Уравнение электромагнитной волны - Electromagnetic wave equation

В уравнение электромагнитной волны второго порядка уравнение в частных производных который описывает распространение электромагнитные волны через средний или в вакуум. Это трехмерная форма волнового уравнения. В однородный форму уравнения, записанного в терминах электрическое поле E или магнитное поле B, принимает вид:

${ displaystyle { begin {align} left (v_ {ph} ^ {2} nabla ^ {2} - { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} right ) mathbf {E} & = mathbf {0} left (v_ {ph} ^ {2} nabla ^ {2} - { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ { 2}}} right) mathbf {B} & = mathbf {0} end {align}}}$

куда

${ displaystyle v_ {ph} = { frac {1} { sqrt { mu varepsilon}}}}$

это скорость света (т.е. фазовая скорость ) в среде с проницаемость μ, и диэлектрическая проницаемость ε, и ∇² это Оператор Лапласа. В вакууме v_ph = c₀ = 299,792,458 метров в секунду, фундаментальное физическая постоянная.^[1] Уравнение электромагнитной волны выводится из Уравнения Максвелла. В самой старой литературе B называется плотность магнитного потока или же магнитная индукция.

Происхождение уравнения электромагнитной волны

Открытка от Максвелла к Питер Тейт.

В его статье 1865 г. Динамическая теория электромагнитного поля. Максвелл использовал поправку к закону оборота Ампера, которую он внес в части III своей статьи 1861 г. О физических силовых линиях. В Часть VI его статьи 1864 г. Электромагнитная теория света,^[2] Максвелл объединил ток смещения с некоторыми другими уравнениями электромагнетизма и получил волновое уравнение со скоростью, равной скорости света. Он прокомментировал:

Согласованность результатов, кажется, показывает, что свет и магнетизм - это воздействия одного и того же вещества, и что свет - это электромагнитное возмущение, распространяющееся через поле согласно электромагнитным законам.^[3]

Вывод Максвелла уравнения электромагнитной волны был заменен в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим комбинирование исправленной версии закона движения Ампера с Закон индукции Фарадея.

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме современным методом, мы начнем с современногоФорма Хевисайда уравнений Максвелла. В пространстве без вакуума и без зарядов эти уравнения таковы:

${ displaystyle { begin {align} nabla cdot mathbf {E} & = 0 nabla times mathbf {E} & = - { frac { partial mathbf {B}} { partial t}} nabla cdot mathbf {B} & = 0 nabla times mathbf {B} & = mu _ {0} varepsilon _ {0} { frac { partial mathbf {E}} { partial t}} конец {выровнено}}}$

Это общие уравнения Максвелла, специально предназначенные для случая, когда заряд и ток установлены равными нулю. Если взять ротор уравнений, то получим:

${ Displaystyle { begin {align} nabla times left ( nabla times mathbf {E} right) & = nabla times left (- { frac { partial mathbf {B}}) { partial t}} right) = - { frac { partial} { partial t}} left ( nabla times mathbf {B} right) = - mu _ {0} varepsilon _ {0} { frac { partial ^ {2} mathbf {E}} { partial t ^ {2}}} nabla times left ( nabla times mathbf {B} right) & = nabla times left ( mu _ {0} varepsilon _ {0} { frac { partial mathbf {E}} { partial t}} right) = mu _ {0} varepsilon _ {0} { frac { partial} { partial t}} left ( nabla times mathbf {E} right) = - mu _ {0} varepsilon _ {0} { frac { partial ^ {2} mathbf {B}} { partial t ^ {2}}} end {выровнено}}}$

Мы можем использовать векторная идентичность

${ displaystyle nabla times left ( nabla times mathbf {V} right) = nabla left ( nabla cdot mathbf {V} right) - nabla ^ {2} mathbf { V}}$

куда V - любая вектор-функция пространства. И

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {V} = nabla cdot left ( nabla mathbf {V} right)}$

куда ∇V это диадический который при работе с оператором дивергенции ∇ ⋅ дает вектор. С

${ Displaystyle { begin {выровнен} набла cdot mathbf {E} & = 0 набла cdot mathbf {B} & = 0 end {выровнен}}}$

то первый член справа в тождестве обращается в нуль, и мы получаем волновые уравнения:

${ displaystyle { begin {align} { frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} mathbf {E}} { partial t ^ {2} }} - nabla ^ {2} mathbf {E} & = 0 { frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} mathbf {B }} { partial t ^ {2}}} - nabla ^ {2} mathbf {B} & = 0 end {выравнивается}}}$

куда

${ displaystyle c_ {0} = { frac {1} { sqrt { mu _ {0} varepsilon _ {0}}}} = 2.99792458 times 10 ^ {8} ; { textrm {m / s}}}$

это скорость света в свободном пространстве.

