Операторы создания и уничтожения - Creation and annihilation operators

Операторы создания и уничтожения находятся математические операторы которые имеют широкое применение в квантовая механика, особенно в изучении квантовые гармонические осцилляторы и многочастичные системы.^[1] Оператор аннигиляции (обычно обозначается ${ displaystyle { hat {a}}}$) снижает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор создания (обычно обозначается ${ displaystyle { hat {a}} ^ { dagger}}$) увеличивает количество частиц в данном состоянии на единицу, и это прилегающий оператора аннигиляции. Во многих подполях физика и химия, использование этих операторов вместо волновые функции известен как второе квантование.

Операторы создания и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовая химия и теория многих тел операторы создания и уничтожения часто действуют на электрон состояния. Они также могут конкретно относиться к операторы лестницы для квантовый гармонический осциллятор. В последнем случае оператор повышения интерпретируется как оператор создания, добавляющий квант энергии к системе осциллятора (аналогично для оператора понижения). Их можно использовать для представления фононы.

Математика для операторов рождения и уничтожения для бозоны такое же, как и для операторы лестницы из квантовый гармонический осциллятор.^[2] Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равно единице, а все остальные коммутаторы равны нулю. Однако для фермионы математика другая, включая антикоммутаторы вместо коммутаторов.^[3]

Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора

В контексте квантовый гармонический осциллятор, можно переинтерпретировать операторы лестницы как операторы создания и уничтожения, добавляя или вычитая фиксированные кванты энергии к системе осциллятора.

Операторы создания / уничтожения различны для бозоны (целочисленное вращение) и фермионы (полуцелое вращение). Это потому, что их волновые функции иметь разные свойства симметрии.

Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора. Уравнение Шредингера для одномерного не зависящего от времени квантовый гармонический осциллятор,

${ displaystyle left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + { frac {1} {2}) } m omega ^ {2} x ^ {2} right) psi (x) = E psi (x).}$

Сделайте замену координат на обезразмерить дифференциальное уравнение

${ displaystyle x = { sqrt { frac { hbar} {m omega}}} q.}$

Уравнение Шредингера для осциллятора принимает вид

${ displaystyle { frac { hbar omega} {2}} left (- { frac {d ^ {2}} {dq ^ {2}}} + q ^ {2} right) psi ( q) = E psi (q).}$

Обратите внимание, что количество ${ displaystyle hbar omega = h nu}$ та же энергия, что и у света кванты и что скобка в Гамильтониан можно записать как

${ displaystyle - { frac {d ^ {2}} {dq ^ {2}}} + q ^ {2} = left (- { frac {d} {dq}} + q right) left ({ frac {d} {dq}} + q right) + { frac {d} {dq}} qq { frac {d} {dq}}.}$

Последние два члена можно упростить, рассмотрев их влияние на произвольную дифференцируемую функцию ${ displaystyle f (q),}$

${ displaystyle left ({ frac {d} {dq}} qq { frac {d} {dq}} right) f (q) = { frac {d} {dq}} (qf (q) ) -q { frac {df (q)} {dq}} = f (q)}$

что означает,

${ displaystyle { frac {d} {dq}} q-q { frac {d} {dq}} = 1,}$

совпадающее с обычным каноническим коммутационным соотношением ${ displaystyle -i [q, p] = 1}$, в пространственном представлении: ${ displaystyle p: = - я { frac {d} {dq}}}$.

