Уравнение Клейна – Гордона - Klein–Gordon equation

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Клейн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

В Уравнение Клейна – Гордона (Уравнение Клейна – Фока – Гордона. или иногда Уравнение Клейна – Гордона – Фока.) это релятивистское волновое уравнение, связанный с Уравнение Шредингера. Это второй порядок в пространстве и времени и явно Лоренц-ковариантный. Это квантованная версия релятивистского соотношение энергия-импульс. Его решения включают квантовое скалярное или псевдоскалярное поле, поле, кванты которого являются бесспиновыми частицами. Его теоретическая значимость аналогична значению Уравнение Дирака.^[1] Электромагнитные взаимодействия могут быть включены, образуя тему скалярная электродинамика, но поскольку обычные бесспиновые частицы, такие как пионы нестабильны, а также испытывают сильное взаимодействие (с неизвестным членом взаимодействия в Гамильтониан,^[2]) практическая полезность ограничена.

Уравнение можно представить в виде уравнения Шредингера. В этой форме оно выражается в виде двух связанных дифференциальных уравнений, каждое первого порядка по времени.^[3] Решения состоят из двух компонентов, отражающих степень свободы заряда в теории относительности.^[3][4] Он допускает сохраняющуюся величину, но не является положительно определенной. Следовательно, волновую функцию нельзя интерпретировать как амплитуда вероятности. Вместо этого сохраненная величина интерпретируется как электрический заряд, а квадрат нормы волновой функции интерпретируется как плотность заряда. Уравнение описывает все бесспиновые частицы с положительным, отрицательным и нулевым зарядом.

Любое решение свободного уравнения Дирака является покомпонентным решением свободного уравнения Клейна-Гордона. Уравнение Клейна-Гордона не является основой последовательной квантовой релятивистской системы. одночастичный теория. Для частиц любого спина такой теории не существует. Для полного согласования квантовой механики со специальной теорией относительности квантовая теория поля требуется, в котором уравнение Клейна – Гордона снова появляется как уравнение, которому подчиняются компоненты всех свободных квантовых полей.^{[nb 1]} В квантовой теории поля решения свободных (невзаимодействующих) версий исходных уравнений все еще играют роль. Они нужны для построения гильбертова пространства (Пространство фока ) и выразить квантовые поля с помощью полных наборов (остовных наборов гильбертова пространства) волновых функций.

утверждение

Уравнение Клейна – Гордона с массовым параметром. ${ displaystyle m}$ является

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} psi - nabla ^ {2} psi + { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi = 0.}$

Решениями уравнения являются комплексные функции ${ displaystyle psi (т, mathbf {x})}$ временной переменной ${ displaystyle t}$ и пространственные переменные ${ displaystyle mathbf {x}}$; то Лапласиан ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ действует только на пространственные переменные.

Уравнение часто сокращается как

${ Displaystyle ( Box + mu ^ {2}) psi = 0,}$

куда μ = MC/час, и □ это оператор Даламбера, определяется

${ displaystyle Box = - eta ^ { mu nu} partial _ { mu} , partial _ { nu} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} - nabla ^ {2}.}$

(Мы используем (-, +, +, +) метрическая подпись.)

Уравнение Клейна – Гордона часто записывают в виде натуральные единицы:

${ displaystyle - partial _ {t} ^ {2} psi + nabla ^ {2} psi = m ^ {2} psi}$.

Форма уравнения Клейна – Гордона выводится из требования, чтобы плоская волна решения

${ displaystyle psi = e ^ {- я omega t + ik cdot x} = e ^ {ik _ { mu} x ^ { mu}}}$

уравнения подчиняются соотношению энергия-импульс специальной теории относительности:

${ displaystyle -p _ { mu} p ^ { mu} = E ^ {2} -P ^ {2} = omega ^ {2} -k ^ {2} = - k _ { mu} k ^ { mu} = m ^ {2}.}$

В отличие от уравнения Шредингера уравнение Клейна – Гордона допускает два значения ω для каждого k: один положительный и один отрицательный. Только разделив положительную и отрицательную частотные части, можно получить уравнение, описывающее релятивистскую волновую функцию. Для не зависящего от времени случая уравнение Клейна – Гордона принимает вид

${ displaystyle left [ nabla ^ {2} - { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} right] psi ( mathbf {r}) = 0,}$

который формально совпадает с однородным экранированное уравнение Пуассона.

