Условие калибровки Лоренца - Lorenz gauge condition

В электромагнетизм, то Условие калибровки Лоренца или же Датчик Лоренца (иногда ошибочно называемая калибровкой Лоренца) является частичным крепление датчика из электромагнитный векторный потенциал. Условие таково, что ${ displaystyle partial _ { mu} A ^ { mu} = 0.}$ Это не полностью определяет калибровку: все еще можно сделать калибровочное преобразование ${ Displaystyle A ^ { mu} к A ^ { mu} + partial ^ { mu} f,}$ куда ${ displaystyle f}$ это гармонический скалярная функция (то есть скалярная функция удовлетворение ${ Displaystyle partial _ { mu} partial ^ { mu} f = 0,}$ уравнение безмассовое скалярное поле ).

Условие Лоренца используется для устранения избыточной компоненты спина 0 в (1/2, 1/2) теория представлений группы Лоренца. Он в равной степени используется для массивных полей со спином 1, где концепция калибровочных преобразований вообще не применима.

Условие Лоренца названо в честь Людвиг Лоренц. Это Инвариант Лоренца условие, и его часто называют "условием Лоренца" из-за путаницы с Хендрик Лоренц, в честь которого названа ковариация Лоренца.^[1]

Описание

В электромагнетизм, условие Лоренца обычно использовал в расчеты из зависящий от времени электромагнитные поля через запаздывающие потенциалы.^[2] Состояние

${ Displaystyle partial _ { mu} A ^ { mu} Equiv A ^ { mu} {} _ {, mu} = 0,}$

куда ${ displaystyle A ^ { mu}}$ это четырехпотенциальный запятая означает частичная дифференциация а повторяющийся индекс указывает, что Соглашение о суммировании Эйнштейна используется. Состояние имеет то преимущество, что Инвариант Лоренца. Он по-прежнему оставляет значительные калибровочные степени свободы.

В обычных векторных обозначениях и SI единиц, условие

${ displaystyle nabla cdot { mathbf {A}} + { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial varphi} { partial t}} = 0,}$

куда ${ displaystyle mathbf {A}}$ это магнитный векторный потенциал и ${ displaystyle varphi}$ это электрический потенциал;^[3][4] смотрите также крепление датчика.

В Гауссовы единицы состояние

${ displaystyle nabla cdot { mathbf {A}} + { frac {1} {c}} { frac { partial varphi} { partial t}} = 0.}$^[5][6]

Быстрое обоснование калибровки Лоренца можно найти, используя Уравнения Максвелла и связь между векторным магнитным потенциалом и магнитным полем:

${ displaystyle nabla times mathbf {E} = - { frac { partial mathbf {B}} { partial t}} = - { frac { partial ( nabla times mathbf {A}) )} { partial t}}}$

Следовательно,

${ displaystyle nabla times left ( mathbf {E} + { frac { partial mathbf {A}} { partial t}} right) = 0.}$

Поскольку ротор равен нулю, это означает, что существует скалярная функция ${ displaystyle varphi}$ такой, что

${ displaystyle - nabla varphi = mathbf {E} + { frac { partial mathbf {A}} { partial t}}.}$

Это дает хорошо известное уравнение для электрического поля:

${ displaystyle mathbf {E} = - nabla varphi - { frac { partial mathbf {A}} { partial t}}.}$

Этот результат можно включить в уравнение Ампера – Максвелла:

${ displaystyle { begin {align} nabla times mathbf {B} & = mu _ {0} mathbf {J} + { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial mathbf {E}} { partial t}} nabla times left ( nabla times mathbf {A} right) & = Rightarrow nabla left ( nabla cdot mathbf {A} right) - nabla ^ {2} mathbf {A} & = mu _ {0} mathbf {J} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ( nabla varphi)} { partial t}} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} mathbf {A}} { частичный t ^ {2}}}. конец {выровнен}}}$

Это оставляет,

${ displaystyle nabla left ( nabla cdot mathbf {A} + { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial varphi} { partial t}} right) = mu _ {0} mathbf {J} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} mathbf {A}} { partial t ^ {2 }}} + nabla ^ {2} mathbf {A}.}$

Чтобы иметь лоренц-инвариантность, производные по времени и пространственные производные должны рассматриваться одинаково (то есть одного порядка). Поэтому удобно выбрать калибровочное условие Лоренца, которое дает результат

