Проведенная группа - Held group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Проведенная группа Он это спорадическая простая группа из порядок

   2¹⁰ · 3³ · 5² · 7³ · 17 = 4030387200

≈ 4×10⁹.

История

Он является одной из 26 спорадических групп и была обнаружена Дитером Хельдом (1969a, 1969b ) при исследовании простых групп, содержащих инволюцию, централизатор которой изоморфен централизатору инволюции из Матьё группа М₂₄. Вторая такая группа - это линейная группа L₅(2). Группа Held - третья возможность, и ее строительство было завершено Джон Маккей и Грэм Хигман.

В группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2 и Множитель Шура тривиально.

Представления

Наименьшее точное сложное представление имеет размер 51; есть два таких представления, двойственных друг другу.

Это централизует элемент порядка 7 в Группа монстров. В результате число 7 играет особую роль в теории группы; например, наименьшее представление группы Хельда над любым полем - это 50-мерное представление над полем с 7 элементами, и оно естественным образом действует на алгебра вершинных операторов над полем с 7 элементами.

Наименьшее представление перестановки - это действие ранга 5 на 2058 точках со стабилизатором точки Sp.₄(4):2.

Группа автоморфизмов He: 2 группы Хельда He является подгруппой Группа Fischer Fi24.

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 г. предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но подобные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. За Он, соответствующая серия Маккея-Томпсона ${ Displaystyle T_ {7A} ( тау)}$ где можно положить постоянный член a (0) = 10 (OEIS: A007264),

${ Displaystyle { begin {align} j_ {7A} ( tau) & = T_ {7A} ( tau) +10 & = left ( left ({ tfrac { eta ( tau)} { eta (7 tau)}} right) ^ {2} +7 left ({ tfrac { eta (7 tau)} { eta ( tau)}} right) ^ {2} right) ^ {2} & = { frac {1} {q}} + 10 + 51q + 204q ^ {2} + 681q ^ {3} + 1956q ^ {4} + 5135q ^ {5} + точки конец {выровнены}}}$

и η(τ) это Функция Дедекинда эта.

Презентация

Его можно определить в терминах генераторов а и б и отношения

${ displaystyle a ^ {2} = b ^ {7} = (ab) ^ {17} = [a, b] ^ {6} = left [a, b ^ {3} right] ^ {5} = left [a, babab ^ {- 1} abab right] = (ab) ^ {4} ab ^ {2} ab ^ {- 3} ababab ^ {- 1} ab ^ {3} ab ^ {- 2} ab ^ {2} = 1.}$

Максимальные подгруппы

Батлер (1981) найдено 11 классов сопряженности максимальных подгрупп группы Он следующее:

• S₄(4):2
• 2².L₃(4) .S₃
• 2⁶: 3.S₆
• 2⁶: 3.S₆
• 2¹⁺⁶.L₃(2)
• 7²: 2.L₂(7)
• 3.S₇
• 7¹⁺²: (3 × S₃)
• S₄ × L₃(2)
• 7: 3 × L₃(2)
• 5²: 4А₄

Рекомендации

• Батлер, Грегори (1981), "Максимальные подгруппы спорадической простой группы Хельда", Журнал алгебры, 69 (1): 67–81, Дои:10.1016/0021-8693(81)90127-7, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0613857
• Held, D. (1969a), "Некоторые простые группы, связанные с M₂₄", у Брауэра, Ричарда; Шах, Чих-Хан (ред.), Теория конечных групп: симпозиум, В. А. Бенджамин
• Хелд, Дитер (1969b), "Простые группы, связанные с M₂₄", Журнал алгебры, 13 (2): 253–296, Дои:10.1016 / 0021-8693 (69) 90074-Х, МИСТЕР  0249500
• Рыба, А. Дж. Э. (1988), "Вычисление 7-модульных характеров группы Хельда", Журнал алгебры, 117 (1): 240–255, Дои:10.1016/0021-8693(88)90252-9, МИСТЕР  0955602

внешняя ссылка

• MathWorld: группа Held
• Атлас представлений конечных групп: Held group \