Следовательно,

${ displaystyle - { frac {d ^ {2}} {dq ^ {2}}} + q ^ {2} = left (- { frac {d} {dq}} + q right) left ({ frac {d} {dq}} + q right) +1}$

и уравнение Шредингера для осциллятора становится, с заменой вышеуказанного и перестановкой множителя 1/2,

${ displaystyle hbar omega left [{ frac {1} { sqrt {2}}} left (- { frac {d} {dq}} + q right) { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ frac {d} {dq}} + q right) + { frac {1} {2}} right] psi (q) = E psi (q ).}$

Если определить

${ displaystyle a ^ { dagger} = { frac {1} { sqrt {2}}} left (- { frac {d} {dq}} + q right)}$

как "оператор создания" или "поднимающий оператор" и

${ displaystyle a = { frac {1} { sqrt {2}}} left ( ! { frac {d} {dq}} + q right)}$

как "оператор аннигиляции" или «оператор опускания», уравнение Шредингера для осциллятора сводится к

${ displaystyle hbar omega left (a ^ { dagger} a + { frac {1} {2}} right) psi (q) = E psi (q).}$

Это значительно проще, чем исходная форма. Дальнейшие упрощения этого уравнения позволяют получить все перечисленные выше свойства.

Сдача ${ displaystyle p = -i { frac {d} {dq}}}$, где ${ displaystyle p}$ безразмерный оператор импульса надо

${ Displaystyle [д, р] = я ,}$

и

${ displaystyle a = { frac {1} { sqrt {2}}} (q + ip) = { frac {1} { sqrt {2}}} left (q + { frac {d} { dq}} right)}$

${ displaystyle a ^ { dagger} = { frac {1} { sqrt {2}}} (q-ip) = { frac {1} { sqrt {2}}} left (q- { frac {d} {dq}} right).}$

Обратите внимание, что это подразумевает

${ displaystyle [a, a ^ { dagger}] = { frac {1} {2}} [q + ip, q-ip] = { frac {1} {2}} ([q, -ip ] + [ip, q]) = { frac {-i} {2}} ([q, p] + [q, p]) = 1.}$

Операторы ${ Displaystyle а ,}$ и ${ displaystyle a ^ { dagger} ,}$ может быть противопоставлен нормальные операторы, которые коммутируют со своими соседями.^[4]

Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона может быть выражен как

${ displaystyle { hat {H}} = hbar omega left (a , a ^ { dagger} - { frac {1} {2}} right) = hbar omega left (a ^ { dagger} , a + { frac {1} {2}} right). qquad qquad (*)}$

Можно вычислить коммутационные соотношения между ${ Displaystyle а ,}$ и ${ displaystyle a ^ { dagger} ,}$ операторы и гамильтониан:^[5]

${ displaystyle [{ hat {H}}, a] = [ hbar omega left (aa ^ { dagger} - { frac {1} {2}} right), a] = hbar omega [aa ^ { dagger}, a] = hbar omega (a [a ^ { dagger}, a] + [a, a] a ^ { dagger}) = - hbar omega a.}$

${ displaystyle [{ hat {H}}, a ^ { dagger}] = hbar omega , a ^ { dagger}.}$

Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантового гармонического осциллятора следующим образом.

При условии, что ${ displaystyle psi _ {n}}$ является собственным состоянием гамильтониана ${ displaystyle { hat {H}} psi _ {n} = E_ {n} , psi _ {n}}$. Используя эти коммутационные соотношения, следует, что^[5]

${ displaystyle { hat {H}} , a psi _ {n} = (E_ {n} - hbar omega) , a psi _ {n}.}$

${ displaystyle { hat {H}} , a ^ { dagger} psi _ {n} = (E_ {n} + hbar omega) , a ^ { dagger} psi _ {n} .}$

Это показывает, что ${ displaystyle a psi _ {n}}$ и ${ displaystyle a ^ { dagger} psi _ {n}}$ также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями ${ displaystyle E_ {n} - hbar omega}$ и ${ displaystyle E_ {n} + hbar omega}$ соответственно. Это определяет операторов ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle a ^ { dagger}}$ как операторы «понижения» и «повышения» между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна ${ displaystyle Delta E = hbar omega}$.

