Вектор-функция - Vector-valued function

А вектор-функция, также называемый векторная функция, это математическая функция одной или нескольких переменных, чьи классифицировать представляет собой набор многомерных векторов или же бесконечномерные векторы. Вход векторной функции может быть скаляром или вектором (то есть измерение из домен может быть 1 или больше 1); размер домена не определяется размером диапазона.

Пример: спираль

График векторнозначной функции

р (Z) = ⟨2 cos Z, 4 грех Z, Z ⟩

с указанием диапазона решений и вектора при оценке вблизи Z = 19.5

Типичный пример векторной функции - функция, которая зависит от одного настоящий номер параметр т, часто представляющие время, производя вектор v(т) в результате. С точки зрения стандарта единичные векторы я, j, k из Декартово 3-мерное пространство, эти конкретные типы векторных функций задаются такими выражениями, как

${displaystyle mathbf {r} (t) = f (t) mathbf {i} + g (t) mathbf {j} + h (t) mathbf {k}}$

куда ж(т), грамм(т) и час(т) являются координатные функции из параметр т, а домен этой вектор-функции является пересечение области функций ж, грамм, и час. Также на него можно ссылаться в другом обозначении:

${displaystyle mathbf {r} (t) = langle f (t), g (t), h (t) angle}$

Вектор р(т) имеет хвост в начале координат и голову в координатах, вычисляемых функцией.

Вектор, показанный на графике справа, является оценкой функции ${displaystyle langle 2cos t ,, 4sin t ,, tangle}$ возле т= 19,5 (от 6π до 6,5π, т. Е. Несколько больше 3 оборотов). Спираль - это путь, который проходит вершиной вектора при увеличении t от нуля до 8π.

В 2D мы можем аналогично говорить о векторных функциях как

${displaystyle mathbf {r} (t) = f (t) mathbf {i} + g (t) mathbf {j}}$ или же
${displaystyle mathbf {r} (t) = langle f (t), g (t) angle}$

Линейный случай

В линейном случае функцию можно выразить через матрицы:

{displaystyle y = Ax + b,}

куда у является п × 1 выходной вектор (п > 1), Икс это k × 1 вектор входов (k ≥ 1), А является п × k матрица параметры, и б является п × 1 вектор параметров.

Линейный случай возникает часто, например в множественная регрессия, где например п × 1 вектор ${displaystyle {hat {y}}}$ прогнозируемых значений зависимая переменная выражается линейно через k × 1 вектор ${displaystyle {hat {eta}}}$ (k < п) расчетных значений параметров модели:

{displaystyle {hat {y}} = X {hat {eta}},}

в котором Икс (играя роль А в предыдущей общей форме) является п × k матрица фиксированных (эмпирически обоснованных) чисел.

Параметрическое представление поверхности

А поверхность представляет собой 2-мерный набор точек, вложенных в 3-мерное пространство. Один из способов представить поверхность - использовать параметрические уравнения, в котором два параметра s и т определить три Декартовы координаты любой точки на поверхности:

{displaystyle (x, y, z) = (f (s, t), g (s, t), h (s, t)) эквивалент F (s, t).}

Здесь F - вектор-функция.

Производная трехмерной векторной функции

Многие векторные функции, например скалярные функции, возможно дифференцированный просто дифференцируя компоненты в декартовой системе координат. Таким образом, если

{displaystyle mathbf {r} (t) = f (t) mathbf {i} + g (t) mathbf {j} + h (t) mathbf {k}}

вектор-функция, то

{displaystyle {frac {dmathbf {r} (t)} {dt}} = f '(t) mathbf {i} + g' (t) mathbf {j} + h '(t) mathbf {k}.}

Производная вектора допускает следующую физическую интерпретацию: если р(т) представляет положение частицы, тогда производная - это скорость частицы

{displaystyle mathbf {v} (t) = {frac {dmathbf {r} (t)} {dt}}.}

Точно так же производная скорости - это ускорение

{displaystyle {frac {dmathbf {v} (t)} {dt}} = mathbf {a} (t).}

Частная производная

В частная производная векторной функции а относительно скалярной переменной q определяется как^[1]

{displaystyle {frac {partial mathbf {a}} {partial q}} = sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {partial a_ {i}} {partial q}} mathbf {e} _ {i} }

куда а_я это скалярная составляющая из а в направлении е_я. Его еще называют направляющий косинус из а и е_я или их скалярное произведение. Векторы е₁,е₂,е₃ для мужчин ортонормированный базис зафиксировано в система отсчета в котором берется производная.