История

Уравнение названо в честь физиков. Оскар Кляйн и Уолтер Гордон, который в 1926 году предположил, что он описывает релятивистские электроны. Другие авторы, делавшие аналогичные утверждения в том же году, были Владимир Фок, Иоганн Кудар, Теофиль де Дондер и Франс-Х. ван ден Дунген, и Луи де Бройль. Хотя оказалось, что для моделирования спина электрона требуется Уравнение Дирака, уравнение Клейна – Гордона правильно описывает бесспиновый релятивистский композитные частицы, словно пион. 4 июля 2012 г. Европейская организация ядерных исследований ЦЕРН объявил об открытии бозон Хиггса. Поскольку бозон Хиггса - частица с нулевым спином, это первая якобы наблюдаемая элементарная частица описываться уравнением Клейна – Гордона. Требуются дальнейшие эксперименты и анализ, чтобы определить, бозон Хиггса наблюдается то из Стандартная модель или более экзотической, возможно, сложной формы.

Уравнение Клейна – Гордона впервые было рассмотрено как квантово-волновое уравнение Шредингер в его поисках уравнения, описывающего волны де Бройля. Уравнение находится в его записных книжках конца 1925 года, и он, похоже, подготовил рукопись, применив его к атому водорода. Тем не менее, поскольку оно не учитывает спин электрона, уравнение неверно предсказывает тонкую структуру атома водорода, в том числе завышает общую величину картины расщепления в несколько раз. 4п/2п − 1 для п-й энергетический уровень. Однако релятивистский спектр уравнения Дирака легко восстановить, если квантовое число орбитального момента л заменяется квантовым числом полного углового момента j.^[5] В январе 1926 года Шредингер представил для публикации вместо его уравнение, нерелятивистское приближение, которое предсказывает уровни энергии Бора водорода без тонкая структура.

В 1926 году, вскоре после того, как было введено уравнение Шредингера, Владимир Фок написал статью о его обобщении на случай магнитные поля, куда силы зависели от скорость, и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы и Клейна. Фок также определил калибровочная теория для волновое уравнение. Уравнение Клейна – Гордона для свободная частица имеет простой плоская волна решение.

Вывод

Нерелятивистское уравнение для энергии свободной частицы имеет вид

${ displaystyle { frac { mathbf {p} ^ {2}} {2m}} = E.}$

Квантовав это, мы получим нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы:

${ displaystyle { frac { mathbf { hat {p}} ^ {2}} {2m}} psi = { hat {E}} psi,}$

куда

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar mathbf { nabla}}$

это оператор импульса (∇ будучи оператор дель ), и

${ displaystyle { hat {E}} = я hbar { frac { partial} { partial t}}}$

это оператор энергии.

Уравнение Шредингера страдает тем, что релятивистски инвариантный, что означает, что это несовместимо с специальная теория относительности.

Естественно попытаться использовать тождество из специальной теории относительности, описывающее энергию:

${ displaystyle { sqrt { mathbf {p} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} = E.}$

Тогда простая вставка квантово-механических операторов для импульса и энергии приводит к уравнению

${ displaystyle { sqrt {(-i hbar mathbf { nabla}) ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} , psi = i hbar { frac { partial} { partial t}} psi.}$

Квадратный корень из дифференциального оператора можно определить с помощью Преобразования Фурье, но из-за асимметрии производных пространства и времени Дирак обнаружил, что невозможно учесть внешние электромагнитные поля релятивистски инвариантным образом. Поэтому он искал другое уравнение, которое можно изменить, чтобы описать действие электромагнитных сил. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде имеет вид нелокальный (смотрите также Введение в нелокальные уравнения ).

Кляйн и Гордон вместо этого начали с квадрата указанного выше тождества, т.е.

${ displaystyle mathbf {p} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} = E ^ {2},}$

что при квантовании дает

${ displaystyle left ((- я hbar mathbf { nabla}) ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} right) psi = left (i hbar { frac { partial} { partial t}} right) ^ {2} psi,}$

что упрощает

${ displaystyle - hbar ^ {2} c ^ {2} mathbf { nabla} ^ {2} psi + m ^ {2} c ^ {4} psi = - hbar ^ {2} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} psi.}$

Изменение условий доходности

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} psi - mathbf { nabla} ^ {2 } psi + { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi = 0.}$

Поскольку все ссылки на мнимые числа были исключены из этого уравнения, его можно применить к полям, которые ценный, а также те, у которых есть комплексные значения.

