Оператор (физика) - Operator (physics)

В физике оператор это функция через Космос физических состояний на другое пространство физических состояний. Простейшим примером полезности операторов является изучение симметрия (что делает концепцию группа полезно в этом контексте). Благодаря этому они являются очень полезными инструментами в классическая механика. Операторы еще более важны в квантовая механика, где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.

Операторы в классической механике

В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется Лагранжиан ${ Displaystyle L (д, { точка {q}}, т)}$ или, что то же самое, Гамильтониан ${ Displaystyle Н (д, р, т)}$, функция обобщенные координаты q, обобщенные скорости ${ Displaystyle { точка {q}} = mathrm {d} q / mathrm {d} t}$ и это сопряженные импульсы:

${ displaystyle p = { frac { partial L} { partial { dot {q}}}}}$

Если либо L или же ЧАС не зависит от обобщенной координаты q, имея в виду L и ЧАС не менять когда q изменяется, что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается прежней, даже если q изменения, соответствующие импульсы, сопряженные с этими координатами, будут сохраняться (это часть Теорема Нётер, а инвариантность движения относительно координаты q это симметрия ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.

Технически, когда ЧАС инвариантен под действием некоторого группа преобразований грамм:

${ Displaystyle S в G, H (S (q, p)) = H (q, p)}$.

элементы грамм являются физическими операторами, которые отображают физические состояния между собой.

Таблица операторов классической механики

Трансформация	Оператор	Позиция	Импульс
Трансляционная симметрия	${ Displaystyle Х ( mathbf {а})}$	${ Displaystyle mathbf {r} rightarrow mathbf {r} + mathbf {a}}$	${ displaystyle mathbf {p} rightarrow mathbf {p}}$
Симметрия перевода времени	${ Displaystyle U (т_ {0})}$	${ displaystyle mathbf {r} (t) rightarrow mathbf {r} (t + t_ {0})}$	${ displaystyle mathbf {p} (t) rightarrow mathbf {p} (t + t_ {0})}$
Вращательная инвариантность	${ Displaystyle R ( mathbf { шляпа {п}}, theta)}$	${ displaystyle mathbf {r} rightarrow R ( mathbf { hat {n}}, theta) mathbf {r}}$	${ Displaystyle mathbf {p} rightarrow R ( mathbf { hat {n}}, theta) mathbf {p}}$
Галилеевы преобразования	${ Displaystyle G ( mathbf {v})}$	${ Displaystyle mathbf {r} rightarrow mathbf {r} + mathbf {v} t}$	${ displaystyle mathbf {p} rightarrow mathbf {p} + m mathbf {v}}$
Паритет	${ displaystyle P}$	${ displaystyle mathbf {r} rightarrow - mathbf {r}}$	${ displaystyle mathbf {p} rightarrow - mathbf {p}}$
Т-симметрия	${ displaystyle T}$	${ Displaystyle mathbf {r} rightarrow mathbf {r} (-t)}$	${ Displaystyle mathbf {p} rightarrow - mathbf {p} (-t)}$

куда ${ Displaystyle R ({ шляпа { boldsymbol {n}}}, theta)}$ это матрица вращения вокруг оси, определяемой единичный вектор ${ displaystyle { hat { boldsymbol {n}}}}$ и угол θ.

Генераторы

Если преобразование бесконечно малое, действие оператора должно иметь вид

${ displaystyle I + epsilon A}$

куда ${ displaystyle I}$ - тождественный оператор, ${ displaystyle epsilon}$ - параметр с малым значением, а ${ displaystyle A}$ будет зависеть от рассматриваемого преобразования и называется генератор группы. Опять же, в качестве простого примера, мы выведем генератор пространственных трансляций для одномерных функций.

Как было сказано, ${ Displaystyle Т_ {а} е (х) = е (х-а)}$. Если ${ displaystyle a = epsilon}$ бесконечно мал, то мы можем написать

${ Displaystyle T _ { epsilon} f (x) = f (x- epsilon) приблизительно f (x) - epsilon f '(x).}$

Эту формулу можно переписать как

${ Displaystyle T _ { epsilon} f (x) = (I- epsilon D) f (x)}$

куда ${ displaystyle D}$ является генератором группы трансляций, которая в данном случае является производная оператор. Таким образом, говорят, что генератор переводов - это производная.

