Квантовая группа - Википедия - Quantum group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика и теоретическая физика, период, термин квантовая группа обозначает один из нескольких видов некоммутативные алгебры с дополнительной структурой. К ним относятся квантовые группы типа Дринфельда – Джимбо (которые являются квазитреугольные алгебры Хопфа ), компактные матричные квантовые группы (которые являются структурами на единичных разделимых C * -алгебры ) и квантовые группы биикроспроизведения.

Термин «квантовая группа» впервые появился в теории квантовые интегрируемые системы, который затем был формализован Владимир Дринфельд и Мичио Джимбо как особый класс Алгебра Хопфа. Этот же термин используется и для других алгебр Хопфа, деформирующих или близких к классическим. Группы Ли или же Алгебры Ли, например, класс квантовых групп "бикроспроизведения", введенный Шахн Маджид немного позже работы Дринфельда и Джимбо.

В подходе Дринфельда квантовые группы возникают как Алгебры Хопфа в зависимости от вспомогательного параметра q или же час, которые стали универсальные обертывающие алгебры некоторой алгебры Ли, часто полупростой или же аффинный, когда q = 1 или час = 0. Тесно связаны некоторые дуальные объекты, также алгебры Хопфа и также называемые квантовыми группами, деформирующие алгебру функций на соответствующем полупростом алгебраическая группа или компактная группа Ли.

Интуитивное значение

Открытие квантовых групп было весьма неожиданным, так как давно было известно, что компактные группы а полупростые алгебры Ли являются «жесткими» объектами, другими словами, их нельзя «деформировать». Одна из идей, лежащих в основе квантовых групп, заключается в том, что если мы рассмотрим структуру, которая в некотором смысле эквивалентна, но больше, а именно групповая алгебра или универсальная обертывающая алгебра, то групповая или обертывающая алгебра может быть «деформирована», хотя деформация больше не будет оставаться групповой или обертывающей алгеброй. Точнее, деформацию можно осуществить в категории Алгебры Хопфа которые не обязательно должны быть коммутативный или же кокоммутативный. Можно представить деформированный объект как алгебру функций на «некоммутативном пространстве» в духе некоммутативная геометрия из Ален Конн. Эта интуиция, однако, появилась после того, как определенные классы квантовых групп уже доказали свою полезность при изучении квантовых групп. Уравнение Янга – Бакстера и квантовый метод обратной задачи разработан Ленинградской школой (Людвиг Фаддеев, Леон Тахтаджан, Евгений Склянин, Николай Решетихин и Владимир Корепин ) и связанные с ним работы Японской школы.^[1] Интуиция за вторым, бикроспродукт, класс квантовых групп был другим и возник в результате поиска самодуальных объектов как подхода к квантовая гравитация.^[2]

Квантовые группы типа Дринфельда – Джимбо.

Один тип объектов, обычно называемый «квантовой группой», появился в работах Владимира Дринфельда и Мичио Джимбо как деформация универсальная обертывающая алгебра из полупростая алгебра Ли или, в более общем смысле, Алгебра Каца – Муди, в категории Алгебры Хопфа. Полученная алгебра имеет дополнительную структуру, превращающую ее в квазитреугольная алгебра Хопфа.

Позволять А = (а_ij) быть Матрица Картана алгебры Каца – Муди, и пусть q ≠ 0, 1 - комплексное число, тогда квантовая группа, U_q(грамм), куда грамм - алгебра Ли, матрица Картана которой А, определяется как единый ассоциативная алгебра с генераторами k_λ (куда λ является элементом весовая решетка, т.е. 2 (λ, α_я) / (α_я, α_я) является целым числом для всех я), и е_я и ж_я (за простые корни, α_я) при соблюдении следующих соотношений:

${ displaystyle { begin {align} k_ {0} & = 1 k _ { lambda} k _ { mu} & = k _ { lambda + mu} k _ { lambda} e_ {i} k_ { lambda} ^ {- 1} & = q ^ {( lambda, alpha _ {i})} e_ {i} k _ { lambda} f_ {i} k _ { lambda} ^ {- 1 } & = q ^ {- ( lambda, alpha _ {i})} f_ {i} left [e_ {i}, f_ {j} right] & = delta _ {ij} { гидроразрыв {k_ {i} -k_ {i} ^ {- 1}} {q_ {i} -q_ {i} ^ {- 1}}} && k_ {i} = k _ { alpha _ {i}}, q_ {i} = q ^ {{ frac {1} {2}} ( alpha _ {i}, alpha _ {i})} конец {выровнено}}}$