Переписав первые два члена, используя обратное Метрика Минковского диаг (-c², 1, 1, 1), и явно записав соглашение Эйнштейна о суммировании, мы получаем

${ displaystyle - eta ^ { mu nu} partial _ { mu} , partial _ { nu} psi Equiv sum _ { mu = 0} ^ { mu = 3} sum _ { nu = 0} ^ { nu = 3} - eta ^ { mu nu} partial _ { mu} , partial _ { nu} psi = { frac {1} {c ^ {2}}} partial _ {0} ^ {2} psi - sum _ { nu = 1} ^ { nu = 3} partial _ { nu} , partial _ { nu} psi = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} psi - mathbf { nabla} ^ {2} psi.}$

Таким образом, уравнение Клейна – Гордона можно записать в ковариантной записи. Часто это означает сокращение в виде

${ Displaystyle ( Box + mu ^ {2}) psi = 0,}$

куда

${ displaystyle mu = { frac {mc} { hbar}},}$

и

${ displaystyle Box = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} - nabla ^ {2}.}$

Этот оператор называется оператор Даламбера.

Сегодня эта форма интерпретируется как релятивистская. уравнение поля за вращение -0 частиц.^[3] Кроме того, любые составная часть любого решения к бесплатному Уравнение Дирака (для спин-1/2 частица) автоматически является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Это распространяется на частицы любого спина из-за Уравнения Баргмана – Вигнера. Кроме того, в квантовая теория поля, каждая компонента каждого квантового поля должна удовлетворять свободному уравнению Клейна – Гордона,^[6] превращая уравнение в общее выражение квантовых полей.

Уравнение Клейна – Гордона в потенциале

Уравнение Клейна – Гордона можно обобщить для описания поля в некотором потенциале V(ψ) так как^[7]

${ displaystyle Box psi + { frac { partial V} { partial psi}} = 0.}$

Сохраненный ток

Сохраненный ток, связанный с U(1) симметрия комплексного поля ${ Displaystyle varphi (х) в mathbb {C}}$ удовлетворяющий уравнению Клейна – Гордона, имеет вид

${ Displaystyle partial _ { mu} J ^ { mu} (x) = 0, quad J ^ { mu} (x) Equiv { frac {e} {2m}} left (, varphi ^ {*} (x) partial ^ { mu} varphi (x) - varphi (x) partial ^ { mu} varphi ^ {*} (x) , right).}$

Форма сохраняющегося тока может быть получена систематически, применяя Теорема Нётер к U(1) симметрия. Мы не будем делать этого здесь, а просто дадим доказательство того, что этот сохраняющийся ток верен.

Релятивистское решение со свободными частицами

Уравнение Клейна – Гордона для свободной частицы можно записать как

${ displaystyle mathbf { nabla} ^ {2} psi - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}} } psi = { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi.}$

Ищем плоско-волновые решения вида

${ displaystyle psi ( mathbf {r}, t) = e ^ {я ( mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t)}}$

для некоторой постоянной угловая частота ω ∈ ℝ и волновое число k ∈ ℝ³. Замена дает соотношение дисперсии

${ displaystyle - | mathbf {k} | ^ {2} + { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = { frac {m ^ {2} c ^ {2} } { hbar ^ {2}}}.}$

Видно, что энергия и импульс пропорциональны ω и k:

${ Displaystyle langle mathbf {p} rangle = langle psi | -i hbar mathbf { nabla} | psi rangle = hbar mathbf {k},}$

${ displaystyle langle E rangle = left langle psi left | i hbar { frac { partial} { partial t}} right | psi right rangle = hbar omega.}$

Таким образом, дисперсионное соотношение - это просто классическое релятивистское уравнение:

${ displaystyle langle E rangle ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + langle mathbf {p} rangle ^ {2} c ^ {2}.}$

Для безмассовых частиц можно положить м = 0, восстанавливая связь между энергией и импульсом для безмассовых частиц:

${ displaystyle langle E rangle = { big |} langle mathbf {p} rangle { big |} c.}$

Действие

Уравнение Клейна – Гордона также можно получить с помощью вариационный метод, учитывая действие^{[сомнительный – обсуждать]}

${ displaystyle { mathcal {S}} = int left (- { frac { hbar ^ {2}} {m}} eta ^ { mu nu} partial _ { mu} { bar { psi}} , partial _ { nu} psi -mc ^ {2} { bar { psi}} psi right) mathrm {d} ^ {4} x,}$

куда ψ - поле Клейна – Гордона, а м это его масса. В комплексно сопряженный из ψ написано ψ. Если считать скалярное поле действительным, то ψ = ψ, и принято вводить коэффициент 1/2 для обоих членов.

