Оптическое фазовое пространство - Optical phase space

Оптическая фазовая диаграмма распределения когерентного состояния в фазовом пространстве.

В квантовая оптика, оптическое фазовое пространство это фазовое пространство в котором все квантовые состояния из оптическая система описаны. Каждая точка в оптическом фазовом пространстве соответствует уникальному состоянию оптическая система. Для любой такой системы график квадратуры друг против друга, возможно, как функции времени, называется фазовая диаграмма. Если квадратуры являются функциями времени, то оптическая фазовая диаграмма может показать эволюцию квантовой оптической системы во времени.

Оптическая фазовая диаграмма может дать представление о свойствах и поведении системы, которые в противном случае могли бы быть неочевидными. Это может указывать на качества системы, которые могут представлять интерес для человека, изучающего оптическую систему, которые было бы очень трудно вывести иначе. Еще одно применение оптической фазовой диаграммы состоит в том, что она показывает эволюцию состояния оптической системы. Это можно использовать для определения состояния оптической системы в любой момент времени.

Исходная информация

При обсуждении квантовой теории света очень часто используют электромагнитный осциллятор в качестве модели.^[1] Электромагнитный осциллятор описывает колебания электрического поля. Поскольку магнитное поле пропорционально скорости изменения электрического поля, оно тоже колеблется. Такие колебания описывают свет. Системы, состоящие из таких генераторов, можно описать оптическим фазовым пространством.

Позволять ты(Икс, т) быть векторная функция описывая одиночный режим из электромагнитный генератор. Для простоты предполагается, что этот электромагнитный осциллятор находится в вакууме. Примером может служить плоская волна данный

{displaystyle mathbf {u} (mathbf {x}, t) = mathbf {u_ {0}} e ^ {i (mathbf {k} cdot mathbf {x} -omega t)}}

куда ты₀ это вектор поляризации, k это волновой вектор, ${displaystyle omega}$ частота, и А ${displaystyle cdot}$ B обозначает скалярное произведение между векторов А и B. Это уравнение для плоская волна и представляет собой простой пример такого электромагнитного генератора. Исследуемые генераторы могут быть либо свободными волнами в пространстве, либо нормальной модой, содержащейся в некоторой полости.

Отдельная мода электромагнитного генератора изолирована от остальной системы и исследуется. Такой осциллятор при квантовании описывается математикой квантовый гармонический осциллятор.^[1] Квантовые осцилляторы описываются с помощью операторы создания и уничтожения ${displaystyle {hat {a}} ^ {dagger}}$ и ${displaystyle {hat {a}}}$ . Физические величины, такие как напряженность электрического поля, затем стать квантовые операторы.

Чтобы отличить физическую величину от квантовомеханического оператора, используемого для ее описания, над символами операторов используется «шляпа». Так, например, где ${displaystyle E_ {i}}$ может представлять (один из компонентов) электрическое поле, символ ${displaystyle {widehat {E}} _ {i}}$ обозначает квантово-механический оператор, описывающий ${displaystyle E_ {i}}$ . Это соглашение используется в этой статье, но не используется в более сложных текстах, в которых не используется шляпа, поскольку она просто загромождает текст.

В режиме квантового осциллятора большинство операторов, представляющих физические величины, обычно выражаются в терминах операторов рождения и уничтожения. В этом примере напряженность электрического поля определяется как:

{displaystyle {widehat {E}} _ {i} = u_ {i} ^ {*} (mathbf {x}, t) {widehat {a}} ^ {dagger} + u_ {i} (mathbf {x}, т) {widehat {a}}}

^[2]

(куда Икс_я является одним из компонентов Икс, позиция). В Гамильтониан для электромагнитного осциллятора находится квантование в электромагнитное поле для этого осциллятора и формула имеет вид:

{displaystyle {widehat {H}} = hbar omega ({widehat {a}} ^ {dagger} {widehat {a}} + 1/2)}

^[2]

куда ${displaystyle omega}$ - частота (пространственно-временной) моды. Оператор аннигиляции - это оператор бозонной аннигиляции, поэтому он подчиняется каноническое коммутационное соотношение предоставлено:

{displaystyle [{widehat {a}}, {widehat {a}} ^ {dagger}] = 1}

Собственные состояния оператора аннигиляции называются когерентные состояния:

{displaystyle {widehat {a}} | альфа-угол = альфа | альфа-угол}

Важно отметить, что оператор аннигиляции не является Эрмитский; поэтому его собственные значения ${displaystyle alpha}$ может быть сложным. Это имеет важные последствия.

