Ортогональное преобразование - Orthogonal transformation

В линейная алгебра, ортогональное преобразование это линейное преобразование Т : V → V на настоящий внутреннее пространство продукта V, который сохраняет внутренний продукт. То есть для каждой пары ты, v элементовV, у нас есть^[1]

${ Displaystyle langle u, v rangle = langle Tu, Tv rangle ,.}$

Поскольку длины векторов и углы между ними определяются через внутреннее произведение, ортогональные преобразования сохраняют длины векторов и углы между ними. В частности, отображение ортогональных преобразований ортонормированные базы к ортонормированным базам.

Ортогональные преобразования инъективный: если ${ displaystyle Tv = 0}$ тогда ${ displaystyle 0 = langle Tv, Tv rangle = langle v, v rangle}$, следовательно ${ displaystyle v = 0}$, Итак ядро из ${ displaystyle T}$ тривиально.

Ортогональные преобразования в двух- или трехкомпонентномразмерный Евклидово пространство жесткие вращения, размышления, или комбинации поворота и отражения (также известные как неправильные вращения ). Отражения - это преобразования, которые меняют направление спереди назад, ортогональное плоскости зеркала, как это делают (в реальном мире) зеркала. В матрицы соответствующие собственным поворотам (без отражения) имеют детерминант +1. Преобразования с отражением представлены матрицами с определителем −1. Это позволяет обобщить концепцию вращения и отражения на более высокие измерения.

В конечномерных пространствах матричное представление (относительно ортонормированный базис ) ортогонального преобразования является ортогональная матрица. Его строки являются взаимно ортогональными векторами с единичной нормой, так что строки составляют ортонормированный базисV. Столбцы матрицы образуют другой ортонормированный базисV.

Если ортогональное преобразование обратимый (что всегда бывает, когда V конечномерно), то обратное ему - другое ортогональное преобразование. Его матричное представление является транспонированным матричным представлением исходного преобразования.

Примеры

Рассмотрим внутреннее пространство продукта ${ Displaystyle ( mathbb {R} ^ {2}, langle cdot, cdot rangle)}$ со стандартным евклидовым внутренним произведением и стандартной основой. Тогда матричное преобразование

${ displaystyle T = { begin {bmatrix} cos ( theta) & - sin ( theta) sin ( theta) & cos ( theta) end {bmatrix}}: mathbb { R} ^ {2} to mathbb {R} ^ {2}}$

ортогонален. Чтобы увидеть это, рассмотрим

${ displaystyle { begin {align} Te_ {1} = { begin {bmatrix} cos ( theta) sin ( theta) end {bmatrix}} && Te_ {2} = { begin {bmatrix } - sin ( theta) cos ( theta) end {bmatrix}} end {выравнивается}}}$

Потом,

${ displaystyle { begin {align} & langle Te_ {1}, Te_ {1} rangle = { begin {bmatrix} cos ( theta) & sin ( theta) end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} cos ( theta) sin ( theta) end {bmatrix}} = cos ^ {2} ( theta) + sin ^ {2} ( theta) = 1 & langle Te_ {1}, Te_ {2} rangle = { begin {bmatrix} cos ( theta) & sin ( theta) end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix } - sin ( theta) cos ( theta) end {bmatrix}} = sin ( theta) cos ( theta) - sin ( theta) cos ( theta) = 0 & langle Te_ {2}, Te_ {2} rangle = { begin {bmatrix} - sin ( theta) & cos ( theta) end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix } - sin ( theta) cos ( theta) end {bmatrix}} = sin ^ {2} ( theta) + cos ^ {2} ( theta) = 1 конец {выровнено}}}$

Предыдущий пример можно расширить, чтобы построить все ортогональные преобразования. Например, следующие матрицы определяют ортогональные преобразования на ${ Displaystyle ( mathbb {R} ^ {3}, langle cdot, cdot rangle)}$:

${ displaystyle { begin {bmatrix} cos ( theta) & - sin ( theta) & 0 sin ( theta) & cos ( theta) & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}, { begin {bmatrix} cos ( theta) & 0 & - sin ( theta) 0 & 1 & 0 sin ( theta) & 0 & cos ( theta) end {bmatrix}}, { begin {bmatrix } 1 & 0 & 0 0 & cos ( theta) & - sin ( theta) 0 & sin ( theta) & cos ( theta) end {bmatrix}}}$

Смотрите также

• Неправильное вращение
• Линейное преобразование
• Ортогональная матрица
• Унитарное преобразование

Рекомендации