показатель преломления материала призмы. Эта матрица применяется для ортогонального выхода луча.^[3]
Расширитель пучка с несколькими призмами с использованием р призмы	${ displaystyle { begin {pmatrix} M&B 0 & { frac {1} {M}} end {pmatrix}}}$	M полное увеличение луча, определяемое как ${ displaystyle M = k_ {1} k_ {2} k_ {3} ... k_ {r}}$ , где k определено в предыдущей записи и B это полное оптическое расстояние распространения^{[требуется разъяснение ]} расширителя с несколькими призмами.^[3]

Устойчивость резонатора

RTM-анализ особенно полезен при моделировании поведения света в оптические резонаторы, например, в лазерах. В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух одинаковых зеркал, обращенных на 100%. отражательная способность и радиус кривизна р, разделенные некоторым расстоянием d. Для целей трассировки лучей это эквивалентно серии идентичных тонких линз с фокусным расстоянием ж=р/ 2, каждая из которых отделена от следующей по длине d. Эта конструкция известна как эквивалент линзы или эквивалент объектива волновод. RTM каждой секции волновода, как указано выше,

{ displaystyle mathbf {M} = mathbf {L} mathbf {S} = { begin {pmatrix} 1 & d { frac {-1} {f}} & 1 - { frac {d} {f }} end {pmatrix}}}

.

RTM-анализ теперь можно использовать для определения стабильность волновода (и, что то же самое, резонатора). То есть можно определить, при каких условиях свет, проходящий по волноводу, будет периодически перефокусироваться и оставаться в волноводе. Для этого мы можем найти все «собственные лучи» системы: вектор входного луча в каждом из упомянутых участков волновода, умноженный на действительный или комплексный множитель λ, равен выходному. Это дает:

{ displaystyle mathbf {M} {x_ {1} choose theta _ {1}} = {x_ {2} choose theta _ {2}} = lambda {x_ {1} choose theta _ {1}}}

.

который является собственное значение уравнение:

{ displaystyle left [ mathbf {M} - lambda mathbf {I} right] {x_ {1} choose theta _ {1}} = 0}

,

где я это 2x2 единичная матрица.

Переходим к вычислению собственных значений трансфер-матрицы:

{ displaystyle operatorname {det} left [ mathbf {M} - lambda mathbf {I} right] = 0}

,

ведущий к характеристическое уравнение

{ displaystyle lambda ^ {2} - operatorname {tr} ( mathbf {M}) lambda + operatorname {det} ( mathbf {M}) = 0}

,

где

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {M}) = A + D = 2- {d over f}}

это след RTM, и

{ Displaystyle OperatorName {det} ( mathbf {M}) = AD-BC = 1}

это детерминант РТМ. После одной распространенной замены имеем:

{ displaystyle lambda ^ {2} -2g lambda + 1 = 0}

,

где

{ displaystyle g { stackrel { mathrm {def}} {=}} { operatorname {tr} ( mathbf {M}) over 2} = 1- {d over 2f}}

это параметр устойчивости. Собственные значения являются решениями характеристического уравнения. От квадратичная формула мы нашли

{ displaystyle lambda _ { pm} = g pm { sqrt {g ^ {2} -1}} ,}

Теперь рассмотрим луч после N проходит через систему:

{ displaystyle {x_ {N} choose theta _ {N}} = lambda ^ {N} {x_ {1} choose theta _ {1}}}

.

Если волновод устойчив, ни один луч не должен отклоняться произвольно далеко от главной оси, то есть λ^N не должен расти без ограничений. Предположим ${ displaystyle g ^ {2}> 1}$ . Тогда оба собственных значения действительны. поскольку ${ displaystyle lambda _ {+} lambda _ {-} = 1}$ , один из них должен быть больше 1 (по модулю), что означает, что луч, соответствующий этому собственному вектору, не будет сходиться. Следовательно, в устойчивом волноводе ${ displaystyle g ^ {2}}$ ≤ 1, а собственные значения могут быть представлены комплексными числами:

{ displaystyle lambda _ { pm} = g pm i { sqrt {1-g ^ {2}}} = cos ( phi) pm i sin ( phi) = e ^ { pm я phi}}

,

с заменой g = cos (ϕ).

