Пространство фока - Fock space

В Пространство фока является алгебраический конструкция, используемая в квантовая механика построить квантовые состояния пространство переменной или неизвестное количество одинаковых частицы из одной частицы Гильбертово пространство ЧАС. Он назван в честь В. А. Фок который впервые представил его в своей статье 1932 года «Konfigurationsraum und zweite Quantelung».^[1][2]

Неформально пространство Фока - это сумма набора гильбертовых пространств, представляющих состояния с нулевой частицей, состояния с одной частицей, состояния с двумя частицами и так далее. Если одинаковые частицы бозоны, то п-частичные состояния - это векторы в симметризованный тензорное произведение из п одночастичные гильбертовы пространства ЧАС. Если одинаковые частицы фермионы, то п-частичные состояния - это векторы в антисимметричный тензорное произведение п одночастичные гильбертовы пространства ЧАС. Общее состояние в пространстве Фока - это линейная комбинация из п-состояния частиц, по одному для каждого п.

Технически пространство Фока - это Гильбертово пространство завершение из прямая сумма симметричных или антисимметричных тензоров в тензорные степени одночастичного гильбертова пространства ЧАС,

${ displaystyle F _ { nu} (H) = { overline { bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} S _ { nu} H ^ { otimes n}}} ~.}$

Здесь ${ displaystyle S _ { nu}}$ это оператор который симметризует или антисимметризует тензор, в зависимости от того, описывает ли гильбертово пространство частицы, подчиняющиеся бозонный ${ Displaystyle ( ню = +)}$ или же фермионный ${ Displaystyle ( ню = -)}$ статистика, а верхняя черта представляет заполнение пространства. Бозонное (соответственно фермионное) пространство Фока можно также построить как (пополнение гильбертова пространства) симметричные тензоры ${ displaystyle F _ {+} (H) = { overline {S ^ {*} H}}}$ (соотв. переменные тензоры ${ displaystyle F _ {-} (H) = { overline {{ bigwedge} ^ {*} H}}}$). Для каждой основы для ЧАС есть естественная основа пространства Фока, Фока заявляет.

Определение

Пространство Фока - это (гильбертово) прямая сумма из тензорные произведения копий одночастичного гильбертова пространства ${ displaystyle H}$

${ displaystyle F _ { nu} (H) = bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} S _ { nu} H ^ { otimes n} = mathbb {C} oplus H oplus left (S _ { nu} left (H otimes H right) right) oplus left (S _ { nu} left (H otimes H otimes H right) right) oplus ldots}$

Здесь ${ Displaystyle mathbb {C}}$, то комплексные скаляры, состоит из состояний, не соответствующих никаким частицам, ${ displaystyle H}$ состояния одной частицы, ${ Displaystyle S _ { nu} (Ч Время Ч)}$ состояния двух одинаковых частиц и т. д.

Типичное состояние в ${ Displaystyle F _ { nu} (Н)}$ дан кем-то

${ Displaystyle | Psi rangle _ { nu} = | Psi _ {0} rangle _ { nu} oplus | Psi _ {1} rangle _ { nu} oplus | Psi _ {2} rangle _ { nu} oplus ldots = a_ {0} | 0 rangle oplus a_ {1} | psi _ {1} rangle oplus sum _ {ij} a_ {ij} | psi _ {2i}, psi _ {2j} rangle _ { nu} oplus ldots}$

куда

${ displaystyle | 0 rangle}$ - вектор длины 1, называемый вакуумным состоянием и ${ displaystyle , a_ {0} in mathbb {C}}$ - комплексный коэффициент,

${ displaystyle | psi _ {1} rangle in H}$ является состоянием в одночастичном гильбертовом пространстве, а${ displaystyle , a_ {1} in mathbb {C}}$ - комплексный коэффициент,

${ displaystyle | psi _ {2i} ,, psi _ {2j} rangle _ { nu} = { frac {1} {2}} (| psi _ {2i} rangle otimes | psi _ {2j} rangle + nu , | psi _ {2j} rangle otimes | psi _ {2i} rangle) in S _ { nu} (H otimes H)}$, и ${ displaystyle a_ {ij} = nu a_ {ji} in mathbb {C}}$ комплексный коэффициент

и Т. Д.