И для я ≠ j у нас есть q-Серровые отношения, являющиеся деформациями Серр связи:

${ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ {1-a_ {ij}} (- 1) ^ {n} { frac {[1-a_ {ij}] _ {q_ { i}}!} {[1-a_ {ij} -n] _ {q_ {i}}! [n] _ {q_ {i}}!}} e_ {i} ^ {n} e_ {j} e_ {i} ^ {1-a_ {ij} -n} & = 0 [6pt] sum _ {n = 0} ^ {1-a_ {ij}} (- 1) ^ {n} { frac {[1-a_ {ij}] _ {q_ {i}}!} {[1-a_ {ij} -n] _ {q_ {i}}! [N] _ {q_ {i}}!}} f_ {i} ^ {n} f_ {j} f_ {i} ^ {1-a_ {ij} -n} & = 0 end {выровнено}}}$

где q-факториал, то q-аналог обычного факториал, определяется рекурсивно с помощью q-числа:

${ displaystyle { begin {align} {[0]} _ {q_ {i}}! & = 1 {[n]} _ {q_ {i}}! & = prod _ {m = 1} ^ {n} [m] _ {q_ {i}}, && [m] _ {q_ {i}} = { frac {q_ {i} ^ {m} -q_ {i} ^ {- m}} {q_ {i} -q_ {i} ^ {- 1}}} конец {выровнено}}}$

В пределе как q → 1, эти соотношения приближаются к соотношениям универсальной обертывающей алгебры U(грамм), куда

${ displaystyle k _ { lambda} to 1, qquad { frac {k _ { lambda} -k _ {- lambda}} {q-q ^ {- 1}}} to t _ { lambda}}$

и т_λ - элемент подалгебры Картана, удовлетворяющий (т_λ, час) = λ(час) для всех час в подалгебре Картана.

Есть разные коассоциативные побочные продукты при котором эти алгебры являются алгебрами Хопфа, например,

${ displaystyle { begin {array} {lll} Delta _ {1} (k _ { lambda}) = k _ { lambda} otimes k _ { lambda} & Delta _ {1} (e_ {i} ) = 1 otimes e_ {i} + e_ {i} otimes k_ {i} & Delta _ {1} (f_ {i}) = k_ {i} ^ {- 1} otimes f_ {i} + f_ {i} otimes 1 Delta _ {2} (k _ { lambda}) = k _ { lambda} otimes k _ { lambda} & Delta _ {2} (e_ {i}) = k_ {i} ^ {- 1} otimes e_ {i} + e_ {i} otimes 1 & Delta _ {2} (f_ {i}) = 1 otimes f_ {i} + f_ {i} otimes k_ {i} Delta _ {3} (k _ { lambda}) = k _ { lambda} otimes k _ { lambda} & Delta _ {3} (e_ {i}) = k_ {i} ^ {- { frac {1} {2}}} otimes e_ {i} + e_ {i} otimes k_ {i} ^ { frac {1} {2}} & Delta _ {3} (f_ {i}) = k_ {i} ^ {- { frac {1} {2}}} время f_ {i} + f_ {i} время k_ {i} ^ { frac {1} {2} } end {массив}}}$

где набор генераторов при необходимости расширен за счет включения k_λ за λ который выражается как сумма элемента весовой решетки и половины элемента весовой корневая решетка.

Кроме того, любая алгебра Хопфа приводит к другой с обратным копроизведением Т о Δ, где Т дан кем-то Т(Икс ⊗ у) = у ⊗ Икс, давая еще три возможных варианта.

В графство на U_q(А) одинаково для всех этих сопутствующих продуктов: ε(k_λ) = 1, ε(е_я) = ε(ж_я) = 0, а соответствующие антиподы для вышеуказанных сопутствующих продуктов даны

${ displaystyle { begin {array} {lll} S_ {1} (k _ { lambda}) = k _ {- lambda} & S_ {1} (e_ {i}) = - e_ {i} k_ {i} ^ {- 1} & S_ {1} (f_ {i}) = - k_ {i} f_ {i} S_ {2} (k _ { lambda}) = k _ {- lambda} & S_ {2} ( e_ {i}) = - k_ {i} e_ {i} & S_ {2} (f_ {i}) = - f_ {i} k_ {i} ^ {- 1} S_ {3} (k _ { лямбда}) = k _ {- lambda} & S_ {3} (e_ {i}) = - q_ {i} e_ {i} & S_ {3} (f_ {i}) = - q_ {i} ^ {- 1 } f_ {i} end {array}}}$

В качестве альтернативы квантовая группа U_q(грамм) можно рассматривать как алгебру над полем C(q), поле всех рациональные функции неопределенного q над C.