Основное состояние может быть найдено, если предположить, что опускающий оператор имеет нетривиальное ядро: ${ Displaystyle а , psi _ {0} = 0}$ с участием ${ displaystyle psi _ {0} neq 0}$. Применяя гамильтониан к основному состоянию,

${ displaystyle { hat {H}} psi _ {0} = hbar omega left (a ^ { dagger} a + { frac {1} {2}} right) psi _ {0} = hbar omega a ^ { dagger} a psi _ {0} + { frac { hbar omega} {2}} psi _ {0} = 0 + { frac { hbar omega} {2}} psi _ {0} = E_ {0} psi _ {0}.}$

Так ${ displaystyle psi _ {0}}$ является собственной функцией гамильтониана.

Это дает энергию основного состояния ${ displaystyle E_ {0} = hbar omega / 2}$, что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния ${ displaystyle psi _ {n}}$ так как^[5]

${ displaystyle E_ {n} = left (n + { frac {1} {2}} right) hbar omega.}$

Кроме того, оказывается, что первый упомянутый оператор в (*), оператор числа ${ Displaystyle N = а ^ { кинжал} а ,,}$ играет самую важную роль в приложениях, а вторая, ${ displaystyle aa ^ { dagger} ,}$ можно просто заменить на ${ displaystyle N + 1}$.

Вследствие этого,

${ displaystyle hbar omega , left (N + { frac {1} {2}} right) , psi (q) = E , psi (q) ~.}$

В оператор эволюции во времени затем

${ Displaystyle U (T) = exp (-it { hat {H}} / hbar) = exp (-it omega (a ^ { dagger} a + 1/2)) ~,}$

${ displaystyle = e ^ {- it omega / 2} ~ sum _ {k = 0} ^ { infty} {(e ^ {- i omega t} -1) ^ {k} над k! } a ^ {{ dagger} {k}} a ^ {k} ~.}$

Явные собственные функции

Основное состояние ${ displaystyle psi _ {0} (q)}$ из квантовый гармонический осциллятор можно найти, наложив условие, что

${ displaystyle a psi _ {0} (q) = 0.}$

Записанная как дифференциальное уравнение, волновая функция удовлетворяет

${ displaystyle q psi _ {0} + { frac {d psi _ {0}} {dq}} = 0}$

с решением

${ displaystyle psi _ {0} (q) = C exp left (- {q ^ {2} over 2} right).}$

Константа нормализации C оказывается${ displaystyle 1 / { sqrt [{4}] { pi}}}$ от ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} psi _ {0} ^ {*} psi _ {0} , dq = 1}$, с использованием Гауссов интеграл. Явные формулы для всех собственных функций теперь могут быть найдены повторным применением ${ displaystyle a ^ { dagger}}$ к ${ displaystyle psi _ {0}}$.^[6]

Матричное представление

Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид

${ displaystyle a ^ { dagger} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & dots & 0 & dots { sqrt {1}} & 0 & 0 & dots & 0 & dots 0 & { sqrt {2}} & 0 & dots & 0 & dots 0 & 0 & { sqrt {3}} & dots & 0 & dots vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & dots 0 & 0 & 0 & dots & { sqrt {n} } & точки & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end {pmatrix}}}$

${ displaystyle a = { begin {pmatrix} 0 & { sqrt {1}} & 0 & 0 & dots & 0 & dots 0 & 0 & { sqrt {2}} & 0 & dots & 0 & dots 0 & 0 & 0 & { sqrt {3} } & dots & 0 & dots 0 & 0 & 0 & 0 & ddots & vdots & dots vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & { sqrt {n}} & dots 0 & 0 & 0 & 0 & dots & 0 & ddots vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end {pmatrix}}}$

Их можно получить с помощью соотношений ${ displaystyle a_ {ij} ^ { dagger} = langle psi _ {i} mid a ^ { dagger} mid psi _ {j} rangle}$ и ${ displaystyle a_ {ij} = langle psi _ {i} mid a mid psi _ {j} rangle}$. Собственные векторы ${ displaystyle psi _ {я}}$ являются таковыми квантового гармонического осциллятора и иногда называются «числовым базисом».