Сходимость этой бесконечной суммы важна, если ${ Displaystyle F _ { nu} (Н)}$ должно быть гильбертовым пространством. Технически нам требуется ${ Displaystyle F _ { nu} (Н)}$ быть гильбертовым пополнением алгебраической прямой суммы. Он состоит из всего бесконечного кортежи ${ Displaystyle | Psi rangle _ { nu} = (| Psi _ {0} rangle _ { nu}, | Psi _ {1} rangle _ { nu}, | Psi _ { 2} rangle _ { nu}, ldots)}$ так что норма, определяемая внутренним продуктом, конечно

${ Displaystyle || Psi rangle _ { nu} | _ { nu} ^ {2} = sum _ {n = 0} ^ { infty} langle Psi _ {n} | Пси _ {n} rangle _ { nu} < infty}$

где ${ displaystyle n}$ норма частицы определяется

${ displaystyle langle Psi _ {n} | Psi _ {n} rangle _ { nu} = sum _ {i_ {1}, ldots i_ {n}, j_ {1}, ldots j_ {n}} a_ {i_ {1}, ldots, i_ {n}} ^ {*} a_ {j_ {1}, ldots, j_ {n}} langle psi _ {i_ {1}} | psi _ {j_ {1}} rangle cdots langle psi _ {i_ {n}} | psi _ {j_ {n}} rangle}$

т.е. ограничение норма на тензорном произведении ${ displaystyle H ^ { otimes n}}$

Для двух государств

${ Displaystyle | Psi rangle _ { nu} = | Psi _ {0} rangle _ { nu} oplus | Psi _ {1} rangle _ { nu} oplus | Psi _ {2} rangle _ { nu} oplus ldots = a_ {0} | 0 rangle oplus a_ {1} | psi _ {1} rangle oplus sum _ {ij} a_ {ij} | psi _ {2i}, psi _ {2j} rangle _ { nu} oplus ldots}$, и

${ Displaystyle | Phi rangle _ { nu} = | Phi _ {0} rangle _ { nu} oplus | Phi _ {1} rangle _ { nu} oplus | Phi _ {2} rangle _ { nu} oplus ldots = b_ {0} | 0 rangle oplus b_ {1} | phi _ {1} rangle oplus sum _ {ij} b_ {ij} | phi _ {2i}, phi _ {2j} rangle _ { nu} oplus ldots}$

в внутренний продукт на ${ Displaystyle F _ { nu} (Н)}$ тогда определяется как

${ Displaystyle langle Psi | Phi rangle _ { nu}: = sum _ {n} langle Psi _ {n} | Phi _ {n} rangle _ { nu} = a_ { 0} ^ {*} b_ {0} + a_ {1} ^ {*} b_ {1} langle psi _ {1} | phi _ {1} rangle + sum _ {ijkl} a_ {ij } ^ {*} b_ {kl} langle psi _ {2i} | phi _ {2k} rangle langle psi _ {2j} | phi _ {2l} rangle _ { nu} + ldots}$

где мы используем внутренние продукты на каждом из ${ displaystyle n}$-частичные гильбертовы пространства. Обратите внимание, что, в частности, ${ displaystyle n}$ подпространства частиц ортогональны для различных ${ displaystyle n}$.

Состояния продукта, неразличимые частицы и полезная основа для пространства Фока

А состояние продукта пространства Фока является состоянием вида

${ Displaystyle | Psi rangle _ { nu} = | phi _ {1}, phi _ {2}, cdots, phi _ {n} rangle _ { nu} = | phi _ {1} rangle | phi _ {2} rangle cdots | phi _ {n} rangle}$

который описывает набор ${ displaystyle n}$ частицы, одна из которых имеет квантовое состояние ${ displaystyle phi _ {1} ,}$, еще один ${ displaystyle phi _ {2} ,}$ и так далее до ${ displaystyle n}$^th частица, где каждый ${ Displaystyle phi _ {я} ,}$ является любой состояние из одночастичного гильбертова пространства ${ displaystyle H}$. Здесь сопоставление (запись кетов одиночных частиц рядом, без ${ displaystyle otimes}$) является симметричным (соответственно антисимметричным) умножением в симметричном (антисимметричном) тензорная алгебра. Общее состояние в пространстве Фока - это линейная комбинация состояний продукта. Состояние, которое нельзя записать в виде выпуклой суммы состояний продукта, называется запутанное состояние.