Аналогично квантовая группа U_q(грамм) можно рассматривать как алгебру над полем Q(q), поле всех рациональные функции неопределенного q над Q (см. ниже в разделе о квантовых группах на q = 0). Центр квантовой группы можно описать квантовым определителем.

Теория представлений

Подобно тому, как существует много различных типов представлений для алгебр Каца – Муди и их универсальных обертывающих алгебр, существует много различных типов представлений для квантовых групп.

Как и все алгебры Хопфа, U_q(грамм) имеет присоединенное представительство сам по себе как модуль, с действием, заданным

${ displaystyle mathrm {Ad} _ {x} cdot y = sum _ {(x)} x _ {(1)} yS (x _ {(2)}),}$

куда

${ displaystyle Delta (x) = sum _ {(x)} x _ {(1)} otimes x _ {(2)}.}$

Случай 1: q не является корнем единства

Одним из важных типов представления является представление весов, и соответствующие модуль называется весовым модулем. Весовой модуль - это модуль с базой весовых векторов. Весовой вектор - это ненулевой вектор v такой, что k_λ · v = d_λv для всех λ, куда d_λ комплексные числа для всех весов λ такой, что

${ displaystyle d_ {0} = 1,}$

${ displaystyle d _ { lambda} d _ { mu} = d _ { lambda + mu},}$ для всех весов λ и μ.

Весовой модуль называется интегрируемым, если действия е_я и ж_я локально нильпотентны (т.е.для любого вектора v в модуле существует натуральное число k, возможно, зависит от v, так что ${ displaystyle e_ {i} ^ {k} .v = f_ {i} ^ {k} .v = 0}$ для всех я). В случае интегрируемых модулей комплексные числа d_λ связанный с вектором веса, удовлетворяют ${ displaystyle d _ { lambda} = c _ { lambda} q ^ {( lambda, nu)}}$,^{[нужна цитата ]} куда ν - элемент весовой решетки, а c_λ такие комплексные числа, что

• ${ displaystyle c_ {0} = 1,}$
• ${ displaystyle c _ { lambda} c _ { mu} = c _ { lambda + mu},}$ для всех весов λ и μ,
• ${ displaystyle c_ {2 alpha _ {i}} = 1}$ для всех я.

Особый интерес представляют представления со старшим весом, и соответствующие модули наивысшего веса. Модуль наивысшего веса - это модуль, порожденный вектором весов v, при условии k_λ · v = d_λv для всех весов μ, и е_я · v = 0 для всех я. Точно так же квантовая группа может иметь представление с наименьшим весом и модуль с наименьшим весом, т.е. модуль, порожденный вектором весов v, при условии k_λ · v = d_λv для всех весов λ, и ж_я · v = 0 для всех я.

Определите вектор v иметь вес ν если ${ Displaystyle к _ { лямбда} cdot v = q ^ {( lambda, nu)} v}$ для всех λ в решетке веса.

Если грамм является алгеброй Каца – Муди, то в любом неприводимом представлении со старшим весом U_q(грамм) со старшим весом ν кратности весов равны их кратности в неприводимом представлении U(грамм) с равным наибольшим весом. Если наивысший вес является доминирующим и интегральным (вес μ является доминирующим и целым, если μ удовлетворяет условию, что ${ Displaystyle 2 ( му, альфа _ {я}) / ( альфа _ {я}, альфа _ {я})}$ является неотрицательным целым числом для всех я), то весовой спектр неприводимого представления инвариантен относительно Группа Вейля за грамм, и представление интегрируемо.

И наоборот, если модуль старшего веса интегрируем, то его вектор старшего веса v удовлетворяет ${ Displaystyle к _ { lambda} cdot v = c _ { lambda} q ^ {( lambda, nu)} v}$, куда c_λ · v = d_λv такие комплексные числа, что

• ${ displaystyle c_ {0} = 1,}$
• ${ displaystyle c _ { lambda} c _ { mu} = c _ { lambda + mu},}$ для всех весов λ и μ,
• ${ displaystyle c_ {2 alpha _ {i}} = 1}$ для всех я,

и ν является доминирующим и неотъемлемым.