За ${ displaystyle g ^ {2} <1}$ позволять ${ displaystyle r _ {+}}$ и ${ displaystyle r _ {-}}$ - собственные векторы относительно собственных значений ${ displaystyle lambda _ {+}}$ и ${ displaystyle lambda _ {-}}$ соответственно, которые охватывают все векторное пространство, потому что они ортогональны, последнее из-за ${ displaystyle lambda _ {+}}$ ≠ ${ displaystyle lambda _ {-}}$ . Поэтому входной вектор можно записать как

{ displaystyle c _ {+} r _ {+} + c _ {-} r _ {-}}

,

для некоторых констант ${ displaystyle c _ {+}}$ и ${ displaystyle c _ {-}}$ .

После N секторов волновода, на выходе читается

{ displaystyle mathbf {M} ^ {N} (c _ {+} r _ {+} + c _ {-} r _ {-}) = lambda _ {+} ^ {N} c _ {+} r _ {+} + lambda _ {-} ^ {N} c _ {-} r _ {-} = e ^ {iN phi} c _ {+} r _ {+} + e ^ {- iN phi} c _ {-} r_ { -}}

,

который представляет собой периодическую функцию.

Матрицы переноса лучей для гауссовых пучков

Те же матрицы можно использовать для расчета эволюции Гауссовы пучки.^[4] распространение через оптические компоненты, описываемые теми же матрицами передачи. Если у нас есть гауссов пучок с длиной волны ${ displaystyle lambda _ {0}}$ , радиус кривизны р (положительный для расходящегося, отрицательный для схождения), размер пятна луча ш и показатель преломления п, можно определить комплексный параметр пучка q от:^[5]

{ displaystyle { frac {1} {q}} = { frac {1} {R}} - { frac {i lambda _ {0}} { pi nw ^ {2}}}}

.

(р, ш, и q являются функциями положения.) Если ось луча находится в z направление, с талией на ${ displaystyle z_ {0}}$ и Диапазон Рэлея ${ displaystyle z_ {R}}$ , это можно эквивалентно записать как^[5]

{ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}}

.

Этот луч может распространяться через оптическую систему с заданной матрицей переноса лучей с помощью уравнения^{[требуется дальнейшее объяснение ]}:

{ displaystyle {q_ {2} choose 1} = k { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}} {q_ {1} choose 1}}

,

где k - константа нормализации, выбранная для того, чтобы вторая компонента вектора луча оставалась равной 1. Использование матричное умножение, это уравнение расширяется как

{ Displaystyle q_ {2} = к (Aq_ {1} + B) ,}

и

{ Displaystyle 1 = К (Cq_ {1} + D) ,}

Разделение первого уравнения на второе исключает нормировочную константу:

{ displaystyle q_ {2} = { frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}}}

,

Это последнее уравнение часто бывает удобно выразить в обратной форме:

{ displaystyle {1 over q_ {2}} = {C + D / q_ {1} over A + B / q_ {1}}.}

Пример: свободное место

Рассмотрим луч, перемещающийся на расстояние d через свободное пространство матрица переноса луча

{ displaystyle { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & d 0 & 1 end {bmatrix}}}

.

и так

{ displaystyle q_ {2} = { frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} = { frac {q_ {1} + d} {1}} = q_ {1} + d}

в соответствии с приведенным выше выражением для распространения обычного гауссова пучка, т. е. ${ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}}$ . По мере распространения луча изменяется и радиус, и перетяжка.

Пример: тонкая линза

Рассмотрим луч, проходящий через тонкую линзу с фокусным расстоянием ж. Матрица переноса луча

{ displaystyle { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 - 1 / f & 1 end {bmatrix}}}

.