Ковариантная форма однородного волнового уравнения.

Замедление времени при поперечном движении. Требование, чтобы скорость света была постоянной в каждом инерциальная система отсчета приводит к теория специальной теории относительности.

Эти релятивистские уравнения можно записать в контравариантный форма как

${ displaystyle Box A ^ { mu} = 0}$

где электромагнитный четырехпотенциальный является

${ displaystyle A ^ { mu} = left ({ frac { phi} {c}}, mathbf {A} right)}$

с Условие калибровки Лоренца:

${ Displaystyle partial _ { mu} A ^ { mu} = 0,}$

и где

${ displaystyle Box = nabla ^ {2} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}}}$

это оператор Даламбера.

Однородное волновое уравнение в искривленном пространстве-времени

Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами: производная заменяется на ковариантная производная и появляется новый член, который зависит от кривизны.

${ displaystyle - {A ^ { alpha; beta}} _ {; beta} + {R ^ { alpha}} _ { beta} A ^ { beta} = 0}$

куда ${ displaystyle scriptstyle {R ^ { alpha}} _ { beta}}$ это Тензор кривизны Риччи а точка с запятой указывает на ковариантную дифференциацию.

Обобщение Условие калибровки Лоренца в искривленном пространстве-времени предполагается:

${ displaystyle {A ^ { mu}} _ {; mu} = 0.}$

Неоднородное уравнение электромагнитной волны

Локализованные изменяющиеся во времени плотности заряда и тока могут действовать как источники электромагнитных волн в вакууме. Уравнения Максвелла можно записать в виде волнового уравнения с источниками. Добавление источников к волновым уравнениям делает уравнения в частных производных неоднородный.

Решения уравнения однородной электромагнитной волны

Общее решение уравнения электромагнитной волны - это линейная суперпозиция волн формы

${ displaystyle mathbf {E} ( mathbf {r}, t) = g ( phi ( mathbf {r}, t)) = g ( omega t- mathbf {k} cdot mathbf {r })}$

${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}, t) = g ( phi ( mathbf {r}, t)) = g ( omega t- mathbf {k} cdot mathbf {r })}$

практически любой хорошая функция грамм безразмерного аргумента φ, куда ω это угловая частота (в радианах в секунду), и k = (k_Икс, k_у, k_z) это волновой вектор (в радианах на метр).

Хотя функция грамм может быть и часто бывает монохромным синусоидальная волна, он не обязательно должен быть синусоидальным или даже периодическим. На практике, грамм не может иметь бесконечную периодичность, потому что любая реальная электромагнитная волна всегда должна иметь конечную протяженность во времени и пространстве. В результате и на основе теории Разложение Фурье, реальная волна должна состоять из суперпозиции бесконечного набора синусоидальных частот.

Кроме того, для правильного решения волновой вектор и угловая частота не являются независимыми; они должны придерживаться соотношение дисперсии:

${ displaystyle k = | mathbf {k} | = { omega over c} = {2 pi over lambda}}$

куда k это волновое число и λ это длина волны. Переменная c может использоваться в этом уравнении только тогда, когда электромагнитная волна находится в вакууме.

Монохроматический, синусоидальный стационарный

Простейший набор решений волнового уравнения получается из допущения синусоидальных сигналов одной частоты в разделимой форме:

${ Displaystyle mathbf {E} ( mathbf {r}, t) = Re left { mathbf {E} ( mathbf {r}) e ^ {я omega t} right }}$

куда

я это мнимая единица,

ω = 2π ж  это угловая частота в радиан в секунду,

 ж  это частота в герц, и

${ Displaystyle scriptstyle е ^ {я омега т} = соз ( омега т) + я грех ( омега т)}$ является Формула Эйлера.