Как и все алгебры Хопфа, тензорное произведение из двух модулей - это еще один модуль. Для элемента Икс из U_q(ГРАММ), а для векторов v и ш в соответствующих модулях, Икс ⋅ (v ⊗ ш) = Δ (Икс) ⋅ (v ⊗ ш), так что ${ displaystyle k _ { lambda} cdot (v otimes w) = k _ { lambda} cdot v otimes k _ { lambda} .w}$, а в случае сопродукции ∆₁, ${ displaystyle e_ {i} cdot (v otimes w) = k_ {i} cdot v otimes e_ {i} cdot w + e_ {i} cdot v otimes w}$ и ${ displaystyle f_ {i} cdot (v otimes w) = v otimes f_ {i} cdot w + f_ {i} cdot v otimes k_ {i} ^ {- 1} cdot w.}$

Описанный выше интегрируемый модуль старшего веса является тензорным произведением одномерного модуля (на котором k_λ = c_λ для всех λ, и е_я = ж_я = 0 для всех я) и модуль старшего веса, порожденный ненулевым вектором v₀, при условии ${ Displaystyle к _ { лямбда} cdot v_ {0} = q ^ {( lambda, nu)} v_ {0}}$ для всех весов λ, и ${ Displaystyle е_ {я} cdot v_ {0} = 0}$ для всех я.

В конкретном случае, когда грамм является конечномерной алгеброй Ли (как частный случай алгебры Каца – Муди), то неприводимые представления с доминантными целочисленными старшими весами также конечномерны.

В случае тензорного произведения модулей старшего веса его разложение на подмодули такое же, как и для тензорного произведения соответствующих модулей алгебры Каца – Муди (старшие веса такие же, как и их кратности).

Случай 2: q корень единства

Квазитреугольность

Случай 1: q не является корнем единства

Строго говоря, квантовая группа U_q(грамм) не является квазитреугольным, но его можно рассматривать как «почти квазитреугольный» в том смысле, что существует бесконечная формальная сумма, которая играет роль р-матрица. Эта бесконечная формальная сумма выражается через образующие е_я и ж_я, и генераторы Картана т_λ, куда k_λ формально отождествляется с q^т_λ. Бесконечная формальная сумма - это произведение двух факторов:^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle q ^ { eta sum _ {j} t _ { lambda _ {j}} otimes t _ { mu _ {j}}}}$

и бесконечная формальная сумма, где λ_j является базисом пространства, двойственного к подалгебре Картана, и μ_j - дуальный базис, и η = ±1.

Формальная бесконечная сумма, играющая роль р-матрица имеет четко определенное действие на тензорное произведение двух неприводимых модулей старшего веса, а также на тензорное произведение двух модулей младшего веса. В частности, если v имеет вес α и ш имеет вес β, тогда

${ displaystyle q ^ { eta sum _ {j} t _ { lambda _ {j}} otimes t _ { mu _ {j}}} cdot (v otimes w) = q ^ { eta ( alpha, beta)} v время w,}$

и тот факт, что оба модуля являются модулями с наибольшим весом или оба модуля с наименьшим весом, снижает влияние другого фактора на v ⊗ W к конечной сумме.

В частности, если V - модуль старшего веса, то формальная бесконечная сумма, р, имеет четко определенный, и обратимый, действие на V ⊗ V, и это значение р (как элемент End (V ⊗ V)) удовлетворяет Уравнение Янга – Бакстера, и, следовательно, позволяет нам определить представление группа кос, и определить квазиинварианты для узлы, ссылки и косы.

Случай 2: q корень единства

Квантовые группы при q = 0

Масаки Кашивара исследовал предельное поведение квантовых групп как q → 0, и обнаружил особенно хорошо работающую базу, названную кристаллическое основание.