Наконец, номер фотона дается оператором ${displaystyle {widehat {N}} = {widehat {a}} ^ {dagger} {widehat {a}},}$ что дает количество фотонов в данной (пространственно-временной) моде ты.

Квадратуры

Операторы данный

{displaystyle {widehat {q}} = {frac {1} {2}} ({widehat {a}} ^ {dagger} + {widehat {a}})}

и

{displaystyle {widehat {p}} = {frac {i} {2}} ({widehat {a}} ^ {dagger} - {widehat {a}})}

называются квадратуры и они представляют настоящий и воображаемый части комплексная амплитуда представлена ${displaystyle {widehat {a}}}$ .^[1] Связь коммутации между двумя квадратурами легко вычисляется:

{displaystyle {egin {align} left [{widehat {q}}, {widehat {p}} ight] & = {frac {i} {4}} [{widehat {a}} ^ {dagger} + {widehat { a}}, {widehat {a}} ^ {dagger} - {widehat {a}}] & = {frac {i} {4}} ([{widehat {a}} ^ {dagger}, {widehat { a}} ^ {dagger}] - [{widehat {a}} ^ {dagger}, {widehat {a}}] + [{widehat {a}}, {widehat {a}} ^ {dagger}] - [ {widehat {a}}, {widehat {a}}]) & = {frac {i} {4}} (- (- 1) +1) & = {frac {i} {2}} end { выровнено}}}

Это очень похоже на коммутационное соотношение оператора положения и импульса. Таким образом, может быть полезно думать и рассматривать квадратуры как положение и импульс осциллятора, хотя на самом деле они являются «синфазными и противофазными компонентами амплитуды электрического поля пространственно-временной моды». , или же ты, и на самом деле не имеют ничего общего с положением или импульсом электромагнитного осциллятора (поскольку трудно определить, что подразумевается под положением и импульсом для электромагнитного осциллятора).^[1]

Свойства квадратур

В собственные состояния квадратурных операторов ${displaystyle {widehat {q}}}$ и ${displaystyle {widehat {p}}}$ называются квадратурными состояниями. Они удовлетворяют отношениям:

${displaystyle {widehat {q}} | qangle = q | qangle}$ и ${displaystyle {widehat {p}} | pangle = p | pangle}$

${displaystyle langle q | q'angle = delta (q-q ')}$ и ${displaystyle langle p | p'angle = delta (p-p ')}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} | qangle langle q |, dq = 1}$ и ${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} | pangle langle p |, dp = 1}$

как эти формы полная основа наборы.

Важный результат

Следующее - важное соотношение, которое может быть выведено из вышеизложенного, которое оправдывает нашу интерпретацию, согласно которой квадратуры являются действительной и мнимой частями комплексного ${displaystyle alpha}$ (т.е. синфазные и не синфазные компоненты электромагнитного генератора)

{displaystyle langle alpha | {widehat {q}} | alpha angle = 2 ^ {- 1/2} (langle alpha | {widehat {a}} ^ {dagger}) | alpha angle + langle alpha | {widehat {a}}) | угол альфа) = 2 ^ {- 1/2} (альфа ^ {*} угол альфа | угол альфа + альфа угол альфа | угол альфа)}

Ниже приведены отношения, которые можно использовать для оценки вышеизложенного, и они представлены:

{displaystyle langle alpha '| alpha angle = e ^ {(- 1/2) (| alpha' | ^ {2} + | alpha | ^ {2}) + alpha '^ {*} alpha}}

^[1]

Это дает нам следующее:

{displaystyle langle alpha | {widehat {q}} | alpha angle = 2 ^ {- 1/2} (alpha ^ {*} + alpha) = q_ {alpha}}.