Решения плоских волн

Рассмотрим плоскость, заданную единичным вектором нормали

${ displaystyle mathbf {n} = { mathbf {k} over k}.}$

Тогда плоские решения бегущей волны волновых уравнений имеют вид

${ Displaystyle mathbf {E} ( mathbf {r}) = mathbf {E} _ {0} e ^ {- я mathbf {k} cdot mathbf {r}}}$

${ Displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = mathbf {B} _ {0} e ^ {- я mathbf {k} cdot mathbf {r}}}$

куда р = (Икс, у, z) - вектор положения (в метрах).

Эти решения представляют собой плоские волны, бегущие в направлении вектора нормали п. Если мы определим направление z как направление п. и направление x как направление E, то по закону Фарадея магнитное поле лежит в направлении y и связано с электрическим полем соотношением

${ displaystyle c ^ {2} { partial B over partial z} = { partial E over partial t}.}$

Поскольку расходимость электрического и магнитного полей равна нулю, в направлении распространения нет полей.

Это решение является линейно поляризованный решение волновых уравнений. Существуют также решения с круговой поляризацией, в которых поля вращаются вокруг вектора нормали.

Спектральное разложение

Из-за линейности уравнений Максвелла в вакууме решения можно разложить на суперпозицию синусоиды. Это основа для преобразование Фурье метод решения дифференциальных уравнений. Синусоидальное решение уравнения электромагнитной волны принимает вид

${ displaystyle mathbf {E} ( mathbf {r}, t) = mathbf {E} _ {0} cos ( omega t- mathbf {k} cdot mathbf {r} + phi _ {0})}$

${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}, t) = mathbf {B} _ {0} cos ( omega t- mathbf {k} cdot mathbf {r} + phi _ {0})}$

куда

т время (в секундах),

ω это угловая частота (в радианах в секунду),

k = (k_Икс, k_у, k_z) это волновой вектор (в радианах на метр), и

${ displaystyle scriptstyle phi _ {0}}$ это угол фазы (в радианах).

Волновой вектор связан с угловой частотой соотношением

${ displaystyle k = | mathbf {k} | = { omega over c} = {2 pi over lambda}}$

куда k это волновое число и λ это длина волны.

В электромагнитный спектр представляет собой график зависимости величин (или энергий) поля от длины волны.

Многополюсное расширение

Предполагая, что монохроматические поля меняются во времени как ${ displaystyle e ^ {- я omega t}}$, если использовать уравнения Максвелла для исключения Bуравнение электромагнитной волны сводится к Уравнение Гельмгольца за E:

${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) mathbf {E} = 0, , mathbf {B} = - { frac {i} {k}} nabla times mathbf {E},}$

с к = ω / с как указано выше. В качестве альтернативы можно исключить E в пользу B чтобы получить:

${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) mathbf {B} = 0, , mathbf {E} = - { frac {i} {k}} nabla times mathbf {B}.}$

Общее электромагнитное поле с частотой ω можно записать как сумму решений этих двух уравнений. В трехмерные решения уравнения Гельмгольца можно выразить как разложения в сферические гармоники с коэффициентами, пропорциональными сферические функции Бесселя. Однако, применяя это разложение к каждому компоненту вектора E или же B даст решения, которые в общем случае не являются бездивергентными (∇ · E = ∇ · B = 0), поэтому требуются дополнительные ограничения на коэффициенты.

Мультипольное расширение обходит эту трудность, расширяя не E или же B, но r · E или же r · B в сферические гармоники. Эти разложения по-прежнему решают исходные уравнения Гельмгольца для E и B потому что для бездивергентного поля F, ∇² (r · F) = р · (∇² F). Результирующие выражения для типичного электромагнитного поля:

${ displaystyle mathbf {E} = e ^ {- я omega t} sum _ {l, m} { sqrt {l (l + 1)}} left [a_ {E} (l, m) mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)} + a_ {M} (l, m) mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} right]}$

${ displaystyle mathbf {B} = е ^ {- я omega t} sum _ {l, m} { sqrt {l (l + 1)}} left [a_ {E} (l, m) mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)} + a_ {M} (l, m) mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)} right]}$,

куда ${ displaystyle mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)}}$ и ${ displaystyle mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)}}$ являются электрические мультипольные поля порядка (l, m), и ${ displaystyle mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)}}$ и ${ displaystyle mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)}}$ соответствующие магнитные мультипольные поля, и а_E(л, м) и а_M(л, м) - коэффициенты разложения. Мультипольные поля имеют вид

