Спорадическая группа - Sporadic group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В теория групп, а спорадическая группа один из 26 исключительных группы найдено в классификация конечных простых групп.

А простая группа это группа грамм что не имеет нормальные подгруппы кроме тривиальной группы и грамм сам. Классификационная теорема утверждает, что список конечных простых групп состоит из 18 счетно бесконечный семьи^[1] плюс 26 исключений, которые не следуют такой систематической схеме. Эти 26 исключений представляют собой спорадические группы. Они также известны как спорадические простые группы или спорадические конечные группы. Потому что это не совсем группа лиева типа, то Группа синицы иногда рассматривается как спорадическая группа,^[2] в этом случае будет 27 спорадических групп.

В группа монстров является самой большой из спорадических групп, и все остальные спорадические группы, кроме шести, являются подкомпоненты этого.

Имена

Пять из спорадических групп были обнаружены Матье в 1860-х годах, а другая 21 была обнаружена в период с 1965 по 1975 год. Существование нескольких из этих групп было предсказано еще до их создания. Большинство групп названы в честь математиков, которые впервые предсказали их существование. Полный список:

На диаграмме показаны субфакторные отношения между спорадическими группами. Соединительная линия означает, что нижняя группа является частичным элементом верхней, без отдельных промежуточных частей между ними.
1 поколение, 2-е поколение, 3-го поколения, Пария

• Матье группы M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄
• Янко группы J₁, J₂ или же HJ, J₃ или же HJM, J₄
• Конвей группы Co₁, Co₂, Co₃
• Группы Фишера Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄' или же F₃₊
• Группа Хигмана – Симса HS
• Группа Маклафлина McL
• Проведенная группа Он или же F₇₊ или же F₇
• Группа Рудвалис RU
• Группа Сузуки Suz или же F₃₋
• О'Нан группа НА
• Группа Харада – Нортон HN или же F₅₊ или же F₅
• Лионская группа Ly
• Группа Томпсона Чт или же F_3|3 или же F₃
• Группа Baby Monster B или же F₂₊ или же F₂
• Фишер – Грисс Группа монстров M или же F₁

В Группа синицы Т иногда также рассматривается как спорадическая группа (это почти, но не строго группа лиева типа), поэтому в некоторых источниках количество спорадических групп указывается как 27 вместо 26.^[3] В некоторых других источниках группа Титса не считается ни спорадической, ни лиева типа.^[4] Во всяком случае, это (п = 0) -часть ²F₄(2)′ из бесконечный семейство коммутаторных групп ²F₄(2^2п+1)′ - и поэтому по определению не спорадический. За п > 0 эти конечные простые группы совпадают с группы лиева типа ²F₄(2^2п+1). Но для п = 0, в производная подгруппа ²F₄(2)′, называемая группой Титса, проста и имеет индекс 2 в конечной группе ²F₄(2) типа Лжи, который - единственный из всей семьи - непрост.

Матрица представления над конечными полями для всех спорадических групп.

Самое раннее использование термина спорадическая группа может быть Бернсайд (1911 г.), п. 504, примечание N), где он комментирует группы Матье: «Эти очевидно спорадические простые группы, вероятно, заслужили бы более тщательного изучения, чем они до сих пор прошли».

Диаграмма справа основана на Ронан (2006). На нем не показаны многочисленные не спорадические простые подфакторы спорадических групп.

Организация

Из 26 спорадических групп 20 можно увидеть внутри Группа монстров в качестве подгруппы или же частные подгрупп (разделы ).

Счастливая семья

Остальные двадцать были названы счастливая семья к Роберт Грисс, и их можно разделить на три поколения.

Первое поколение (5 групп): группы Матьё

M_п за п = 11, 12, 22, 23 и 24 кратно транзитивны группы перестановок на п точки. Все они подгруппы в M₂₄, которая является группой перестановок на 24 точки.

Второе поколение (7 групп): решетка пиявки

Все подкомпоненты из группа автоморфизмов решетки в 24 размеры, названные Решетка пиявки:

• Co₁ - фактор группы автоморфизмов по ее центру {± 1}
• Co₂ является стабилизатором вектора типа 2 (т.е.длины 2)
• Co₃ - стабилизатор типа 3 (т.е. длины √6) вектор
• Suz группа автоморфизмов, сохраняющих сложную структуру (по модулю ее центра)
• McL стабилизатор треугольника типа 2-2-3
• HS стабилизатор треугольника типа 2-3-3
• J₂ - группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (по модулю ее центра).

Третье поколение (8 групп): другие подгруппы Монстра

Состоит из подгрупп, тесно связанных с группой Monster. M:

• B или же F₂ имеет двойную крышку, которая является централизатор элемента порядка 2 в M
• Fi₂₄′ Имеет тройную крышку, являющуюся централизатором элемента порядка 3 в M (в класс сопряженности «3А»)
• Fi₂₃ является подгруппой Fi₂₄′
• Fi₂₂ имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi₂₃
• Продукт Чт = F₃ а группа порядка 3 - централизатор элемента порядка 3 в M (в классе сопряженности «3С»)
• Продукт HN = F₅ а группа порядка 5 - централизатор элемента порядка 5 в M
• Продукт Он = F₇ а группа порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M.
• Наконец, сама группа монстров считается принадлежащей к этому поколению.

(Эта серия продолжается дальше: продукт M₁₂ а группа порядка 11 - централизатор элемента порядка 11 в M.)

В Группа синицы, если рассматривать ее как спорадическую группу, будет принадлежать к этому поколению: существует подгруппа S₄ ײF₄(2) ′ нормировка 2C² подгруппа B, порождающая подгруппу 2 · S₄ ײF₄(2) ′ нормировка некоторого Q₈ подгруппа Монстра. ²F₄(2) ′ также является подфактором группы Фишера Fi₂₂, а значит, и Fi₂₃ и Fi₂₄′, И маленького монстра B. ²F₄(2) ′ также является подфактором группы (парии) Рудвалиса RU, и не участвует в спорадических простых группах, кроме уже упомянутых.