${ displaystyle Box mathbf {A} = left [ nabla ^ {2} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} right] mathbf {A} = - mu _ {0} mathbf {J}.}$

Аналогичная процедура с акцентом на электрический скалярный потенциал и с тем же выбором калибровки даст

${ displaystyle Box varphi = left [ nabla ^ {2} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2 }}} right] varphi = - { frac {1} { epsilon _ {0}}} rho.}$

Это более простые и более симметричные формы неоднородного Уравнения Максвелла. Обратите внимание, что Кулоновский калибр также устраняет проблему лоренц-инвариантности, но оставляет член связи с производными первого порядка.

Здесь

${ displaystyle c = { frac {1} { sqrt { epsilon _ {0} mu _ {0}}}}}$

- скорость света в вакууме, а ${ displaystyle Box}$ это д'Аламбертиан оператор. Эти уравнения справедливы не только в условиях вакуума, но и в поляризованных средах,^[7] если ${ displaystyle rho}$ и ${ displaystyle { vec {J}}}$ - плотность источника и плотность циркуляции соответственно полей электромагнитной индукции ${ displaystyle { vec {E}}}$ и ${ displaystyle { vec {B}}}$ рассчитывается как обычно из ${ displaystyle varphi}$ и ${ displaystyle { vec {A}}}$ уравнениями

${ displaystyle mathbf {E} = - nabla varphi - { frac { partial mathbf {A}} { partial t}}}$

${ Displaystyle mathbf {B} = набла раз mathbf {A}}$

Явные решения для ${ displaystyle varphi}$ и ${ displaystyle mathbf {A}}$ - уникальны, если все величины достаточно быстро обращаются в нуль на бесконечности - известны как запаздывающие потенциалы.

История

Первоначально опубликованная работа Лоренца не была принята Максвелл. Максвелл исключил кулоновскую электростатическую силу из своего вывода уравнение электромагнитной волны поскольку он работал в том, что в наши дни назовут Кулоновский калибр. Таким образом, калибровка Лоренца противоречила первоначальному выводу Максвелла уравнения электромагнитной волны, вводя эффект запаздывания для кулоновской силы и помещая ее в уравнение электромагнитной волны вместе с изменяющейся во времени электрическое поле, который был представлен в статье Лоренца «О тождестве колебаний света с электрическими токами». Работа Лоренца была первой симметризация сокращение уравнений Максвелла после того, как Максвелл опубликовал свою статью 1865 года. В 1888 году запаздывающие потенциалы стали широко использоваться после Генрих Рудольф Герц эксперименты на электромагнитные волны. В 1895 г. дальнейшее развитие теории запаздывающих потенциалов произошло после того, как Дж. Дж. Томсон интерпретация данных для электроны (после чего расследование электрические явления изменено с зависящего от времени электрический заряд и электрический ток распределения переходят точечные сборы ).^[2]

Смотрите также

• Крепление манометра

Рекомендации

Внешние ссылки и дальнейшее чтение

Общий

• Вайсштейн, Э. "Lorenz Gauge". Wolfram Research.

дальнейшее чтение

• Лоренц, Л. (1867). «О тождестве колебаний света с электрическими токами». Философский журнал. Серия 4. 34 (230): 287–301.
• ван Блейдел, Дж. (1991). «Лоренц или Лоренц?». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine. 33 (2): 69. Дои:10.1109 / MAP.1991.5672647. S2CID  21922455.
  • Смотрите также Bladel, J. (1991). «Лоренц или Лоренц? [Приложение]». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine. 33 (4): 56. Bibcode:1991IAPM ... 33 ... 56B. Дои:10.1109 / MAP.1991.5672657.
• Беккер, Р. (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия. Dover Publications. Глава 3.
• О'Рахилли, А. (1938). Электромагнетизм. Лонгманс, Грин и Ко. Глава 6.

История

• Nevels, R .; Шин, Чанг-Сок (2001). «Лоренц, Лоренц и калибр». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine. 43 (3): 70–71. Bibcode:2001ИАПП ​​... 43 ... 70N. Дои:10.1109/74.934904.
• Уиттакер, Э. Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 1–2. Dover Publications. п. 268.