Обобщенные операторы создания и уничтожения

Выведенные выше операторы на самом деле являются конкретным примером более обобщенного понятия операторов создания и уничтожения. Более абстрактная форма операторов строится следующим образом. Позволять ${ displaystyle H}$ быть одночастичным Гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы).

(бозонный ) CCR алгебра над ${ displaystyle H}$ - алгебра с оператором сопряжения (называемая *) абстрактно порождается элементами ${ Displaystyle а (е)}$, где ${ displaystyle f ,}$свободно колеблется над ${ displaystyle H}$, при условии отношений

${ Displaystyle [a (е), a (g)] = [a ^ { dagger} (f), a ^ { dagger} (g)] = 0}$

${ displaystyle [a (f), a ^ { dagger} (g)] = langle f mid g rangle,}$

в обозначение бюстгальтера.

Карта ${ displaystyle a: f to a (f)}$ от ${ displaystyle H}$ к бозонной CCR алгебре требуется комплексная антилинейный (это добавляет больше отношений). это прилегающий является ${ Displaystyle а ^ { кинжал} (е)}$, и карта ${ displaystyle f к ^ { dagger} (f)}$ является сложный линейный в ЧАС. Таким образом ${ displaystyle H}$ вкладывается как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент ${ Displaystyle а (е)}$ будет реализован как оператор аннигиляции, а ${ Displaystyle а ^ { кинжал} (е)}$ в качестве оператора создания.

В общем, алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C * алгебра. Алгебра CCR над ${ displaystyle H}$ тесно связан, но не идентичен Алгебра Вейля.

Для фермионов (фермионная) CAR алгебра над ${ displaystyle H}$ построен аналогично, но с использованием антикоммутатор отношения вместо этого, а именно

${ Displaystyle {a (е), a (g) } = {a ^ { dagger} (f), a ^ { dagger} (g) } = 0}$

${ displaystyle {a (f), a ^ { dagger} (g) } = langle f mid g rangle.}$

Алгебра CAR конечномерна, только если ${ displaystyle H}$ конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет ${ displaystyle C ^ {*}}$ алгебра. Алгебра CAR тесно связана, но не идентична Алгебра Клиффорда.

Физически говоря, ${ Displaystyle а (е)}$ удаляет (т. е. аннигилирует) частицу в состоянии ${ displaystyle | f rangle}$ в то время как ${ Displaystyle а ^ { кинжал} (е)}$ создает частицу в состоянии ${ displaystyle | f rangle}$.

В свободное поле состояние вакуума это состояние | 0 ${ displaystyle scriptstyle rangle}$ без частиц, характеризуется

${ displaystyle a (f) left | 0 right rangle = 0.}$

Если ${ displaystyle | f rangle}$ нормализовано так, чтобы ${ displaystyle langle f | f rangle = 1}$, тогда ${ Displaystyle N = а ^ { кинжал} (е) а (е)}$ дает количество частиц в состоянии ${ displaystyle | f rangle}$.

Операторы рождения и уничтожения для уравнений реакции-диффузии

Описание операторов аннигиляции и рождения также было полезно для анализа классических уравнений реакции диффузии, таких как ситуация, когда газ из молекул ${ displaystyle A}$ диффундируют и взаимодействуют при контакте, образуя инертный продукт: ${ Displaystyle А + А к emptyset}$. Чтобы увидеть, как такая реакция может быть описана формализмом операторов уничтожения и созидания, рассмотрим ${ displaystyle n_ {i}}$ частицы на сайте я на одномерной решетке. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с определенной другой вероятностью.

Вероятность того, что одна частица покинет объект за короткий промежуток времени dt пропорционально ${ displaystyle n_ {i} , dt}$, скажем вероятность ${ displaystyle alpha n_ {i} dt}$ прыгнуть влево и ${ Displaystyle альфа п_ {я} , dt}$ прыгать прямо. Все ${ displaystyle n_ {i}}$ частицы останутся на месте с вероятностью ${ displaystyle 1-2 alpha n_ {i} , dt}$. (Поскольку dt настолько мал, что вероятность того, что двое или более человек уйдут во время dt очень маленький и будет проигнорирован.)