Экспоненциальная карта

При нормальных обстоятельствах вся группа может быть восстановлена ​​от генераторов через экспоненциальная карта. В случае переводов идея работает так.

Перевод на конечное значение ${ displaystyle a}$ может быть получен повторным применением бесконечно малого перевода:

${ Displaystyle T_ {a} е (х) = lim _ {N to infty} T_ {a / N} cdots T_ {a / N} f (x)}$

с ${ displaystyle cdots}$ стоя для приложения ${ displaystyle N}$ раз. Если ${ displaystyle N}$ велико, каждый из факторов можно считать бесконечно малым:

${ displaystyle T_ {a} f (x) = lim _ {N to infty} (I- (a / N) D) ^ {N} f (x).}$

Но этот предел можно переписать в виде экспоненты:

${ Displaystyle T_ {a} f (x) = exp (-aD) f (x).}$

Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в ряд по степеням:

${ displaystyle T_ {a} f (x) = left (I-aD + {a ^ {2} D ^ {2} over 2!} - {a ^ {3} D ^ {3} over 3! } + cdots right) f (x).}$

Правую часть можно переписать как

${ displaystyle f (x) -af '(x) + {a ^ {2} over 2!} f' '(x) - {a ^ {3} over 3!} f' '' (x) + cdots}$

что является разложением Тейлора ${ Displaystyle f (х-а)}$, которое было нашим исходным значением для ${ displaystyle T_ {a} f (x)}$.

Математические свойства физических операторов представляют собой очень важную тему. Для получения дополнительной информации см. C * -алгебра и Теорема Гельфанда-Наймарка.

Операторы в квантовой механике

В математическая формулировка квантовой механики (QM) построена на концепции оператора.

Физический чистые состояния в квантовой механике представлены как векторы единичной нормы (вероятности нормированы на единицу) в специальном сложный Гильбертово пространство. Временная эволюция в этом векторное пространство дается приложением оператор эволюции.

Любой наблюдаемый, т.е. любая величина, которую можно измерить в физическом эксперименте, должна быть связана с самосопряженный линейный оператор. Операторы должны давать реальные собственные значения, так как это значения, которые могут появиться в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть Эрмитский.^[1] Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. См. Ниже математические подробности об эрмитовых операторах.

в волновая механика В формулировке КМ волновая функция изменяется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, от импульса и времени (см. положение и импульсное пространство для подробностей), поэтому наблюдаемые дифференциальные операторы.

в матричная механика формулировка, норма физического состояния должно оставаться неизменным, поэтому оператор эволюции должен быть унитарный, а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.

Волновая функция

Волновая функция должна быть квадратично интегрируемый (видеть Lp пространства ), смысл:

${ displaystyle iiint _ { mathbb {R} ^ {3}} | psi ( mathbf {r}) | ^ {2} { rm {d}} ^ {3} mathbf {r} = iiint _ { mathbb {R} ^ {3}} psi ( mathbf {r}) ^ {*} psi ( mathbf {r}) { rm {d}} ^ {3} mathbf {r } < infty}$

и нормализуемый, так что:

${ displaystyle iiint _ { mathbb {R} ^ {3}} | psi ( mathbf {r}) | ^ {2} { rm {d}} ^ {3} mathbf {r} = 1 }$

Два случая собственных состояний (и собственных значений):

• за дискретный собственные состояния ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$ образуют дискретную основу, поэтому любое состояние сумма

${ displaystyle | psi rangle = sum _ {i} c_ {i} | phi _ {i} rangle}$

куда c_я такие комплексные числа, что |c_я|² = c_я^*c_я = вероятность измерения состояния ${ displaystyle | phi _ {i} rangle}$, а соответствующий набор собственных значений а_я также дискретно - либо конечный или же счетно бесконечный,

• для континуум собственных состояний ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$ образуют непрерывную основу, поэтому любое государство является интеграл

${ Displaystyle | psi rangle = int c ( phi) { rm {d}} phi | phi rangle}$

куда c(φ) - такая комплексная функция, что |c(φ) |² = c(φ)^*c(φ) = вероятность измерения состояния ${ displaystyle | phi rangle}$, и есть бесчисленное множество набор собственных значений а.