Когда мы говорим о одна частица в состоянии ${ Displaystyle phi _ {я} ,}$, необходимо иметь в виду, что в квантовой механике идентичные частицы неотличимый. В одном и том же пространстве Фока все частицы идентичны. (Чтобы описать множество разновидностей частиц, мы берем тензорное произведение столько разных пространств Фока, сколько разновидностей рассматриваемых частиц). Одна из самых мощных черт этого формализма заключается в том, что состояния неявно правильно симметризованы. Например, если указанное выше состояние ${ displaystyle | Psi rangle _ {-}}$ фермионный, он будет равен 0, если два (или более) ${ Displaystyle phi _ {я} ,}$ равны, поскольку антисимметричные (внешний вид) товар ${ displaystyle | phi _ {i} rangle | phi _ {i} rangle = 0}$. Это математическая формулировка Принцип исключения Паули что никакие два (или более) фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии. Фактически, всякий раз, когда термины в формальном продукте линейно зависимы; для антисимметричных тензоров произведение будет равно нулю. Кроме того, произведение ортонормированных состояний правильно ортонормировано по построению (хотя, возможно, 0 в случае Ферми, когда два состояния равны).

Полезной и удобной основой для пространства Фока является основание количества заполняемости. Учитывая основу ${ Displaystyle {| psi _ {я} rangle } _ {я = 0,1,2, точки}}$ из ${ displaystyle H}$, мы можем обозначить состояние как${ displaystyle n_ {0}}$ частицы в состоянии ${ displaystyle | psi _ {0} rangle}$,${ displaystyle n_ {1}}$ частицы в состоянии ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$, ..., ${ displaystyle n_ {k}}$ частицы в состоянии ${ displaystyle | psi _ {k} rangle}$, и никаких частиц в остальных состояниях, определяя

${ displaystyle | n_ {0}, n_ {1}, ldots, n_ {k} rangle _ { nu} = | psi _ {0} rangle ^ {n_ {0}} | psi _ { 1} rangle ^ {n_ {1}} cdots | psi _ {k} rangle ^ {n_ {k}},}$

где каждый ${ displaystyle n_ {i}}$ принимает значение 0 или 1 для фермионных частиц и 0, 1, 2, ... для бозонных частиц. Обратите внимание, что конечные нули могут быть отброшены без изменения состояния. Такое состояние называется Состояние Фока. Когда ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$ понимаются как стационарные состояния свободного поля, состояния Фока описывают совокупность невзаимодействующих частиц в определенном количестве. Наиболее общее состояние Фока - это линейная суперпозиция чистых состояний.

Два очень важных оператора: операторы создания и уничтожения, которые при воздействии на состояние Фока добавляют или соответственно удаляют частицу в приписанном квантовом состоянии. Они обозначаются ${ Displaystyle а ^ { кинжал} ( фи) ,}$ для создания и ${ Displaystyle а ( фи) ,}$на аннигиляцию соответственно. Чтобы создать («добавить») частицу, квантовое состояние ${ displaystyle | phi rangle}$ симметрично или внешне - умножается на ${ displaystyle | phi rangle}$; и соответственно аннигилировать ("удалить") частицу (четную или нечетную) интерьерный продукт взят с ${ displaystyle langle phi |}$, который является сопряженным с ${ Displaystyle а ^ { кинжал} ( фи) ,}$. Часто бывает удобно работать с состояниями основы ${ displaystyle H}$ так что эти операторы удаляют и добавляют ровно одну частицу в данном базисном состоянии. Эти операторы также служат генераторами более общих операторов, действующих в пространстве Фока, например оператор числа давая количество частиц в определенном состоянии ${ displaystyle | phi _ {i} rangle}$ является ${ Displaystyle а ^ { кинжал} ( фи _ {я}) а ( фи _ {я}) ,}$.

Интерпретация волновой функции

Часто одночастичное пространство ${ displaystyle H}$ дается как ${ displaystyle L_ {2} (X, mu)}$, пространство квадратично интегрируемые функции на пространстве ${ displaystyle X}$ с мера ${ displaystyle mu}$ (собственно говоря, классы эквивалентности квадратично интегрируемых функций, где функции эквивалентны, если они различаются на набор нулевой меры ). Типичный пример - это свободная частица с ${ displaystyle H = L_ {2} ( mathbb {R} ^ {3}, d ^ {3} x)}$ пространство квадратично интегрируемых функций на трехмерном пространстве. Тогда пространства Фока имеют естественную интерпретацию как симметричные или антисимметричные квадратично интегрируемые функции следующим образом.

Позволять ${ Displaystyle X ^ {0} = {* }}$ и ${ displaystyle X ^ {1} = X}$, ${ displaystyle X ^ {2} = X times X}$, ${ displaystyle X ^ {3} = X times X times X}$ и т.д. Рассмотрим пространство наборов точек, которое является несвязный союз

${ Displaystyle X ^ {*} = X ^ {0} bigsqcup X ^ {1} bigsqcup X ^ {2} bigsqcup X ^ {3} bigsqcup ldots}$.