и так

{ displaystyle q_ {2} = { frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} = { frac {q_ {1}} {- { frac {q_ {1}} { f}} + 1}}}

{ displaystyle { frac {1} {q_ {2}}} = { frac {- { frac {q_ {1}} {f}} + 1} {q_ {1}}} = { frac { 1} {q_ {1}}} - { frac {1} {f}}}

.

Только действительная часть 1 /q влияет: кривизна волнового фронта 1 /р сокращается мощность линзы 1 /ж, а размер боковой балки ш остается без изменений при выходе из тонкой линзы.

Матрицы более высокого ранга

В оптическом анализе также используются методы с использованием передаточных матриц большей размерности, то есть 3x3, 4x4 и 6x6.^[6]^[7]^[8] В частности, матрицы распространения 4X4 используются при проектировании и анализе последовательностей призм для сжатие импульса в фемтосекундные лазеры.^[3]

Смотрите также

использованная литература

^ Включено расширение матричных методов для отслеживания (непараксиальных) меридиональных лучей. Вот.
^ Джеррард, Энтони; Берч, Джеймс М. (1994). Введение в матричные методы в оптике. Курьер Дувр. ISBN 9780486680446.
^ ^а ^б ^c Ф. Ж. Дуарте (2003). Настраиваемая лазерная оптика. Нью-Йорк: Elsevier-Academic. Глава 6.
^ Рашидиан Вазири, М. Р. (2013). «Новая модель воздуховода для анализа распространения гауссова пучка в нелинейных средах Керра и ее применение к пространственной самомодуляции фазы». Журнал оптики. 15 (3): 035202. Bibcode:2013JOpt ... 15c5202R. Дои:10.1088/2040-8978/15/3/035202.
^ ^а ^б C. Тим Лей. "Веб-страница Physics 4510 Optics". особенно Глава 5
^ В. Брауэр, Матричные методы в оптическом приборостроении (Бенджамин, Нью-Йорк, 1964).
^ А. Э. Зигман, Лазеры (Университетские научные книги, Милл-Вэлли, 1986).
^ Х. Волльник, Оптика заряженных частиц (Академик, Нью-Йорк, 1987).

дальнейшее чтение

Бахаа Э. А. Салех и Малвин Карл Тейч (1991). Основы фотоники. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. Раздел 1.4, стр. 26 - 36.

внешняя ссылка

Толстые линзы (матричные методы)
Учебник по матрицам ABCD Предоставляет пример системной матрицы всей системы.
Калькулятор ABCD Интерактивный калькулятор для решения матриц ABCD.
Простой оптический конструктор (приложение для Android) Приложение для исследования оптических систем с использованием матричного метода ABCD.

[1] Включено расширение матричных методов для отслеживания (непараксиальных) меридиональных лучей. Вот.

[2] Джеррард, Энтони; Берч, Джеймс М. (1994). Введение в матричные методы в оптике. Курьер Дувр. ISBN 9780486680446.

[TLO-3] а ^б ^c Ф. Ж. Дуарте (2003). Настраиваемая лазерная оптика. Нью-Йорк: Elsevier-Academic. Глава 6.

[4] Рашидиан Вазири, М. Р. (2013). «Новая модель воздуховода для анализа распространения гауссова пучка в нелинейных средах Керра и ее применение к пространственной самомодуляции фазы». Журнал оптики. 15 (3): 035202. Bibcode:2013JOpt ... 15c5202R. Дои:10.1088/2040-8978/15/3/035202.

[Lei-5] а ^б C. Тим Лей. "Веб-страница Physics 4510 Optics". особенно Глава 5

[6] В. Брауэр, Матричные методы в оптическом приборостроении (Бенджамин, Нью-Йорк, 1964).

[7] А. Э. Зигман, Лазеры (Университетские научные книги, Милл-Вэлли, 1986).

[8] Х. Волльник, Оптика заряженных частиц (Академик, Нью-Йорк, 1987).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]