Линейные операторы в волновой механике

Позволять ψ - волновая функция квантовой системы, а ${ displaystyle { hat {A}}}$ быть любым линейный оператор для некоторых наблюдаемых А (например, положение, импульс, энергия, угловой момент и т. д.). Если ψ является собственной функцией оператора ${ displaystyle { hat {A}}}$, тогда

${ displaystyle { hat {A}} psi = a psi,}$

куда а это собственное значение оператора, соответствующая измеренному значению наблюдаемого, т.е. наблюдаемого А имеет измеренное значение а.

Если ψ является собственной функцией данного оператора ${ displaystyle { hat {A}}}$, то определенная величина (собственное значение а) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемых А сделано на государстве ψ. Наоборот, если ψ не является собственной функцией ${ displaystyle { hat {A}}}$, то у него нет собственного значения для ${ displaystyle { hat {A}}}$, и в этом случае наблюдаемое не имеет единственного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемых А даст каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса ${ displaystyle { hat {A}}}$).

Все вышесказанное можно записать в скобках;

${ Displaystyle { begin {align} & { hat {A}} psi = { hat {A}} psi ( mathbf {r}) = { hat {A}} left langle mathbf {r} mid psi right rangle = left langle mathbf {r} mid { hat {A}} mid psi right rangle & a psi = a psi ( mathbf {r}) = a left langle mathbf {r} mid psi right rangle = left langle mathbf {r} mid a mid psi right rangle end {выровнено }}}$

которые равны, если ${ displaystyle left | psi right rangle}$ является собственный вектор, или же Eigenket наблюдаемых А.

Из-за линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор дель, который сам является вектором (используется в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).

Оператор в п-мерное пространство можно записать:

${ displaystyle mathbf { hat {A}} = sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j}}$

куда е_j - базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору А_j. Каждый компонент даст соответствующее собственное значение ${ displaystyle a_ {j}}$. Воздействуя на волновую функцию ψ:

${ displaystyle mathbf { hat {A}} psi = left ( sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} right) psi = sum _ {j = 1} ^ {n} left ( mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} psi right) = sum _ {j = 1} ^ {n} left ( mathbf {e} _ {j} a_ {j} psi right)}$

в котором мы использовали ${ displaystyle { hat {A}} _ {j} psi = a_ {j} psi.}$

В обозначениях бюстгальтера:

${ displaystyle { begin {align} & mathbf { hat {A}} psi = mathbf { hat {A}} psi ( mathbf {r}) = mathbf { hat {A}} left langle mathbf {r} mid psi right rangle = left langle mathbf {r} mid mathbf { hat {A}} mid psi right rangle & left ( sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} right) psi = left ( sum _ {j = 1 } ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} right) psi ( mathbf {r}) = left ( sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} right) left langle mathbf {r} mid psi right rangle = left langle mathbf {r} mid sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} mid psi right rangle end { выровнено}} , !}$

Коммутация операторов на Ψ

Если две наблюдаемые А и B иметь линейные операторы ${ displaystyle { hat {A}}}$ и ${ displaystyle { hat {B}}}$, коммутатор определяется как

${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] = { hat {A}} { hat {B}} - { hat {B}} { hat {A}}}$

Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Включение коммутатора на ψ дает:

${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] psi = { hat {A}} { hat {B}} psi - { hat {B} } { hat {A}} psi.}$

Если ψ является собственной функцией с собственными значениями а и б для наблюдаемых А и B соответственно, а если операторы коммутируют:

${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] psi = 0,}$

тогда наблюдаемые А и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т.е. с погрешностями ${ displaystyle Delta A = 0}$, ${ displaystyle Delta B = 0}$ одновременно. ψ тогда говорят, что это одновременная собственная функция A и B. Чтобы проиллюстрировать это:

${ displaystyle { begin {align} left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] psi & = { hat {A}} { hat {B}} psi - { hat {B}} { hat {A}} psi & = a (b psi) -b (a psi) & = 0. конец {выровнено}}}$

Это показывает, что измерение A и B не вызывает сдвига состояния, т.е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет помех из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Ясно состояние (ψ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.

