Оператор Даламбера - Википедия - dAlembert operator

В специальная теория относительности, электромагнетизм и теория волн, то оператор Даламбера (обозначается рамкой: ${ displaystyle Box}$), также называемый д'Аламбертиан, волновой оператор, или же оператор коробки это Оператор Лапласа из Пространство Минковского. Оператор назван в честь французского математика и физика. Жан ле Ронд д'Аламбер.

В пространстве Минковского в стандартных координатах (т, Икс, у, z), он имеет вид

${ Displaystyle { begin {align} Box & = partial ^ { mu} partial _ { mu} = g ^ { mu nu} partial _ { nu} partial _ { mu} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} - { frac { partial ^ {2}} { частичный x ^ {2}}} - { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2}}} - { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2} }} & = { frac {1} {c ^ {2}}} { partial ^ {2} over partial t ^ {2}} - nabla ^ {2} = { frac {1 } {c ^ {2}}} { partial ^ {2} over partial t ^ {2}} - Delta ~~. end {align}}}$

Здесь ${ displaystyle nabla ^ {2}: = Delta}$ является 3-мерным Лапласиан и грамм^μν это обратное Метрика Минковского с

${ displaystyle g_ {00} = 1}$, ${ displaystyle g_ {11} = g_ {22} = g_ {33} = - 1}$, ${ displaystyle g _ { mu nu} = 0}$ за ${ displaystyle mu neq nu}$.

Обратите внимание, что μ и ν индексы суммирования от 0 до 3: см. Обозначения Эйнштейна. Мы приняли такие единицы, что скорость света c = 1.

(Некоторые авторы альтернативно используют отрицательный метрическая подпись из (− + + +), с ${ displaystyle g_ {00} = - 1, ; g_ {11} = g_ {22} = g_ {33} = 1}$.)

Преобразования Лоренца Оставь Метрика Минковского инвариантен, поэтому Даламбертиан дает Скаляр Лоренца. Приведенные выше выражения координат остаются действительными для стандартных координат в каждой инерциальной системе отсчета.

Символ коробки (${ displaystyle Box}$) и альтернативные обозначения

Существуют различные обозначения даламбертиана. Наиболее распространены коробка символ ${ displaystyle Box}$ (Unicode: U + 2610 ☐ ИЗБИРАТЕЛЬНАЯ УРНА), четыре стороны которого представляют четыре измерения пространства-времени и прямоугольный символ ${ displaystyle Box ^ {2}}$ который подчеркивает скалярное свойство через квадратный член (во многом как Лапласиан ). Этот символ иногда называют Quabla (ср. набла символ ). В соответствии с треугольными обозначениями для Лапласиан, иногда ${ displaystyle Delta _ {M}}$ используется.

Другой способ записать Даламбертиана в плоских стандартных координатах - ${ displaystyle partial ^ {2}}$. Это обозначение широко используется в квантовая теория поля, где частные производные обычно индексируются, поэтому отсутствие индекса с квадратом частной производной свидетельствует о наличии даламбертиана.

Иногда символ коробки используется для обозначения четырехмерного Леви-Чивита. ковариантная производная. Символ ${ displaystyle nabla}$ затем используется для представления пространственных производных, но это карта координат зависимый.

Приложения

В волновое уравнение для малых колебаний имеет вид

${ Displaystyle Box _ {c} и влево (х, т вправо) эквив и_ {тт} -с ^ {2} и_ {хх} = 0 ~,}$

куда ты(Икс, т) это смещение.

В волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме

${ displaystyle Box A ^ { mu} = 0}$

куда А^μ это электромагнитный четырехпотенциальный в Датчик Лоренца.

В Уравнение Клейна – Гордона имеет форму

${ displaystyle left ( Box + m ^ {2} right) psi = 0 ~.}$

Функция Грина

В Функция Грина, ${ displaystyle G left ({ tilde {x}} - { tilde {x}} ' right)}$, для Даламбертиана определяется уравнением

${ displaystyle Box G left ({ tilde {x}} - { tilde {x}} ' right) = delta left ({ tilde {x}} - { tilde {x}}' верно)}$

куда ${ displaystyle delta left ({ tilde {x}} - { tilde {x}} ' right)}$ многомерный Дельта-функция Дирака и ${ displaystyle { tilde {x}}}$ и ${ displaystyle { tilde {x}} '}$ две точки в пространстве Минковского.

Особое решение дает запаздывающая функция Грина что соответствует сигналу распространение только вперед во времени^[1]

${ displaystyle G left ({ vec {r}}, t right) = { frac {1} {4 pi r}} Theta (t) delta left (t - { frac {r) } {c}} right)}$

куда ${ displaystyle Theta}$ это Ступенчатая функция Хевисайда.

Смотрите также

• 4-градиентный
• формула даламбера
• Уравнение Клейна – Гордона
• Релятивистская теплопроводность
• Исчисление Риччи

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Оператор Даламбера», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Пуанкаре, Анри (1906). Перевод: О динамике электрона (июль)  - через Wikisource., первоначально напечатано на Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.
• Вайсштейн, Эрик В. "Даламбертиан". MathWorld.