${ displaystyle mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)} = { sqrt {l (l + 1)}} left [B_ {l} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + B_ {l} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) right] mathbf { Phi} _ {l, m}}$

${ displaystyle mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)} = { frac {i} {k}} nabla times mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E )}}$

${ displaystyle mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} = { sqrt {l (l + 1)}} left [E_ {l} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + E_ {l} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) right] mathbf { Phi} _ {l, m}}$

${ displaystyle mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)} = - { frac {i} {k}} nabla times mathbf {E} _ {l, m} ^ {( M)}}$,

куда час_л^(1,2)(Икс) являются сферические функции Ганкеля, E_л^(1,2) и B_л^(1,2) определяются граничными условиями, а

${ displaystyle mathbf { Phi} _ {l, m} = { frac {1} { sqrt {l (l + 1)}}} ( mathbf {r} times nabla) Y_ {l, m}}$

находятся векторные сферические гармоники нормализовано так, чтобы

${ displaystyle int mathbf { Phi} _ {l, m} ^ {*} cdot mathbf { Phi} _ {l ', m'} d Omega = delta _ {l, l '} delta _ {м, м '}.}$

Многополюсное расширение электромагнитного поля находит применение в ряде задач, связанных со сферической симметрией, например в антеннах. диаграммы направленности, или ядерный гамма-распад. В этих приложениях часто интересует мощность, излучаемая в дальняя зона. В этих регионах E и B асимптота полей к

${ Displaystyle mathbf {B} приблизительно { гидроразрыва {е ^ {я (kr- omega t)}} {kr}} sum _ {l, m} (- i) ^ {l + 1} left [a_ {E} (l, m) mathbf { Phi} _ {l, m} + a_ {M} (l, m) mathbf { hat {r}} times mathbf { Phi} _ {l, m} right]}$

${ displaystyle mathbf {E} приблизительно mathbf {B} times mathbf { hat {r}}.}$

Угловое распределение усредненной по времени излучаемой мощности определяется выражением

${ displaystyle { frac {dP} {d Omega}} приблизительно { frac {1} {2k ^ {2}}} left | sum _ {l, m} (- i) ^ {l + 1} left [a_ {E} (l, m) mathbf { Phi} _ {l, m} times mathbf { hat {r}} + a_ {M} (l, m) mathbf { Phi} _ {l, m} right] right | ^ {2}.}$

Смотрите также

Теория и эксперимент

Приложения

Биографии

Примечания

дальнейшее чтение

Электромагнетизм

журнальные статьи

• Максвелл, Джеймс Клерк "Динамическая теория электромагнитного поля. ", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (Эта статья сопровождала выступление Максвелла 8 декабря 1864 г. перед Королевским обществом).

Учебники для бакалавриата

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-X.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0810-8.
• Эдвард М. Перселл, Электричество и магнетизм (Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1985). ISBN  0-07-004908-4.
• Герман А. Хаус и Джеймс Р. Мельчер, Электромагнитные поля и энергия (Прентис-Холл, 1989) ISBN  0-13-249020-X.
• Банеш Хоффманн, Относительность и ее корни (Фриман, Нью-Йорк, 1983). ISBN  0-7167-1478-7.
• Дэвид Х. Сталин, Энн В. Моргенталер и Джин Ау Конг, Электромагнитные волны (Прентис-Холл, 1994) ISBN  0-13-225871-4.
• Чарльз Ф. Стивенс, Шесть основных теорий современной физики, (MIT Press, 1995) ISBN  0-262-69188-4.
• Маркус Зан, Теория электромагнитного поля: подход к решению проблем, (Джон Уайли и сыновья, 1979) ISBN  0-471-02198-9

Учебники для выпускников

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN  0-471-30932-X.
• Ландау, Л., Классическая теория поля (Курс теоретической физики: Том 2), (Баттерворт-Хайнеманн: Оксфорд, 1987). ISBN  0-08-018176-7.
• Максвелл, Джеймс С. (1954). Трактат об электричестве и магнетизме. Дувр. ISBN  0-486-60637-6.
• Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер, Гравитация, (1970) W.H. Фриман, Нью-Йорк; ISBN  0-7167-0344-0. (Обеспечивает трактовку уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм.)

Векторное исчисление

• П. К. Мэтьюз Векторное исчисление, Springer 1998, ISBN  3-540-76180-2
• Х. М. Шей, Div Grad Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению, 4-е издание (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN  0-393-92516-1.