Парии

Шесть исключений: J₁, J₃, J₄, НА, RU и Ly, иногда известный как парии.

Таблица спорадических групповых заказов (с группой Титса)

Группа	Gen.	Заказ, OEIS A001228		Факторизованный заказ	Стандартные генераторы тройной (a, b, ab)[5][6][3]	Дополнительные условия
F1 или же M	3-й	808017424794512875886459904961710757005754368000000000	≈ 8×1053	246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71	2А, 3Б, 29	Никто
F2 или же B	3-й	4154781481226426191177580544000000	≈ 4×1033	241 · 313 · 56 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47	2С, 3А, 55	${ Displaystyle о влево ((ab) ^ {2} left (abab ^ {2} right) ^ {2} ab ^ {2} right) = 23}$
Fi24' или же F3+	3-й	1255205709190661721292800	≈ 1×1024	221 · 316 · 52 · 73 · 11 · 13 · 17 · 23 · 29	2А, 3Е, 29	${ Displaystyle о влево ((ab) ^ {3} б вправо) = 33}$
Fi23	3-й	4089470473293004800	≈ 4×1018	218 · 313 · 52 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23	2Б, 3Д, 28	Никто
Fi22	3-й	64561751654400	≈ 6×1013	217 · 39 · 52 · 7 · 11 · 13	2А, 13, 11	${ Displaystyle о влево ((ab) ^ {2} left (abab ^ {2} right) ^ {2} ab ^ {2} right) = 12}$
F3 или же Чт	3-й	90745943887872000	≈ 9×1016	215 · 310 · 53 · 72 · 13 · 19 · 31	2, 3А, 19	Никто
Ly	Пария	51765179004000000	≈ 5×1016	28 · 37 · 56 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67	2, 5А, 14	${ Displaystyle о влево (ababab ^ {2} right) = 67}$
F5 или же HN	3-й	273030912000000	≈ 3×1014	214 · 36 · 56 · 7 · 11 · 19	2А, 3Б, 22	${ Displaystyle о ([а, Ь]) = 5}$
Co1	2-й	4157776806543360000	≈ 4×1018	221 · 39 · 54 · 72 · 11 · 13 · 23	2Б, 3С, 40	Никто
Co2	2-й	42305421312000	≈ 4×1013	218 · 36 · 53 · 7 · 11 · 23	2А, 5А, 28	Никто
Co3	2-й	495766656000	≈ 5×1011	210 · 37 · 53 · 7 · 11 · 23	2А, 7С, 17	Никто
НА	Пария	460815505920	≈ 5×1011	29 · 34 · 5 · 73 · 11 · 19 · 31	2А, 4А, 11	Никто
Suz	2-й	448345497600	≈ 4×1011	213 · 37 · 52 · 7 · 11 · 13	2Б, 3Б, 13	${ Displaystyle о ([а, Ь]) = 15}$
RU	Пария	145926144000	≈ 1×1011	214 · 33 · 53 · 7 · 13 · 29	2Б, 4А, 13	Никто
F7 или же Он	3-й	4030387200	≈ 4×109	210 · 33 · 52 · 73 · 17	2А, 7С, 17	Никто
McL	2-й	898128000	≈ 9×108	27 · 36 · 53 · 7 · 11	2А, 5А, 11	${ Displaystyle о влево ((ab) ^ {2} left (abab ^ {2} right) ^ {2} ab ^ {2} right) = 7}$
HS	2-й	44352000	≈ 4×107	29 · 32 · 53 · 7 · 11	2А, 5А, 11	Никто
J4	Пария	86775571046077562880	≈ 9×1019	221 · 33 · 5 · 7 · 113 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43	2А, 4А, 37	${ Displaystyle о влево (abab ^ {2} right) = 10}$
J3 или же HJM	Пария	50232960	≈ 5×107	27 · 35 · 5 · 17 · 19	2А, 3А, 19	${ Displaystyle о ([а, Ь]) = 9}$
J2 или же HJ	2-й	604800	≈ 6×105	27 · 33 · 52 · 7	2Б, 3Б, 7	${ Displaystyle о ([а, Ь]) = 12}$
J1	Пария	175560	≈ 2×105	23 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19	2, 3, 7	${ Displaystyle о влево (abab ^ {2} right) = 19}$
Т	3-й	17971200	≈ 2×107	211 · 33 · 52 · 13	2А, 3, 13	${ Displaystyle о ([а, Ь]) = 5}$
M24	1-й	244823040	≈ 2×108	210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23	2Б, 3А, 23	${ Displaystyle о влево (ab left (abab ^ {2} right) ^ {2} ab ^ {2} right) = 4}$
M23	1-й	10200960	≈ 1×107	27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	2, 4, 23	${ Displaystyle о влево ((ab) ^ {2} left (abab ^ {2} right) ^ {2} ab ^ {2} right) = 8}$
M22	1-й	443520	≈ 4×105	27 · 32 · 5 · 7 · 11	2А, 4А, 11	${ Displaystyle о влево (abab ^ {2} right) = 11}$
M12	1-й	95040	≈ 1×105	26 · 33 · 5 · 11	2Б, 3Б, 11	Никто
M11	1-й	7920	≈ 8×103	24 · 32 · 5 · 11	2, 4, 11	${ Displaystyle о влево ((ab) ^ {2} left (abab ^ {2} right) ^ {2} ab ^ {2} right) = 4}$

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Спорадическая группа". MathWorld.
• Атлас представлений конечных групп: спорадические группы