Если операторы не ездят на работу:

${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] psi neq 0,}$

они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и существует отношение неопределенности между наблюдаемыми,

${ displaystyle Delta A Delta B geq left | { frac { langle [A, B] rangle} {2}} right |}$

даже если ψ является собственной функцией, указанное выше соотношение выполняется. Примечательными парами являются отношения неопределенности положения и импульса, энергии и времени, а также угловые моменты (спиновый, орбитальный и полный) относительно любых двух ортогональных осей (например, L_Икс и L_у, или же s_у и s_z так далее.).^[2]

Ожидаемые значения операторов на Ψ

В ожидаемое значение (эквивалентно среднее или среднее значение) - это среднее значение наблюдаемой для частицы в области р. Математическое ожидание ${ Displaystyle langle { шляпа {A}} rangle}$ оператора ${ displaystyle { hat {A}}}$ рассчитывается из:^[3]

${ displaystyle langle { hat {A}} rangle = int _ {R} psi ^ {*} left ( mathbf {r} right) { hat {A}} psi left ( mathbf {r} right) mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} = langle psi | { hat {A}} | psi rangle.}$

Это можно обобщить на любую функцию F оператора:

${ Displaystyle langle F ({ шляпа {A}}) rangle = int _ {R} psi ( mathbf {r}) ^ {*} left [F ({ hat {A}}) psi ( mathbf {r}) right] mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} = langle psi | F ({ hat {A}}) | psi rangle,}$

Пример F это 2-кратное действие А на ψ, т.е. возведение оператора в квадрат или повторение дважды:

${ displaystyle { begin {align} & F ({ hat {A}}) = { hat {A}} ^ {2} & Rightarrow langle { hat {A}} ^ {2} rangle = int _ {R} psi ^ {*} left ( mathbf {r} right) { hat {A}} ^ {2} psi left ( mathbf {r} right) mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} = langle psi vert { hat {A}} ^ {2} vert psi rangle конец {выровнено}} , !}$

Эрмитовы операторы

Определение Эрмитов оператор является:^[1]

${ displaystyle { hat {A}} = { hat {A}} ^ { dagger}}$

Отсюда в лифчиковой нотации:

${ displaystyle langle phi _ {i} | { hat {A}} | phi _ {j} rangle = langle phi _ {j} | { hat {A}} | phi _ { i} rangle ^ {*}.}$

Важные свойства эрмитовых операторов включают:

• действительные собственные значения,
• собственные векторы с разными собственными значениями ортогональный,
• собственные векторы могут быть выбраны как полные ортонормированный базис,

Операторы в матричной механике

Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (она же матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент ${ displaystyle phi _ {j}}$ может быть подключен к другому,^[3] выражением:

${ displaystyle A_ {ij} = langle phi _ {i} | { hat {A}} | phi _ {j} rangle,}$

который является матричным элементом:

${ displaystyle { hat {A}} = { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & cdots & A_ {1n} A_ {21} & A_ {22} & cdots & A_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} & A_ {n2} & cdots & A_ {nn} end {pmatrix}}}$

Еще одно свойство эрмитова оператора состоит в том, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.^[1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет подходящему базису векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристический многочлен:

${ displaystyle det left ({ hat {A}} - а { hat {I}} right) = 0,}$

куда я это п × п единичная матрица, как оператор он соответствует тождественному оператору. Для дискретной основы:

${ displaystyle { hat {I}} = sum _ {i} | phi _ {i} rangle langle phi _ {i} |}$

а на постоянной основе:

${ Displaystyle { шляпа {I}} = int | phi rangle langle phi | d phi}$

Обратный к оператору

Несингулярный оператор ${ displaystyle { hat {A}}}$ имеет обратный ${ displaystyle { hat {A}} ^ {- 1}}$ определяется:

${ displaystyle { hat {A}} { hat {A}} ^ {- 1} = { hat {A}} ^ {- 1} { hat {A}} = { hat {I}} }$

Если у оператора нет обратного, это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:

${ Displaystyle Det ({ шляпа {A}}) neq 0}$

а значит, для сингулярного оператора определитель равен нулю.

Таблица операторов QM

Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., Например,^[1][4]). Жирные векторы с циркумфлексами не единичные векторы, это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента вместе взятые.

