Унитарное преобразование - Unitary transformation

В математике унитарное преобразование это трансформация что сохраняет внутренний продукт: внутренний продукт двух векторов до преобразования равен их внутреннему произведению после преобразования.

Формальное определение

Точнее, унитарное преобразование является изоморфизм между двумя Гильбертовы пространства. Другими словами, унитарное преобразование это биективная функция

${ Displaystyle U: H_ {1} to H_ {2} ,}$

куда ${ displaystyle H_ {1}}$ и ${ displaystyle H_ {2}}$ являются гильбертовыми пространствами, такие что

${ displaystyle langle Ux, Uy rangle _ {H_ {2}} = langle x, y rangle _ {H_ {1}}}$

для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle H_ {1}}$.

Характеристики

Унитарное преобразование - это изометрия, как можно увидеть, установив ${ displaystyle x = y}$ в этой формуле.

Унитарный оператор

В случае, когда ${ displaystyle H_ {1}}$ и ${ displaystyle H_ {2}}$ одно и то же пространство, унитарное преобразование автоморфизм этого гильбертова пространства, и тогда оно также называется унитарный оператор.

Антиунитарная трансформация

Близко родственное понятие - понятие антиунитарный трансформация, которая является биективной функцией

${ Displaystyle U: H_ {1} to H_ {2} ,}$

между двумя сложный Гильбертовы пространства такие, что

${ displaystyle langle Ux, Uy rangle = { overline { langle x, y rangle}} = langle y, x rangle}$

для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle H_ {1}}$, где горизонтальная полоса представляет комплексно сопряженный.

Смотрите также

• Антиунитарный
• Ортогональное преобразование
• Обратное время
• Унитарная группа
• Унитарный оператор
• Унитарная матрица
• Теорема Вигнера
• Унитарные преобразования в квантовой механике