{displaystyle langle alpha | {widehat {p}} | alpha angle = i2 ^ {- 1/2} (alpha ^ {*} - alpha) = p_ {alpha}}.

тем же способом, что и выше.

{displaystyle alpha = 2 ^ {- 1/2} (langle alpha | {widehat {q}} | alpha angle + ilangle alpha | {widehat {p}} | alpha angle) = 2 ^ {- 1/2} (q_ {alpha} + ip_ {alpha})}

Таким образом, ${displaystyle alpha}$ это просто композиция квадратур.

В этом формализме становится очень очевидным еще одно очень важное свойство когерентных состояний. Когерентное состояние - это не точка в оптическом фазовом пространстве, а скорее его распределение. Это можно увидеть через

{displaystyle q_ {alpha} = langle alpha | {widehat {q}} | alpha angle}

и

{displaystyle p_ {alpha} = langle alpha | {widehat {p}} | alpha angle}

.

Это только ожидаемые значения ${displaystyle {widehat {q}}}$ и ${displaystyle {widehat {p}}}$ для государства ${displaystyle | альфа-угол}$ .

Можно показать, что квадратуры подчиняются Принцип неопределенности Гейзенберга предоставлено:

{displaystyle Delta qDelta pgeq 1/2}

^[1] (куда

{displaystyle Delta q}

и

{displaystyle Delta p}

являются отклонения распределений q и p соответственно)

Это неравенство не обязательно должно быть насыщенным, и типичный пример таких состояний: сжатые когерентные состояния. Когерентные состояния: Гауссовские распределения вероятностей в фазовом пространстве, локализованном вокруг ${displaystyle alpha}$ .

Операторы на фазовом пространстве

Можно определить операторы для перемещения когерентных состояний по фазовому пространству. Они могут создавать новые когерентные состояния и позволяют нам перемещаться по фазовому пространству.

Оператор фазового сдвига

Оператор фазового сдвига, действующий на когерентное состояние, поворачивая его на угол

{displaystyle heta}

в фазовом пространстве.

Оператор фазового сдвига поворачивает когерентное состояние на угол ${displaystyle heta}$ в оптическом фазовом пространстве. Этот оператор задается:

{displaystyle {widehat {U}} (heta) = e ^ {- i heta {widehat {N}}}})

^[1]

Важные отношения

{displaystyle {widehat {U}} (heta) ^ {dagger} {widehat {a}} {widehat {U}} (heta) = {widehat {a}} e ^ {- i heta}}

выводится следующим образом:

{displaystyle d / d heta ({widehat {U}} ^ {dagger} {widehat {a}} {widehat {U}}) = i {widehat {N}} {widehat {U}} ^ {dagger} {widehat {a}} {widehat {U}} - i {widehat {U}} ^ {dagger} {widehat {a}} {widehat {U}} {widehat {N}} = {widehat {U}} ^ {кинжал } я [{widehat {N}}, {widehat {a}}] {widehat {U}}}

{displaystyle = {widehat {U}} ^ {dagger} i ({widehat {a}} ^ {dagger} {widehat {a}} {widehat {a}} - {widehat {a}} {widehat {a}}) ^ {dagger} {widehat {a}}) {widehat {U}} = {widehat {U}} ^ {dagger} i [{widehat {a}} ^ {dagger}, {widehat {a}}] {широкие шляпы {a}} {widehat {U}} = - я {widehat {U}} ^ {dagger} {widehat {a}} {widehat {U}}}

и решение этого дифференциальное уравнение дает желаемый результат.