Обычная производная

Если а рассматривается как векторная функция одной скалярной переменной, такой как время т, то приведенное выше уравнение сводится к первому обычная производная по времени из а относительно т,^[1]

{displaystyle {frac {dmathbf {a}} {dt}} = sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {da_ {i}} {dt}} mathbf {e} _ {i}.}

Полная производная

Если вектор а является функцией числа п скалярных переменных q_р (р = 1,...,п), и каждый q_р это только функция времени т, то обычная производная от а относительно т может быть выражено в форме, известной как полная производная, в качестве^[1]

{displaystyle {frac {dmathbf {a}} {dt}} = sum _ {r = 1} ^ {n} {frac {partial mathbf {a}} {partial q_ {r}}} {frac {dq_ {r} } {dt}} + {frac {partial mathbf {a}} {partial t}}.}

Некоторые авторы предпочитают использовать капитал D для обозначения оператора полной производной, как в D/Dt. Полная производная отличается от частной производной по времени тем, что полная производная учитывает изменения в а из-за временной дисперсии переменных q_р.

Справочные кадры

Тогда как для скалярнозначных функций возможен только один система отсчета, чтобы взять производную векторнозначной функции, требуется выбор системы отсчета (по крайней мере, когда фиксированная декартова система координат не подразумевается как таковая). После выбора системы отсчета производная векторной функции может быть вычислена с использованием методов, аналогичных методам вычисления производных скалярных функций. Другой выбор системы отсчета, как правило, дает другую производную функцию. Производные функции в разных системах отсчета имеют определенную кинематическая взаимосвязь.

Производная векторной функции с нефиксированным базисом

Приведенные выше формулы для производной вектор-функции основаны на предположении, что базисные векторы е₁,е₂,е₃ постоянны, то есть зафиксированы в системе отсчета, в которой производная от а берется, и поэтому е₁,е₂,е₃ у каждого есть производная, равная тождественно нулю. Это часто справедливо для проблем, связанных с векторные поля в фиксированной системе координат или для простых задач физики. Однако многие сложные проблемы связаны с производной векторной функции при многократном перемещении. системы отсчета, что означает, что базисные векторы не обязательно будут постоянными. В том случае, когда базисные векторы е₁,е₂,е₃ фиксируются в системе отсчета E, но не в системе отсчета N, более общая формула для обычная производная по времени вектора в системе отсчета N равна^[1]

{displaystyle {frac {{} ^ {mathrm {N}} dmathbf {a}} {dt}} = sum _ {i = 1} ^ {3} {frac {da_ {i}} {dt}} mathbf {e } _ {i} + sum _ {i = 1} ^ {3} a_ {i} {frac {{} ^ {mathrm {N}} dmathbf {e} _ {i}} {dt}}}

где верхний индекс N слева от оператора производной указывает систему отсчета, в которой берется производная. Как показано ранее, первый член в правой части равен производной от а в системе отсчета, где е₁,е₂,е₃ постоянны, система отсчета E. Также можно показать, что второй член в правой части равен относительной угловая скорость двух систем отсчета крест умноженный с вектором а сам.^[1] Таким образом, после подстановки формула, связывающая производную вектор-функции в двух системах отсчета, имеет вид^[1]

{displaystyle {frac {{} ^ {mathrm {N}} dmathbf {a}} {dt}} = {frac {{} ^ {mathrm {E}} dmathbf {a}} {dt}} + {} ^ { mathrm {N}} mathbf {omega} ^ {mathrm {E}} imes mathbf {a}}

куда ^Nω^E это угловая скорость системы отсчета E относительно системы отсчета N.

Один из распространенных примеров использования этой формулы - найти скорость космического объекта, такого как ракета, в инерциальная система отсчета используя измерения скорости ракеты относительно земли. Скорость ^Nv^р в инерциальной системе отсчета N ракеты R, находящейся в положении р^р можно найти по формуле

{displaystyle {frac {{} ^ {mathrm {N}} d} {dt}} (mathbf {r} ^ {mathrm {R}}) = {frac {{} ^ {mathrm {E}} d} {dt }} (mathbf {r} ^ {mathrm {R}}) + {} ^ {mathrm {N}} mathbf {omega} ^ {mathrm {E}} imes mathbf {r} ^ {mathrm {R}}.}

куда ^Nω^E это угловая скорость Земли относительно инерциальной системы N. скорость это производная из позиция, ^Nv^р и ^Ev^р производные от р^р в системе отсчета N и E соответственно. Путем замены

{displaystyle {} ^ {mathrm {N}} mathbf {v} ^ {mathrm {R}} = {} ^ {mathrm {E}} mathbf {v} ^ {mathrm {R}} + {} ^ {mathrm { N}} mathbf {omega} ^ {mathrm {E}} imes mathbf {r} ^ {mathrm {R}}}

куда ^Ev^р - вектор скорости ракеты, измеренный в системе отсчета E, которая привязана к Земле.

