Преобразование Боголюбова - Bogoliubov transformation

В теоретическая физика, то Преобразование Боголюбова, также известный как Преобразование Боголюбова – Валатина., был независимо разработан в 1958 г. Николай Боголюбов и Джон Джордж Валатин для поиска решений Теория BCS в однородной системе.^[1][2] Преобразование Боголюбова - это изоморфизм либо из каноническая алгебра коммутационных соотношений или же каноническая антикоммутационная алгебра отношений. Это индуцирует автоэквивалентность соответствующих представлений. Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации Гамильтонианы, что дает стационарные решения соответствующих Уравнение Шредингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания Эффект Унру, Радиация Хокинга, парные эффекты в ядерной физике и многие другие темы.

Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов: с соответствующее преобразование функции состояния. Таким образом, собственные значения операторов, вычисленные с помощью диагонализованного гамильтониана преобразованной функции состояния, такие же, как и раньше.

Пример одиночного бозонного режима

Рассмотрим канонический коммутационное отношение за бозонный операторы создания и уничтожения в гармонической основе

${ displaystyle left [{ hat {a}}, { hat {a}} ^ { dagger} right] = 1 ~.}$

Определите новую пару операторов

${ displaystyle { hat {b}} = u { hat {a}} + v { hat {a}} ^ { dagger}}$

${ displaystyle { hat {b}} ^ { dagger} = u ^ {*} { hat {a}} ^ { dagger} + v ^ {*} { hat {a}} ~,}$

для комплексного числа ты и v, где последний - Эрмитово сопряжение из первых.

Преобразование Боголюбова - это каноническое преобразование, отображающее операторы ${ displaystyle { hat {a}}}$ и ${ displaystyle { hat {a}} ^ { dagger}}$ к ${ displaystyle { hat {b}}}$ и ${ displaystyle { hat {b}} ^ { dagger}}$. Чтобы найти условия на константы ты и v такое, что преобразование является каноническим, коммутатор вычисляется, а именно.

${ displaystyle left [{ hat {b}}, { hat {b}} ^ { dagger} right] = left [u { hat {a}} + v { hat {a}} ^ { dagger}, u ^ {*} { hat {a}} ^ { dagger} + v ^ {*} { hat {a}} right] = cdots = left (| u | ^ {2} - | v | ^ {2} right) left [{ hat {a}}, { hat {a}} ^ { dagger} right].}$

Тогда очевидно, что ${ Displaystyle , | и | ^ {2} - | v | ^ {2} = 1}$ - условие, при котором преобразование является каноническим.

Поскольку форма этого состояния наводит на мысль о гиперболическая идентичность

${ Displaystyle сш ^ {2} х- зп ^ {2} х = 1}$,

константы ты и v можно легко параметризовать как

${ Displaystyle и = е ^ {я тета _ {1}} сш г}$

${ displaystyle v = e ^ {i theta _ {2}} sinh r ~.}$

Это интерпретируется как линейное симплектическое преобразование из фазовое пространство. По сравнению с Разложение Блоха-Мессии, два угла ${ displaystyle theta _ {1}}$ и ${ displaystyle theta _ {2}}$ соответствуют ортогональным симплектическим преобразованиям (т. е. поворотам), а коэффициент сжатия ${ displaystyle r}$ соответствует диагональному преобразованию.

Приложения

Наиболее известное приложение принадлежит Николай Боголюбов сам в контексте сверхтекучесть.^[3][4] Другие приложения включают Гамильтонианы и возбуждения в теории антиферромагнетизм.^[5] При вычислении квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени возможно изменение вакуума и преобразование Боголюбова между этими различными вакуумами. Это используется при выводе Радиация Хокинга. Преобразования Боголюбова также широко используются в квантовой оптике, особенно при работе с гауссовыми унитарами (такими как светоделители, фазовращатели и операции сжатия).

