Вращательная инвариантность - Rotational invariance

В математика, а функция определено на внутреннее пространство продукта говорят, что имеет вращательная инвариантность если его значение не меняется при произвольном вращения применяются к его аргументу.

Математика

Функции

Например, функция

${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$

инвариантен относительно поворотов плоскости вокруг начала координат, поскольку для повернутого набора координат через любую угол θ

${ Displaystyle х '= х соз тета -у грех тета}$

${ Displaystyle у '= х грех тета + у соз тета}$

функция после некоторого сокращения сроков принимает точно такой же вид

${ displaystyle f (x ', y') = {x} ^ {2} + {y} ^ {2}}$

Вращение координат можно выразить с помощью матрица форма с использованием матрица вращения,

${ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}}.}$

или символически Икс′ = Rx. Символически, инвариантность вращения вещественной функции двух вещественных переменных равна

${ Displaystyle е ( mathbf {x} ') = f ( mathbf {Rx}) = f ( mathbf {x})}$

На словах функция повернутых координат принимает точно такой же вид, как и с начальными координатами, с той лишь разницей, что повернутые координаты заменяют исходные. Для действительная функция трех или более реальных переменных, это выражение легко расширяется с помощью соответствующих матриц вращения.

Концепция также распространяется на вектор-функция ж одной или нескольких переменных;

${ displaystyle mathbf {f} ( mathbf {x} ') = mathbf {f} ( mathbf {Rx}) = mathbf {f} ( mathbf {x})}$

Во всех вышеупомянутых случаях вращаются аргументы (здесь для конкретности называемые «координатами»), а не сама функция.

Операторы

Для функция

${ displaystyle f: X rightarrow X}$

который отображает элементы из подмножество Икс из реальная линия ℝ себе, вращательная инвариантность также может означать, что функция ездит на работу с поворотами элементов в Икс. Это также относится к оператор который действует на такие функции. Примером может служить двумерный Оператор Лапласа

${ displaystyle nabla ^ {2} = { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2 }}}}$

который действует на функцию ж чтобы получить другую функцию ∇²ж. Этот оператор инвариантен относительно поворотов.

Если грамм это функция грамм(п) = ж(р(п)), куда р - любое вращение, то (∇²грамм)(п) = (∇²ж )(р(п)); то есть вращение функции просто вращает ее лапласиан.

Физика

В физика, если система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, то ее Лагранжиан инвариантно относительно вращения. В соответствии с Теорема Нётер, если действие (интеграл по времени от своего лагранжиана) физической системы инвариантен относительно вращения, то угловой момент сохраняется.

Приложение к квантовой механике

В квантовая механика, вращательная инвариантность это свойство, которое после вращение новая система все еще подчиняется Уравнение Шредингера. То есть

${ displaystyle [R, EH] = 0}$

для любого вращения р. Поскольку вращение явно не зависит от времени, оно коммутирует с оператором энергии. Таким образом, для инвариантности вращения мы должны иметь [р, ЧАС] = 0.

За бесконечно малые вращения (в ху-самолет для этого примера; аналогично для любой плоскости) под углом dθ (бесконечно малый) оператор вращения

${ Displaystyle R = 1 + J_ {Z} d theta ,,}$

тогда

${ displaystyle left [1 + J_ {z} d theta, { frac {d} {dt}} right] = 0 ,,}$

таким образом

${ displaystyle { frac {d} {dt}} J_ {z} = 0 ,,}$

другими словами угловой момент сохраняется.

Смотрите также

• Изотропия
• Теорема Максвелла
• Вращательная симметрия
• Осевая симметрия

Рекомендации

• Стенгер, Виктор Дж. (2000). Вневременная реальность. Книги Прометея. Особенно гл. 12. Нетехнический.