Теперь мы можем описать заполнение решеткой частицами как `` кет '' вида

${ displaystyle | dots, n _ {- 1}, n_ {0}, n_ {1}, dots rangle}$. Он представляет собой сопоставление (или соединение, или тензорное произведение) числовых состояний. ${ Displaystyle точки, | п _ {- 1} rangle}$ ${ displaystyle | n_ {0} rangle}$, ${ displaystyle | n_ {1} rangle, dots}$ расположены на отдельных участках решетки. Отзыв

${ displaystyle a mid ! n rangle = { sqrt {n}} | n-1 rangle}$

${ displaystyle a ^ { dagger}}$и

${ displaystyle a ^ { dagger} mid ! n rangle = { sqrt {n + 1}} mid ! n + 1 rangle,}$

для всех п ≥ 0, а

${ Displaystyle [а, а ^ { кинжал}] = 1}$

Это определение операторов теперь будет изменено с учетом «неквантовой» природы этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение:

${ displaystyle a mid ! n rangle = n | n-1 rangle}$

${ displaystyle a ^ { dagger} mid ! n rangle = mid n + 1 rangle}$

обратите внимание, что даже несмотря на то, что поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются соотношению коммутации

${ Displaystyle [а, а ^ { кинжал}] = 1}$

Теперь определим ${ displaystyle a_ {i}}$ так что это применимо ${ displaystyle a}$ к ${ displaystyle | n_ {i} rangle}$. Соответственно определим ${ displaystyle a_ {i} ^ { dagger}}$ как применение ${ displaystyle a ^ { dagger}}$ к ${ displaystyle | n_ {i} rangle}$. Так, например, чистый эффект от ${ displaystyle a_ {i-1} a_ {i} ^ { dagger}}$ это переместить частицу из ${ Displaystyle (я-1) ^ { текст {th}}}$ к ${ displaystyle i ^ { text {th}}}$сайт при умножении на соответствующий коэффициент.

Это позволяет записать чистое диффузионное поведение частиц как

${ displaystyle partial _ {t} mid ! psi rangle = - alpha sum (2a_ {i} ^ { dagger} a_ {i} -a_ {i-1} ^ { dagger} a_ {i} -a_ {i + 1} ^ { dagger} a_ {i}) mid ! psi rangle = - alpha sum (a_ {i} ^ { dagger} -a_ {i-1 } ^ { dagger}) (a_ {i} -a_ {i-1}) mid ! psi rangle,}$

где сумма закончилась ${ displaystyle i}$.

Срок реакции можно вывести, отметив, что ${ displaystyle n}$ частицы могут взаимодействовать в ${ Displaystyle п (п-1)}$ разными способами, так что вероятность того, что пара аннигилирует, равна ${ Displaystyle лямбда п (п-1) dt}$, давая срок

${ displaystyle lambda sum (a_ {i} a_ {i} -a_ {i} ^ { dagger} a_ {i} ^ { dagger} a_ {i} a_ {i})}$

где число состояние п заменяется состоянием числа п - 2 на объекте ${ displaystyle i}$ с определенной скоростью.

Таким образом, государство развивается

${ displaystyle partial _ {t} mid ! psi rangle = - alpha sum (a_ {i} ^ { dagger} -a_ {i-1} ^ { dagger}) (a_ {i } -a_ {i-1}) mid ! psi rangle + lambda sum (a_ {i} ^ {2} -a_ {i} ^ { dagger 2} a_ {i} ^ {2} ) mid ! psi rangle}$

Аналогичным образом можно включить и другие виды взаимодействия.

Такой вид обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля для анализа реакционно-диффузионных систем.