Таким образом, используя сказанное выше становится ясно, что

{displaystyle {widehat {U}} (heta) | alpha angle = | alpha e ^ {- i heta} angle}

,

или поворот на угол тета когерентного состояния в фазовом пространстве. Следующее иллюстрирует это более ясно:

{displaystyle {widehat {a}} ({widehat {U}} | альфа-угол) = {widehat {U}} {widehat {a}} e ^ {- i heta} | альфа-угол})

(что получается с использованием того факта, что оператор сдвига фазы имеет вид унитарный

{displaystyle {widehat {a}} ({widehat {U}} | угол альфа) = {widehat {U}} альфа e ^ {- i heta} | угол альфа = alpha e ^ {- i heta} ({widehat { U}} | угол альфа)}

Таким образом,

{displaystyle (alpha e ^ {- i heta}, {widehat {U}} | угол альфа)}

это собственная пара из

{displaystyle {widehat {a}} {widehat {U}} | альфа-угол}

.

Из этого можно увидеть, что

{displaystyle (alpha e ^ {- i heta} = 2 ^ {- 1/2} [q_ {alpha} cos (heta) + p_ {alpha} sin (heta)] + i2 ^ {- 1/2} [- q_ {alpha} sin (heta) + p_ {alpha} cos (heta)], {widehat {U}} | alpha angle = | alpha e ^ {- i heta} angle)}

это еще один способ выражения собственной пары, который более четко иллюстрирует влияние оператора сдвига фазы на когерентные состояния.

Оператор смещения

Оператор смещения, действующий на когерентное состояние, смещая его на некоторое значение

{displaystyle alpha}

в фазовом пространстве.

Оператор смещения - это унитарный оператор, который берет когерентное состояние и превращает его в другое унитарное состояние. Оператор смещения дается выражением

{displaystyle {widehat {D}} (alpha) = e ^ {alpha {widehat {a}} ^ {dagger} -alpha ^ {*} {widehat {a}}}}

и его название происходит от важного отношения

{displaystyle {widehat {a}} (alpha) Equiv {widehat {D}} ^ {dagger} (alpha) {widehat {a}} {widehat {D}} (альфа) = {widehat {a}} + альфа}

.

Действительно, давайте временно представим ${displaystyle {widehat {a}} (s) = {widehat {a}} (salpha)}$ с реальным ${displaystyle s}$ и подумайте, как ${displaystyle {widehat {a}} (s)}$ меняется, когда ${displaystyle s}$ изменяется с 0 на 1. Дифференциация ${displaystyle {widehat {a}} (s)}$ относительно ${displaystyle s}$ , мы нашли

${displaystyle {frac {partial} {partial s}} {widehat {a}} (s) = D ^ {dagger} (salpha) [alpha ^ {*} {widehat {a}} - alpha {widehat {a}} ^ {dagger}, {widehat {a}}] D (salpha) = альфа,}$

так что ${displaystyle {widehat {a}} (s) = {widehat {a}} (0) + salpha.})$

Поскольку когерентные состояния являются собственными состояниями как оператора аннигиляции, так и оператора умножения на число, легко увидеть, что действительно оператор смещения перемещает когерентные состояния, или, точнее,

${displaystyle {widehat {D}} (альфа) | угол эта = | альфа + угол эта.}$

Действительно, полученное выше соотношение можно переписать в виде ${displaystyle {widehat {a}} {widehat {D}} (альфа) = {widehat {D}} (альфа) ({widehat {a}} + альфа)}$ , тогда

${displaystyle {widehat {a}} {widehat {D}} (альфа) | eta angle = {widehat {D}} (alpha) ({widehat {a}} + alpha) | угол эта = (альфа + эта) {широкая шляпа {D}} (альфа) | угол эта.}$

Таким образом, ${displaystyle {widehat {D}} (альфа) | eta angle}$ является собственным состоянием оператора уничтожения с собственным значением ${displaystyle alpha + eta}$ , следовательно ${displaystyle {widehat {D}} (альфа) | угол эта = | альфа + угол эта}$ .

Особенно,

{displaystyle {widehat {D}} (- alpha) | alpha angle = | 0angle}

что приводит к

{displaystyle | alpha angle = {widehat {D}} (alpha) | 0angle}

.

Это важно, поскольку показывает, что все когерентные состояния могут быть получены как смещения основное состояние, что в оптике также является состояние вакуума.