Описание и классификация по корневым системам и диаграммам Дынкина

Был достигнут значительный прогресс в описании конечных частных квантовых групп, таких как приведенные выше U_q(грамм) за q^п = 1; обычно рассматривают класс заостренный Алгебры Хопфа, что означает, что все субкоидеалы одномерны и, таким образом, сумма образует группу, называемую корадикальный:

• В 2002 году Х.-Дж. Шнайдер и Н. Андрускевич ^[3] закончили свою классификацию точечных алгебр Хопфа с абелевой корадикальной группой (исключая простые числа 2, 3, 5, 7), особенно как указанные выше конечные факторы U_q(грамм) разложить на E′ S (борелевская часть), двойственная F'песок K(Алгебра Картана), как и обычные Полупростые алгебры Ли:

${ displaystyle left ({ mathfrak {B}} (V) otimes k [ mathbf {Z} ^ {n}] otimes { mathfrak {B}} (V ^ {*}) right) ^ { sigma}}$

Здесь, как и в классической теории V это плетеное векторное пространство измерения п охватывает E'песок σ (так называемый коцилковый поворот) создает нетривиальную связывание между E'песок FС. Обратите внимание, что в отличие от классической теории может появиться более двух связанных компонентов. Роль квантовая алгебра Бореля принимается Алгебра николса ${ Displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ плетеного векторного пространства.

обобщенная диаграмма Дынкина для точечной алгебры Хопфа, соединяющая четыре копии A3

• Важнейшим ингредиентом был И. Хеккенбергер. классификация конечных алгебр Николса для абелевых групп в терминах обобщенных Диаграммы Дынкина.^[4] Когда присутствуют маленькие простые числа, встречаются некоторые экзотические примеры, такие как треугольник (см. Также рисунок диаграммы Данкина ранга 3).

Диаграмма Дынкина ранга 3, ассоциированная с конечномерной алгеброй Николса

• Между тем, Шнайдер и Хеккенбергер^[5] в целом доказали существование арифметика корневая система также в неабелевом случае, порождая Основа PBW что доказано Харчеко в абелевом случае (без предположения о конечномерности). Это можно использовать^[6] по конкретным делам U_q(грамм) и объясняет, например, численное совпадение между некоторыми коидеальными подалгебрами этих квантовых групп и порядком Группа Вейля из Алгебра Ли грамм.

Компактные матричные квантовые группы

С. Л. Воронович ввели компактные матричные квантовые группы. Компактные матричные квантовые группы представляют собой абстрактные структуры, на которых «непрерывные функции» по структуре задаются элементами C * -алгебра. Геометрия компактной матричной квантовой группы является частным случаем некоммутативная геометрия.

Непрерывные комплекснозначные функции на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве образуют коммутативную C * -алгебру. Посредством Теорема Гельфанда коммутативная C * -алгебра изоморфна C * -алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, а топологическое пространство однозначно определяется C * -алгеброй с точностью до гомеоморфизм.

Для компактного топологическая группа, граммсуществует гомоморфизм C * -алгебр ∆: C(грамм) → C(грамм) ⊗ C(грамм) (куда C(грамм) ⊗ C(грамм) является тензорным произведением C * -алгебры - пополнением алгебраического тензорного произведения C(грамм) и C(грамм)) такое, что ∆ (ж)(Икс, у) = ж(ху) для всех ж ∈ C(грамм), и для всех Икс, у ∈ грамм (куда (ж ⊗ грамм)(Икс, у) = ж(Икс)грамм(у) для всех ж, грамм ∈ C(грамм) и все Икс, у ∈ грамм). Также существует линейное мультипликативное отображение κ: C(грамм) → C(грамм), такое что κ(ж)(Икс) = ж(Икс⁻¹) для всех ж ∈ C(грамм) и все Икс ∈ грамм. Строго говоря, это не делает C(грамм) алгебра Хопфа, если только грамм конечно. С другой стороны, конечномерное представление из грамм может использоваться для генерации * -подалгебры C(грамм), которая также является * -алгеброй Хопфа. В частности, если ${ Displaystyle г mapsto (и_ {ij} (г)) _ {я, j}}$ является п-мерное представление грамм, то для всех я, j ты_ij ∈ C(грамм) и

${ displaystyle Delta (u_ {ij}) = sum _ {k} u_ {ik} otimes u_ {kj}.}$

Отсюда следует, что * -алгебра, порожденная ты_ij для всех я, j и κ(ты_ij) для всех я, j является * -алгеброй Хопфа: коединица определяется ε (ты_ij) = δ_ij для всех я, j (куда δ_ij это Дельта Кронекера ) антипод κ, а единица равна