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

В квантовые теории поля и проблемы с телом один работает с операторами рождения и уничтожения квантовых состояний, ${ displaystyle a_ {i} ^ { dagger}}$ и ${ Displaystyle а_ {я} ^ {,}}$. Эти операторы изменяют собственные значения оператора оператор числа,

${ displaystyle N = sum _ {i} n_ {i} = sum _ {i} a_ {i} ^ { dagger} a_ {i} ^ {,}}$,

по одному, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, ${ displaystyle i}$) представлять квантовые числа которые маркируют одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются отдельными числами. Например, кортеж квантовых чисел ${ Displaystyle (п, л, м, с)}$ используется для обозначения состояний в атом водорода.

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в многоуровневомбозон система,

${ displaystyle [a_ {i} ^ {,}, a_ {j} ^ { dagger}] Equiv a_ {i} ^ {,} a_ {j} ^ { dagger} -a_ {j} ^ { dagger} a_ {i} ^ {,} = delta _ {ij},}$

${ displaystyle [a_ {i} ^ { dagger}, a_ {j} ^ { dagger}] = [a_ {i} ^ {,}, a_ {j} ^ {,}] = 0,}$

где ${ Displaystyle [ , ]}$ это коммутатор и ${ displaystyle delta _ {ij}}$ это Дельта Кронекера.

Для фермионы, коммутатор заменяется на антикоммутатор ${ Displaystyle { , }}$,

${ displaystyle {a_ {i} ^ {,}, a_ {j} ^ { dagger} } Equiv a_ {i} ^ {,} a_ {j} ^ { dagger} + a_ {j } ^ { dagger} a_ {i} ^ {,} = delta _ {ij},}$

${ displaystyle {a_ {i} ^ { dagger}, a_ {j} ^ { dagger} } = {a_ {i} ^ {,}, a_ {j} ^ {,} } = 0.}$

Следовательно, замена непересекающихся (т.е. ${ displaystyle i neq j}$) в продукте операторов рождения или уничтожения будут менять знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.

Если состояния, помеченные я являются ортонормированным базисом гильбертова пространства ЧАС, то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация будет более тонкой.

Нормализация

Пока Зи^[7] получает импульсное пространство нормализация ${ displaystyle [{ hat {a}} _ { mathbf {p}}, { hat {a}} _ { mathbf {q}} ^ { dagger}] = delta ( mathbf {p} - mathbf {q})}$ через симметричное соглашение для преобразований Фурье, Тонг^[8] и Пескин и Шредер^[9] используйте общее асимметричное соглашение, чтобы получить ${ displaystyle [{ hat {a}} _ { mathbf {p}}, { hat {a}} _ { mathbf {q}} ^ { dagger}] = (2 pi) ^ {3 } delta ( mathbf {p} - mathbf {q})}$. Каждый выводит ${ Displaystyle [{ шляпа { phi}} ( mathbf {x}), { шляпа { pi}} ( mathbf {x} ')] = я дельта ( mathbf {x} - mathbf {Икс} ')}$.

Средницки дополнительно объединяет лоренц-инвариантную меру в свою асимметричную меру Фурье, ${ displaystyle { tilde {dk}} = { frac {d ^ {3} k} {(2 pi) ^ {3} 2 omega}}}$, уступая ${ displaystyle [{ hat {a}} _ { mathbf {k}}, { hat {a}} _ { mathbf {k} '} ^ { dagger}] = (2 pi) ^ { 3} 2 omega , delta ( mathbf {k} - mathbf {k} ')}$.^[10]

Смотрите также

• Пространство Сегала – Баргмана.
• Боголюбовские преобразования - возникает в теории квантовой оптики.
• Оптическое фазовое пространство
• Пространство фока
• Канонические коммутационные соотношения

использованная литература

• Фейнман, Ричард П. (1998) [1972]. Статистическая механика: цикл лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-36076-9.
• Альберт Мессия, 1966. Квантовая механика (Vol. I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, John Wiley & Sons. Гл. XII. онлайн

Сноски