Фермионный режим

Для антикоммутация связи

${ displaystyle left {{ hat {a}}, { hat {a}} right } = 0, left {{ hat {a}}, { hat {a}} ^ { dagger} right } = 1,}$

преобразование Боголюбова может удовлетворять первому из этих антикоммутационных соотношений только тогда, когда ${ displaystyle uv = 0.}$ Следовательно, единственная нетривиальная возможность - это ${ displaystyle u = 0, v = 1,}$ соответствующий обмену частица-античастица (или обмену частица-дырка в системах многих тел). Таким образом, для одиночной частицы преобразование может быть реализовано (1) только для Фермион Дирака где частица и античастица различны или (в отличие от Майорана фермион или же киральный фермион ) или (2) для мультифермионных систем, в которых имеется более одного типа фермионов.

Приложения

Самая заметная заявка опять же самого Николая Боголюбова, на этот раз для Теория BCS из сверхпроводимость.^[5][6][7][8] Точка, где необходимость выполнения преобразования Боголюбова становится очевидной, состоит в том, что в приближении среднего поля гамильтониан системы может быть записан в обоих случаях как сумма билинейных членов в исходных операторах рождения и разрушения, включающих конечные ${ displaystyle , langle a_ {i} ^ {+} a_ {j} ^ {+} rangle}$-термс, т.е. нужно выходить за рамки обычного Метод Хартри – Фока. В частности, в среднем поле Гамильтониан Боголюбова-де Женна формализм со сверхпроводящим членом спаривания, таким как ${ displaystyle Delta a_ {i} ^ {+} a_ {j} ^ {+} + { textrm {h.c.}}}$, преобразованные операторы Боголюбова ${ displaystyle b, b ^ { dagger}}$ аннигилировать и создавать квазичастицы (каждая с четко определенной энергией, импульсом и спином, но в квантовой суперпозиции состояния электрона и дырки) и иметь коэффициенты ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ заданные собственными векторами матрицы Боголюбова-де Жена. Также в ядерная физика, этот метод применим, поскольку может описывать «энергию спаривания» нуклонов в тяжелом элементе.^[9]

Пример многомодового режима

В Гильбертово пространство рассматриваемый нами снабжен этими операторами и далее описывает многомерный квантовый гармонический осциллятор (обычно бесконечномерный).

В основное состояние соответствующих Гамильтониан аннигилирует все операторы уничтожения:

${ displaystyle forall i qquad a_ {i} | 0 rangle = 0}$

Все возбужденные состояния получаются как линейные комбинации основного состояния, возбужденного некоторыми операторы создания:

${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {i_ {k}} ^ { dagger} | 0 rangle}$

Можно переопределить операторы создания и уничтожения путем линейного переопределения:

${ displaystyle a '_ {i} = sum _ {j} (u_ {ij} a_ {j} + v_ {ij} a_ {j} ^ { dagger})}$

где коэффициенты ${ displaystyle , u_ {ij}, v_ {ij}}$ должны удовлетворять определенным правилам, чтобы гарантировать, что операторы уничтожения и операторы создания ${ displaystyle a_ {я} ^ { prime dagger}}$, определяемый Эрмитово сопряжение уравнение, имеют то же коммутаторы для бозонов и антикоммутаторов для фермионов.

Вышеприведенное уравнение определяет преобразование Боголюбова операторов.

Основное состояние аннигилировано всеми ${ displaystyle a '_ {i}}$ отличается от исходного основного состояния ${ displaystyle | 0 rangle}$ и их можно рассматривать как преобразования Боголюбова друг друга с использованием соответствия оператор-состояние. Их также можно определить как сжатые когерентные состояния. Волновая функция БКШ является примером сжатого когерентного состояния фермионов.^[10]

Рекомендации

дальнейшее чтение

Вся тема и множество конкретных приложений рассматриваются в следующих учебниках:

• Blaizot, J.-P .; Рипка, Г. (1985). Квантовая теория конечных систем. MIT Press. ISBN  0-262-02214-1.
• Fetter, A .; Валецка Дж. (2003). Квантовая теория систем многих частиц. Дувр. ISBN  0-486-42827-3.
• Киттель, гл. (1987). Квантовая теория твердого тела. Вайли. ISBN  0-471-62412-8.
• Вагнер, М. (1986). Унитарные превращения в физике твердого тела. Elsevier Science. ISBN  0-444-86975-1.