${ displaystyle 1 = sum _ {k} u_ {1k} kappa (u_ {k1}) = sum _ {k} kappa (u_ {1k}) u_ {k1}.}$

Общее определение

В качестве обобщения компактная матричная квантовая группа определяется как пара (C, ты), куда C является C * -алгеброй и ${ Displaystyle и = (и_ {ij}) _ {я, j = 1, точки, п}}$ матрица с элементами в C такой, что

• * -Подалгебра, C₀, из C, который порождается матричными элементами ты, плотно в C;

• Существует гомоморфизм C * -алгебр, называемый коумножением Δ: C → C ⊗ C (куда C ⊗ C является тензорным произведением C * -алгебры - пополнением алгебраического тензорного произведения C и C) такой, что для всех я, j у нас есть:

${ displaystyle Delta (u_ {ij}) = sum _ {k} u_ {ik} otimes u_ {kj}}$

• Существует линейное антимультипликативное отображение κ: C₀ → C₀ (коинверс) такая, что κ(κ(v*)*) = v для всех v ∈ C₀ и

${ displaystyle sum _ {k} kappa (u_ {ik}) u_ {kj} = sum _ {k} u_ {ik} kappa (u_ {kj}) = delta _ {ij} I,}$

куда я является элементом идентичности C. Поскольку κ антимультипликативно, то κ(vw) = κ(ш) κ(v) для всех v, ш в C₀.

Как следствие непрерывности, коумножение на C коассоциативный.

В целом, C не биалгебра, и C₀ является * -алгеброй Хопфа.

Неофициально C можно рассматривать как * -алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а ты можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.

Представления

Представление компактной матричной квантовой группы дается основная презентация * -алгебры Хопфа (корпредставление коассоциативной коассоциативной коалгебры А квадратная матрица ${ displaystyle v = (v_ {ij}) _ {i, j = 1, dots, n}}$ с записями в А (так v принадлежит M (п, А)) такие, что

${ displaystyle Delta (v_ {ij}) = sum _ {k = 1} ^ {n} v_ {ik} otimes v_ {kj}}$

для всех я, j и ε(v_ij) = δ_ij для всех я, j). Кроме того, представление v, называется унитарной, если матрица для v унитарен (или, что то же самое, если κ (v_ij) = v *_ij для всех я, j).

Пример

Примером компактной матричной квантовой группы является SU_μ(2), где параметр μ - положительное действительное число. Итак SU_μ(2) = (C (SU_μ(2)), ты), где C (SU_μ(2)) является C * -алгеброй, порожденной элементами α и γ, при условии

${ Displaystyle гамма гамма ^ {*} = гамма ^ {*} гамма,}$

${ Displaystyle альфа гамма = му гамма альфа,}$

${ Displaystyle альфа гамма ^ {*} = му гамма ^ {*} альфа,}$

${ displaystyle alpha alpha ^ {*} + mu gamma ^ {*} gamma = alpha ^ {*} alpha + mu ^ {- 1} gamma ^ {*} gamma = I, }$

и

${ displaystyle u = left ({ begin {matrix} alpha & gamma - gamma ^ {*} & alpha ^ {*} end {matrix}} right),}$

так что коумножение определяется выражением ∆ (α) = α ⊗ α - γ ⊗ γ *, ∆ (γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α *, а коинверсия определяется выражением κ (α) = α *, κ (γ) = −μ⁻¹γ, κ (γ *) = −μγ *, κ (α *) = α. Обратите внимание, что ты это представление, но не унитарное представление. ты эквивалентно унитарному представлению

${ Displaystyle v = left ({ begin {matrix} alpha & { sqrt { mu}} gamma - { frac {1} { sqrt { mu}}} gamma ^ {* } & alpha ^ {*} end {matrix}} right).}$

Эквивалентно SU_μ(2) = (C (SU_μ(2)), ш), где C (SU_μ(2)) является C * -алгеброй, порожденной элементами α и β, при условии

${ Displaystyle бета бета ^ {*} = бета ^ {*} бета,}$

${ Displaystyle альфа бета = му бета альфа,}$

${ Displaystyle альфа бета ^ {*} = му бета ^ {*} альфа,}$

${ displaystyle alpha alpha ^ {*} + mu ^ {2} beta ^ {*} beta = alpha ^ {*} alpha + beta ^ {*} beta = I,}$

и

${ displaystyle w = left ({ begin {matrix} alpha & mu beta - beta ^ {*} & alpha ^ {*} end {matrix}} right),}$

так что коумножение определяется как ∆ (α) = α ⊗ α - μβ ⊗ β *, ∆ (β) = α ⊗ β + β ⊗ α *, а коинверсия определяется как κ (α) = α *, κ (β) = −μ⁻¹β, κ (β *) = −μβ *, κ (α *) = α. Обратите внимание, что ш является унитарным представлением. Реализации можно идентифицировать, приравняв ${ displaystyle gamma = { sqrt { mu}} beta}$.