Оператор (общее имя / имена)	Декартова компонента	Общее определение	Единица СИ	Измерение
Позиция	${ displaystyle { begin {align} { hat {x}} = x { hat {y}} = y { hat {z}} = z end {align}}}$	${ displaystyle mathbf { hat {r}} = mathbf {r} , !}$	м	[L]
Импульс	Общий ${ displaystyle { begin {align} { hat {p}} _ {x} & = - я hbar { frac { partial} { partial x}} { hat {p}} _ { y} & = - i hbar { frac { partial} { partial y}} { hat {p}} _ {z} & = - i hbar { frac { partial} { partial z}} end {выровнено}}}$	Общий ${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla , !}$	Дж с м−1 = N s	[M] [L] [T]−1
	Электромагнитное поле ${ displaystyle { begin {align} { hat {p}} _ {x} = - я hbar { frac { partial} { partial x}} - qA_ {x} { hat {p }} _ {y} = - i hbar { frac { partial} { partial y}} - qA_ {y} { hat {p}} _ {z} = - i hbar { frac { partial} { partial z}} - qA_ {z} end {align}}}$	Электромагнитное поле (использует кинетический импульс, А = векторный потенциал) ${ displaystyle { begin {align} mathbf { hat {p}} & = mathbf { hat {P}} -q mathbf {A} & = - i hbar nabla -q mathbf {A} конец {выровнено}} , !}$	Дж с м−1 = N s	[M] [L] [T]−1
Кинетическая энергия	Перевод ${ displaystyle { begin {align} { hat {T}} _ {x} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} { hat {T}} _ {y} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ {2} } { partial y ^ {2}}} { hat {T}} _ {z} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ { 2}} { partial z ^ {2}}} конец {выровнено}}}$	${ displaystyle { begin {align} { hat {T}} & = { frac { mathbf { hat {p}} cdot mathbf { hat {p}}} {2m}} & = { frac {(-i hbar nabla) cdot (-i hbar nabla)} {2m}} & = { frac {- hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} конец {выровнено}} , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
	Электромагнитное поле ${ displaystyle { begin {align} { hat {T}} _ {x} & = { frac {1} {2m}} left (-i hbar { frac { partial} { partial x }} - qA_ {x} right) ^ {2} { hat {T}} _ {y} & = { frac {1} {2m}} left (-i hbar { frac { partial} { partial y}} - qA_ {y} right) ^ {2} { hat {T}} _ {z} & = { frac {1} {2m}} left (- i hbar { frac { partial} { partial z}} - qA_ {z} right) ^ {2} end {align}} , !}$	Электромагнитное поле (А = векторный потенциал ) ${ displaystyle { begin {align} { hat {T}} & = { frac { mathbf { hat {p}} cdot mathbf { hat {p}}} {2m}} & = { frac {1} {2m}} (- i hbar nabla -q mathbf {A}) cdot (-i hbar nabla -q mathbf {A}) & = { frac {1} {2m}} (- i hbar nabla -q mathbf {A}) ^ {2} end {align}} , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
	Вращение (я = момент инерции ) ${ displaystyle { begin {align} { hat {T}} _ {xx} & = { frac {{ hat {J}} _ {x} ^ {2}} {2I_ {xx}}} { hat {T}} _ {yy} & = { frac {{ hat {J}} _ {y} ^ {2}} {2I_ {yy}}} { hat {T}} _ {zz} & = { frac {{ hat {J}} _ {z} ^ {2}} {2I_ {zz}}} конец {выровнено}} , !}$	Вращение ${ displaystyle { hat {T}} = { frac { mathbf { hat {J}} cdot mathbf { hat {J}}} {2I}} , !}$[нужна цитата ]	J	[M] [L]2 [T]−2
Потенциальная энергия	Нет данных	${ displaystyle { hat {V}} = V left ( mathbf {r}, t right) = V , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Общий энергия	Нет данных	Зависящий от времени потенциал: ${ displaystyle { hat {E}} = я hbar { frac { partial} { partial t}} , !}$ Независимо от времени: ${ displaystyle { hat {E}} = E , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Гамильтониан		${ displaystyle { begin {align} { hat {H}} & = { hat {T}} + { hat {V}} & = { frac { mathbf { hat {p}} cdot mathbf { hat {p}}} {2m}} + V & = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V end {выровнено }} , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Оператор углового момента	${ displaystyle { begin {align} { hat {L}} _ {x} & = - я hbar left (y { partial over partial z} -z { partial over partial y} right) { hat {L}} _ {y} & = - i hbar left (z { partial over partial x} -x { partial over partial z} right) { hat {L}} _ {z} & = - i hbar left (x { partial over partial y} -y { partial over partial x} right) end {выровнено} }}$	${ displaystyle mathbf { hat {L}} = mathbf {r} times -i hbar nabla}$	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Вращение угловой момент	${ displaystyle { begin {align} { hat {S}} _ {x} = { hbar over 2} sigma _ {x} { hat {S}} _ {y} = { hbar over 2} sigma _ {y} { hat {S}} _ {z} = { hbar over 2} sigma _ {z} end {align}}}$ куда ${ displaystyle sigma _ {x} = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}}$ ${ displaystyle sigma _ {y} = { begin {pmatrix} 0 & -i i & 0 end {pmatrix}}}$ ${ displaystyle sigma _ {z} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}}$ являются матрицы Паули за спин-½ частицы.	${ displaystyle mathbf { hat {S}} = { hbar over 2} { boldsymbol { sigma}} , !}$ куда σ - вектор, компонентами которого являются матрицы Паули.	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Полный угловой момент	${ displaystyle { begin {align} { hat {J}} _ {x} & = { hat {L}} _ {x} + { hat {S}} _ {x} { hat {J}} _ {y} & = { hat {L}} _ {y} + { hat {S}} _ {y} { hat {J}} _ {z} & = { шляпа {L}} _ {z} + { hat {S}} _ {z} end {align}}}$	${ displaystyle { begin {align} mathbf { hat {J}} & = mathbf { hat {L}} + mathbf { hat {S}} & = - i hbar mathbf { r} times nabla + { frac { hbar} {2}} { boldsymbol { sigma}} end {выравнивается}}}$	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Переходный дипольный момент (электрический)	${ displaystyle { begin {align} { hat {d}} _ {x} & = q { hat {x}} { hat {d}} _ {y} & = q { hat { y}} { hat {d}} _ {z} & = q { hat {z}} end {align}}}$	${ displaystyle mathbf { hat {d}} = q mathbf { hat {r}}}$	См	[I] [T] [L]