Применяя формулу для Гильбертовый тензор энергии-импульса плотности лагранжиана (величина внутри интеграла), мы можем получить тензор энергии-импульса скалярного поля. это

${ displaystyle T ^ { mu nu} = { frac { hbar ^ {2}} {m}} left ( eta ^ { mu alpha} eta ^ { nu beta} + eta ^ { mu beta} eta ^ { nu alpha} - eta ^ { mu nu} eta ^ { alpha beta} right) partial _ { alpha} { bar { psi}} , partial _ { beta} psi - eta ^ { mu nu} mc ^ {2} { bar { psi}} psi.}$

Путем интеграции временной составляющей Т⁰⁰ по всему пространству, можно показать, что решения плоских волн как с положительной, так и с отрицательной частотой могут быть физически связаны с частицами с положительный энергия. Это не так для уравнения Дирака и его тензора энергии-импульса.^[3]

Нерелятивистский предел

Классическое поле

Переходя к нерелятивистскому пределу (v << c) классического поля Клейна-Гордона ψ (Икс, т) начинается с анзаца, разлагающего колебательные энергия покоя срок,

${ displaystyle psi ( mathbb {x}, t) = phi ( mathbb {x}, t) , e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t} quad { textrm {where}} quad phi ( mathbb {x}, t) = u_ {E} (x) e ^ {- { frac {i} { hbar}} E't}. }$

Определение кинетической энергии ${ displaystyle E '= E-mc ^ {2} = { sqrt {m ^ {2} c ^ {4} + c ^ {2} p ^ {2}}} - mc ^ {2} приблизительно { frac {p ^ {2}} {2m}}}$, ${ displaystyle E ' ll mc ^ {2}}$ в нерелятивистском пределе v ~ p << c, и поэтому

${ displaystyle left | я hbar { frac { partial phi} { partial t}} right | = E ' phi ll mc ^ {2} phi.}$

Применение этого дает нерелятивистский предел второй производной по времени от ${ displaystyle psi}$,

${ displaystyle { frac { partial psi} { partial t}} = left (-i { frac {mc ^ {2}} { hbar}} phi + { frac { partial phi } { partial t}} right) , e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t} приблизительно -i { frac {mc ^ {2}} { hbar}} phi , e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t}}$

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} psi} { partial t ^ {2}}} приблизительно - left (i { frac {2mc ^ {2}} { hbar}} { frac { partial phi} { partial t}} + left ({ frac {mc ^ {2}} { hbar}} right) ^ {2} phi right) e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t}}$

Подставляя в свободное уравнение Клейна-Гордона, ${ displaystyle c ^ {- 2} partial _ {t} ^ {2} psi = nabla ^ {2} psi -m ^ {2} psi}$, дает

${ displaystyle - { frac {1} {c ^ {2}}} left (я { frac {2mc ^ {2}} { hbar}} { frac { partial phi} { partial t }} + left ({ frac {mc ^ {2}} { hbar}} right) ^ {2} phi right) e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t} приблизительно left ( nabla ^ {2} - left ({ frac {mc ^ {2}} { hbar}} right) ^ {2} right) phi , e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t}}$

который (путем деления экспоненты и вычитания массового члена) упрощается до

${ displaystyle i hbar { frac { partial phi} { partial t}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} phi.}$

Это классический Поле Шредингера.

Квантовое поле

Аналогичный предел квантового поля Клейна-Гордона осложняется некоммутативностью оператора поля. В пределе v << c, то операторы создания и уничтожения отделяются и ведут себя как независимые квантовые Поля Шредингера.

Электромагнитное взаимодействие

Есть простой способ заставить любое поле взаимодействовать с электромагнетизмом в калибровочно-инвариантный способ: заменить производные операторы калибровочно-ковариантными производными операторами. Это потому, что для сохранения симметрии физических уравнений для волновой функции ${ displaystyle varphi}$ под местным U(1) калибровочное преобразование ${ Displaystyle varphi к varphi '= ехр (я тета) varphi}$, куда ${ displaystyle theta (т, { textbf {x}})}$ является локально изменяемым фазовым углом, преобразование которого перенаправляет волновую функцию в сложном фазовом пространстве, определяемом формулой ${ Displaystyle ехр (я тета) = соз тета + я грех тета}$, требуется, чтобы обычные производные ${ displaystyle partial _ { mu}}$ заменить калибровочно-ковариантными производными ${ Displaystyle D _ { mu} = partial _ { mu} -ieA _ { mu}}$, а калибровочные поля преобразуются как ${ displaystyle eA _ { mu} to eA '_ { mu} = eA _ { mu} + partial _ { mu} theta}$. Таким образом, уравнение Клейна – Гордона принимает вид