Когда μ = 1, то SU_μ(2) совпадает с алгеброй C(SU (2)) функций на конкретной компактной группе SU (2).

Бикроспродуктовые квантовые группы

В то время как компактные матричные псевдогруппы обычно являются версиями квантовых групп Дринфельда-Джимбо в формулировке алгебры двойственных функций, с дополнительной структурой, бикроспроизведения представляют собой отдельное второе семейство квантовых групп, возрастающее значение которых как деформаций разрешимых, а не полупростых групп Ли. Они связаны с лиевскими расщеплениями алгебр Ли или локальными факторизациями групп Ли и могут рассматриваться как перекрестное произведение или квантование Макки одного из факторов, действующих на другой для алгебры, и аналогичная история для копроизведения Δ со вторым фактором действуя в ответ на первое.

Самый простой нетривиальный пример соответствует двум экземплярам р действуют локально друг на друга и приводят к квантовой группе (заданной здесь в алгебраической форме) с генераторами п, K, K⁻¹, скажем, и сопродукт

${ Displaystyle [п, К] = чК (К-1)}$

${ displaystyle Delta p = p otimes K + 1 otimes p}$

${ displaystyle Delta K = K otimes K}$

куда час - параметр деформации.

Эта квантовая группа была связана с игрушечной моделью физики планковского масштаба, реализующей Прирожденная взаимность если рассматривать как деформацию Алгебра Гейзенберга квантовой механики. Кроме того, начиная с любой компактной вещественной формы полупростой алгебры Ли грамм ее комплексификация как вещественная алгебра Ли двойной размерности распадается на грамм и некоторая разрешимая алгебра Ли ( Разложение Ивасавы ), и это обеспечивает каноническую квантовую группу бикроспродукта, связанную с грамм. За вс(2) получается квантовая групповая деформация Евклидова группа E (3) движений в 3-х измерениях.

Смотрите также

• Алгебра Хопфа
• Биалгебра Ли
• Группа Пуассона – Ли
• Квантовая аффинная алгебра

Примечания

Рекомендации

• Гренсинг, Герхард (2013). Структурные аспекты квантовой теории поля и некоммутативной геометрии. World Scientific. Дои:10.1142/8771. ISBN  978-981-4472-69-2.
• Джаганнатан, Р. (2001). «Некоторые вводные замечания по квантовым группам, квантовым алгебрам и их приложениям». arXiv:math-ph / 0105002.
• Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы, Тексты для выпускников по математике, 155, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0783-2, ISBN  978-0-387-94370-1, МИСТЕР  1321145
• Люстиг, Джордж (2010) [1993]. Введение в квантовые группы. Кембридж, Массачусетс: Birkhäuser. ISBN  978-0-817-64716-2.
• Маджид, Шан (2002), Праймер по квантовым группам, Серия лекций Лондонского математического общества, 292, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511549892, ISBN  978-0-521-01041-2, МИСТЕР  1904789
• Маджид, Шах (январь 2006 г.), "Что такое ... квантовая группа?" (PDF ), Уведомления Американского математического общества, 53 (1): 30–31, получено 2008-01-16
• Podles, P .; Мюллер, Э. (1998), "Введение в квантовые группы", Обзоры по математической физике, 10 (4): 511–551, arXiv:q-alg / 9704002, Bibcode:1997q.alg ..... 4002P, Дои:10.1142 / S0129055X98000173
• Шнидер, Стивен; Штернберг, Шломо (1993). Квантовые группы: от коалгебр до алгебр Дринфельда. Тексты для выпускников по математической физике. 2. Кембридж, Массачусетс: International Press.
• Улица, Росс (2007), Квантовые группы, Серия лекций Австралийского математического общества, 19, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511618505, ISBN  978-0-521-69524-4, МИСТЕР  2294803