Примеры применения квантовых операторов

Процедура извлечения информации из волновой функции следующая. Рассмотрим импульс п частицы в качестве примера. Оператор импульса в позиционном базисе в одном измерении:

${ displaystyle { hat {p}} = - я hbar { frac { partial} { partial x}}}$

Позволяя этому действовать ψ мы получаем:

${ displaystyle { hat {p}} psi = -i hbar { frac { partial} { partial x}} psi,}$

если ψ является собственной функцией ${ displaystyle { hat {p}}}$, то собственное значение импульса п - значение импульса частицы, определяемое по формуле:

${ displaystyle -i hbar { frac { partial} { partial x}} psi = p psi.}$

Для трех измерений оператор импульса использует набла оператор стать:

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla.}$

В декартовых координатах (с использованием стандартных декартовых базисных векторов е_Икс, е_у, е_z) это можно написать;

${ displaystyle mathbf {e} _ { mathrm {x}} { hat {p}} _ {x} + mathbf {e} _ { mathrm {y}} { hat {p}} _ { y} + mathbf {e} _ { mathrm {z}} { hat {p}} _ {z} = - i hbar left ( mathbf {e} _ { mathrm {x}} { frac { partial} { partial x}} + mathbf {e} _ { mathrm {y}} { frac { partial} { partial y}} + mathbf {e} _ { mathrm {z }} { frac { partial} { partial z}} right),}$

то есть:

${ displaystyle { hat {p}} _ {x} = - я hbar { frac { partial} { partial x}}, quad { hat {p}} _ {y} = - i hbar { frac { partial} { partial y}}, quad { hat {p}} _ {z} = - i hbar { frac { partial} { partial z}} , ! }$

Процесс поиска собственных значений такой же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ является собственной функцией, то каждая компонента оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этой компоненте импульса. Игра актеров ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ на ψ получает:

${ Displaystyle { begin {align} { hat {p}} _ {x} psi & = - я hbar { frac { partial} { partial x}} psi = p_ {x} psi { hat {p}} _ {y} psi & = - i hbar { frac { partial} { partial y}} psi = p_ {y} psi { hat {p }} _ {z} psi & = - i hbar { frac { partial} { partial z}} psi = p_ {z} psi конец {выровнено}} , !}$

Смотрите также

Рекомендации