Производное и векторное умножение

Производная произведений векторных функций ведет себя аналогично производная от продуктов скалярных функций.^[2] В частности, в случае скалярное умножение вектора, если п является функцией скалярной переменной от q,^[1]

{displaystyle {frac {partial} {partial q}} (pmathbf {a}) = {frac {partial p} {partial q}} mathbf {a} + p {frac {partial mathbf {a}} {partial q}} .}

В случае умножение точек, для двух векторов а и б это обе функции q,^[1]

{displaystyle {frac {partial} {partial q}} (mathbf {a} cdot mathbf {b}) = {frac {partial mathbf {a}} {partial q}} cdot mathbf {b} + mathbf {a} cdot { frac {partial mathbf {b}} {partial q}}.}

Аналогично производная от перекрестное произведение двух векторных функций есть^[1]

{displaystyle {frac {partial} {partial q}} (mathbf {a} imes mathbf {b}) = {frac {partial mathbf {a}} {partial q}} imes mathbf {b} + mathbf {a} imes { frac {partial mathbf {b}} {partial q}}.}

Производная от п-мерная векторная функция

Функция ж реального числа т со значениями в пространстве ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ можно записать как ${displaystyle f (t) = (f_ {1} (t), f_ {2} (t), ldots, f_ {n} (t))}$ . Его производная равна

{displaystyle f '(t) = (f_ {1}' (t), f_ {2} '(t), ldots, f_ {n}' (t))}

.

Если ж является функцией нескольких переменных, например ${displaystyle tin mathbb {R} ^ {m}}$ , то частные производные компонент ж сформировать ${displaystyle n imes m}$ матрица называется Матрица якобиана выключенный.

Бесконечномерные векторные функции

Если значения функции ж лежать в бесконечномерный векторное пространство Икс, например Гильбертово пространство,тогда ж можно назвать бесконечномерная векторная функция.

Функции со значениями в гильбертовом пространстве

Если аргумент ж это реальное число и Икс гильбертово пространство, то производная от ж в какой-то момент т можно определить как в конечномерном случае:

{displaystyle f '(t) = lim _ {hightarrow 0} {frac {f (t + h) -f (t)} {h}}.}

Большинство результатов, относящихся к конечномерному случаю, также верно и в бесконечномерном случае, mutatis mutandis. Дифференциация также может быть определена для функций нескольких переменных (например, ${displaystyle tin mathbb {R} ^ {n}}$ или даже ${displaystyle tin Y}$ , куда Y - бесконечномерное векторное пространство).

N.B. Если Икс является гильбертовым пространством, то легко показать, что любую производную (и любой другой предел) можно вычислить покомпонентно: если

{displaystyle f = (f_ {1}, f_ {2}, f_ {3}, ldots)}

(т.е. ${displaystyle f = f_ {1} e_ {1} + f_ {2} e_ {2} + f_ {3} e_ {3} + cdots}$ , куда ${displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}, ldots}$ является ортонормированный базис пространства Икс), и ${displaystyle f '(t)}$ существует, тогда

{displaystyle f '(t) = (f_ {1}' (t), f_ {2} '(t), f_ {3}' (t), ldots)}

.

Однако существование покомпонентной производной не гарантирует существования производной, поскольку покомпонентная сходимость в гильбертовом пространстве не гарантирует сходимости относительно фактической топологии гильбертова пространства.

Другие бесконечномерные векторные пространства

Большинство из вышеперечисленных справедливо и для других топологические векторные пространства Икс тоже. Однако не так много классических результатов справедливо в Банахово пространство настройка, например, абсолютно непрерывный функция со значениями в подходящее банахово пространство не нужно нигде иметь производную. Более того, в большинстве случаев банаховых пространств ортонормированные базисы отсутствуют.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я Кейн и Левинсон 1996, стр. 29–37
^ Фактически, эти соотношения выводятся с использованием правило продукта покомпонентно.

внешняя ссылка

[dynon19-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я Кейн и Левинсон 1996, стр. 29–37

[2] Фактически, эти соотношения выводятся с использованием правило продукта покомпонентно.

[1]

[2]