Имеет естественную меру ${ Displaystyle mu ^ {*}}$ такой, что ${ displaystyle mu ^ {*} (X ^ {0}) = 1}$ и ограничение ${ Displaystyle mu ^ {*}}$ к ${ displaystyle X ^ {n}}$ является ${ displaystyle mu ^ {n}}$. Ровное пространство Фока ${ Displaystyle F _ {+} (L_ {2} (X, mu)) ,}$ можно тогда отождествить с пространством симметрических функций в ${ displaystyle L_ {2} (X ^ {*}, mu ^ {*})}$ тогда как странное пространство Фока ${ Displaystyle F _ {-} (L_ {2} (X, mu)) ,}$ можно отождествить с пространством антисимметричных функций. Идентификация следует непосредственно из изометрический отображение

${ Displaystyle L_ {2} (X, mu) ^ { otimes n} to L_ {2} (X ^ {n}, mu ^ {n})}$

${ Displaystyle psi _ {1} (x) otimes cdots otimes psi _ {n} (x) mapsto psi _ {1} (x_ {1}) cdots psi _ {n} ( x_ {n})}$.

Заданные волновые функции ${ Displaystyle psi _ {1} = psi _ {1} (x), ldots, psi _ {n} = psi _ {n} (x)}$, то Определитель Слейтера

${ displaystyle Psi (x_ {1}, ldots x_ {n}) = { frac {1} { sqrt {n!}}} left | { begin {matrix} psi _ {1} ( x_ {1}) & ldots & psi _ {n} (x_ {1}) vdots && vdots psi _ {1} (x_ {n}) & dots & psi _ { n} (x_ {n}) конец {матрица}} right |}$

антисимметричная функция на ${ displaystyle X ^ {n}}$. Таким образом, его можно естественно интерпретировать как элемент ${ displaystyle n}$-частичный сектор нечетного пространства Фока. Нормализация выбирается такой, что ${ Displaystyle | пси | = 1}$ если функции ${ displaystyle psi _ {1}, ldots, psi _ {n}}$ ортонормированы. Существует аналогичный "перманент Слейтера" с замененным определителем на постоянный который дает элементы ${ displaystyle n}$-сектор четного фоковского пространства.

Связь с пространством Сигала – Баргмана.

Определить Пространство Сегала – Баргмана. Космос ${ displaystyle B_ {N}}$^[3] сложных голоморфные функции квадратично интегрируем по Гауссова мера:

${ Displaystyle { mathcal {F}} ^ {2} ( mathbb {C} ^ {N}) = {f двоеточие mathbb {C} ^ {N} to mathbb {C} mid Верт f Vert _ {{ mathcal {F}} ^ {2} ( mathbb {C} ^ {N})} < infty }}$,

куда

${ displaystyle Vert f Vert _ {{ mathcal {F}} ^ {2} ( mathbb {C} ^ {N})}: = int _ { mathbb {C} ^ {n}} vert f ( mathbf {z}) vert ^ {2} e ^ {- pi vert mathbf {z} vert ^ {2}} , d mathbf {z}}$.

Затем определяя пространство ${ displaystyle B _ { infty}}$ как вложенное объединение пространств ${ displaystyle B_ {N}}$ над целыми числами ${ displaystyle N geq 0}$, Сегал ^[4] и Баргманн показал ^[5][6] который ${ displaystyle B _ { infty}}$ изоморфно бозонному фоковскому пространству. Моном

${ displaystyle x_ {1} ^ {n_ {1}} ... x_ {k} ^ {n_ {k}}}$

соответствует фоковскому состоянию

${ displaystyle | n_ {0}, n_ {1}, ldots, n_ {k} rangle _ { nu} = | psi _ {0} rangle ^ {n_ {0}} | psi _ { 1} rangle ^ {n_ {1}} cdots | psi _ {k} rangle ^ {n_ {k}}.}$

Смотрите также

• Состояние Фока
• Тензорная алгебра
• Голоморфное пространство Фока
• Операторы создания и уничтожения
• Определитель Слейтера
• Теорема Вика
• Некоммутативная геометрия
• Большой канонический ансамбль, тепловое распределение в пространстве Фока

Рекомендации

внешняя ссылка

• Диаграммы Фейнмана и произведения Вика, связанные с q-фоковским пространством - некоммутативный анализ, Эдвард Г. Эффрос и Михай Попа, факультет математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе
• Р. Героч, Математическая физика, Издательство Чикагского университета, глава 21.