${ displaystyle D _ { mu} D ^ { mu} varphi = - ( partial _ {t} -ieA_ {0}) ^ {2} varphi + ( partial _ {i} -ieA_ {i} ) ^ {2} varphi = m ^ {2} varphi}$

в натуральные единицы, куда А - векторный потенциал. Хотя можно добавить много терминов более высокого порядка, например,

${ Displaystyle D _ { mu} D ^ { mu} varphi + AF ^ { mu nu} D _ { mu} varphi D _ { nu} (D _ { alpha} D ^ { alpha} varphi) = 0,}$

эти условия не перенормируемый в 3 + 1 измерениях.

Уравнение поля для заряженного скалярного поля умножается на я,^{[требуется разъяснение ]} что означает, что поле должно быть сложным. Чтобы поле было заряженным, оно должно иметь два компонента, которые могут вращаться друг в друга, реальную и мнимую части.

Действие для безмассового заряженного скаляра является ковариантной версией незаряженного действия:

${ Displaystyle S = int _ {x} eta ^ { mu nu} left ( partial _ { mu} varphi ^ {*} + ieA _ { mu} varphi ^ {*} right ) left ( partial _ { nu} varphi -ieA _ { nu} varphi right) = int _ {x} | D varphi | ^ {2}.}$

Гравитационное взаимодействие

В общая теория относительности, мы включаем эффект гравитации, заменяя частичное на ковариантные производные, и уравнение Клейна – Гордона принимает вид (в в основном плюсы подпись )^[8]

${ displaystyle { begin {align} 0 & = - g ^ { mu nu} nabla _ { mu} nabla _ { nu} psi + { dfrac {m ^ {2} c ^ {2 }} { hbar ^ {2}}} psi = -g ^ { mu nu} nabla _ { mu} ( partial _ { nu} psi) + { dfrac {m ^ {2 } c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi & = - g ^ { mu nu} partial _ { mu} partial _ { nu} psi + g ^ { mu nu} Gamma ^ { sigma} {} _ { mu nu} partial _ { sigma} psi + { dfrac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi, end {выровнено}}}$

или эквивалентно,

${ displaystyle { frac {-1} { sqrt {-g}}} partial _ { mu} left (g ^ { mu nu} { sqrt {-g}} partial _ { nu} psi right) + { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi = 0,}$

куда грамм^αβ инверсия метрический тензор это поле гравитационного потенциала, грамм это детерминант метрического тензора, ∇_μ это ковариантная производная, и Γ^σ_μν это Символ Кристоффеля это гравитационный силовое поле.

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Квантовая теория поля
• Четвертичное взаимодействие
• Релятивистские волновые уравнения
• Уравнение Рариты – Швингера
• Теория скалярного поля
• Уравнение синуса-Гордона

Замечания

Примечания

Рекомендации

• Давыдов, А. С. (1976). Квантовая механика, 2-е издание. Pergamon Press. ISBN  0-08-020437-6.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Feshbach, H .; Виллар, Ф. (1958). «Элементарная релятивистская волновая механика частиц со спином 0 и спином 1/2». Обзоры современной физики. 30 (1): 24–45. Bibcode:1958РвМП ... 30 ... 24Ф. Дои:10.1103 / RevModPhys.30.24.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Гордон, Уолтер (1926). "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie". Zeitschrift für Physik. 40 (1–2): 117. Bibcode:1926ZPhy ... 40..117G. Дои:10.1007 / BF01390840. S2CID  122254400.
• Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Springer Verlag. ISBN  3-5406-74578.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Greiner, W .; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN  978-3540580805.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Гросс, Ф. (1993). Релятивистская квантовая механика и теория поля (1-е изд.). Вайли-ВЧ. ISBN  978-0471591139.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Кляйн, О. (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik. 37 (12): 895. Bibcode:1926ZPhy ... 37..895K. Дои:10.1007 / BF01397481.
• Сакураи, Дж. Дж. (1967). Продвинутая квантовая механика. Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-06710-2.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей. я. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-55001-7.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

внешняя ссылка

• «Уравнение Клейна – Гордона», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Клейна-Гордона». MathWorld.
• Линейное уравнение Клейна – Гордона. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Клейна – Гордона. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Введение в нелокальные уравнения.